熱點(diǎn)(八)平面向量1(平面向量基本定理)設(shè)D為ABC的邊BC的延長線上一點(diǎn)，3，則()A.B.C.D.答案：C解析：()，故選C.2(向量共線的坐標(biāo)表示)已知向量a(4,2)，向量b(x,3)，且ab，則x()A9 B6C5 D3答案：B解析：因?yàn)橄蛄縜(4,2)，向量b(x,3)且ab，所以4×32x，x6，故選B.3(向量的模)已知|a|1，|b|2，ab，R，則|ab|等于()A1 B3C1或3 D|答案：C解析：由ab可知ab，即a與b的夾角為0或，|ab|2a2b22|a|·|b|cos 0|a|2|b|22|a|·|b|1441，或|ab|2a2b22|a|·|b|cos |a|2|b|22|a|·|b|1449，|ab|1或3，故選C.4(數(shù)量積的應(yīng)用)設(shè)向量a(1，cos )與b(1,2cos )垂直，則cos 2等于()A. B.C1 D0答案：D解析：向量a(1，cos )與b(1,2cos )垂直，可得2cos210，故cos 22cos210，故選D.5(向量的線性運(yùn)算)在ABC中，AB2，BC3，ABC60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若，則()A1 B.C. D.答案：D解析：在ABD中，BDAB1.又BC3，所以BDBC，.O為AD的中點(diǎn)，.，故選D.6(共線定理的推廣角平分線性質(zhì))在AOB中，G為AB邊上一點(diǎn)，OG是AOB的平分線，且m，mR，則()A. B1C. D2答案：C解析：如圖所示，AOB中，m，由平面向量的基本定理得m1，解得m，()，又OG是AOB的平分線，.故選C.7(向量的夾角)已知向量a，b滿足|ab|ab|，且|a|，|b|1，則向量b與ab的夾角為()A. B.C. D.答案：B解析：因?yàn)閨ab|ab|，所以a22a·bb2a22a·bb2，即a·b0.因此cosb，ab.所以向量b與ab的夾角為，故選B.8(數(shù)量積的應(yīng)用)已知向量a(，)，b(cos ，sin )，則|ab|的最大值為()A1 B.C3 D9答案：C解析：因?yàn)閨ab|，所以當(dāng)sin1時(shí)，|ab|取得最大值，最大值為3，故選C.9(數(shù)量積的應(yīng)用)在ABC中，設(shè)|2|22·，則動點(diǎn)M的軌跡必通過ABC的()A垂心 B內(nèi)心C重心 D外心答案：D解析：|2|2()·()()·2·，·(2)0·()·()0，設(shè)E為BC的中心，則2，·20ME為BC的垂直平分線，M的軌跡必過ABC的外心，故選D.10(向量運(yùn)算與函數(shù))如圖，在平面四邊形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120°，ABAD1，若點(diǎn)E為邊CD上的動點(diǎn)，則·的最小值為()A. B.C. D3答案：A解析：連接BD，AC，由ABBC，ADCD，得BCD60°，易證ACDACB，所以CDBC，所以BCD為等邊三角形，易知BD.設(shè)t(0t1)，·()·()··()2·23t2t(0t1)所以當(dāng)t時(shí)，上式取得最大值，故選A.11(數(shù)量積的定義)在正三角形ABC中，AB2，且AD與BE相交于點(diǎn)O，則·()A BC D答案：B解析：如圖因?yàn)椋訢是BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，>0，則，因?yàn)锽，O，E三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得(1)(1)，所以解得所以，所以···|2·|2×22×2×2×cos 60°×22，故選B.122018·浙江卷(向量的綜合應(yīng)用)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b24e·b30，則|ab|的最小值是()A.1 B.1C2 D2答案：A解析：解法一 b24e·b30， (b2e)21， |b2e|1.如圖所示，把a(bǔ)，b，e的起點(diǎn)作為公共點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，向量e所在直線為x軸，則b的終點(diǎn)在以點(diǎn)(2,0)為圓心，半徑為1的圓上，|ab|就是線段AB的長度要求|AB|的最小值，就是求圓上動點(diǎn)到定直線的距離的最小值，也就是圓心M到直線OA的距離減去圓的半徑長，因此|ab|的最小值為1.故選A.解法二設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，a，b(x，y)，e(1,0)，由b24e·b30得x2y24x30，即(x2)2y21，所以點(diǎn)B的軌跡是以C(2,0)為圓心，1為半徑的圓因?yàn)閍與e的夾角為，所以不妨令點(diǎn)A在射線yx(x>0)上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知|ab|min|1.故選A.解法三由b24e·b30得b24e·b3e2(be)·(b3e)0.設(shè)b，e，3e，所以be，b3e，所以·0，取EF的中點(diǎn)為C，則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖設(shè)a，作射線OA，使得AOE，所以|ab|(a2e)(2eb)|a2e|2eb|1.故選A.13(向量的模)已知向量a，b滿足a(1，1)，ab(3,1)，則|b|_.答案：2解析：依題意b(ab)a(3,1)(1，1)(2,2)，故|b|2.14(數(shù)量積)設(shè)a，b是互相垂直的單位向量，且(ab)(a2b)，則實(shí)數(shù)的值是_答案：2解析：依題意，有|a|b|1，且a·b0，又(ab)(a2b)，所以(ab)·(a2b)0，即a22b2(21)a·b0，即20，所以2.15(向量的夾角)已知非零向量a，b滿足|2ab|a2b|a|，則a，b的夾角為_答案：解析：由題意，知|2ab|a2b|，即(2ab)2(a2b)2，即4a24a·bb2a24a·b4b2；解得a2b2，|a|b|.又|a2b|a|，(a2b)23a2，a24a·b4b23a2，a24a2cosa，b4a23a2，又a0，14cosa，b43，cosa，b，又0a，b，a，b.16(向量的投影)設(shè)e1，e2是單位向量，且e1，e2的夾角為，若ae1e2，b2e1e2，則e1·e2_；a在b方向上的投影為_答案：；解析：由平面向量的數(shù)量積的定義，可得e1·e2|e1|·|e2|cos1×1×，a·b(e1e2)·(2e1e2)2ee1·e2e21，b2(2e1e2)24e4e1·e2e44×17，即|b|，所以a在b方向上的投影為.8