熱點(diǎn)(十四)新定義，新背景，新情境1定義集合A，B的一種運(yùn)算：A*Bx|xx1x2，其中x1A，x2B，若A1,2,3，B1,2，則A*B()A1,2,3,4,5 B2,3,4,5C2,3,4 D1,3,4,5答案：B解析：當(dāng)x11時(shí)，x2可以取1或2，則x1x22或3；當(dāng)x12時(shí)，x2可以取1或2，則x1x23或4；當(dāng)x13時(shí)，x2可以取1或2，則x1x24或5.A*B2,3,4,52若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為yx2，值域?yàn)?,4的“同族函數(shù)”共有()A7個(gè) B8個(gè)C9個(gè) D10個(gè)答案：C解析：由題意知，問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定函數(shù)定義域的個(gè)數(shù)函數(shù)解析式為yx2，值域?yàn)?,4，當(dāng)x±1時(shí)，y1；當(dāng)x±2時(shí)，y4，則定義域可以為1,2，1，2，1,2，1，2，1，1,2，1，1，2，1,2，2，1，2,2，1，1,2，2，因此“同族函數(shù)”共有9個(gè)32017·鄭州調(diào)研規(guī)定記號(hào)“”表示一種運(yùn)算，定義abab(a，b為正實(shí)數(shù))，若1k2<3，則k的取值范圍是()A(1,1) B(0,1)C(1,0) D(0,2)答案：A解析：因?yàn)槎xabab(a，b為正實(shí)數(shù))，1k2<3，所以1k2<3，化為(|k|2)(|k|1)<0，所以|k|<1，所以1<k<1.4設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列an為“吉祥數(shù)列”已知等差數(shù)列bn的首項(xiàng)為1，公差不為0，若數(shù)列bn為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為()Abnn1 Bbn2n1Cbnn1 Dbn2n1答案：B解析：設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d(d0)，k，因?yàn)閎11，則nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k.所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n1.5定義一種運(yùn)算：adbc.已知函數(shù)f(x)，為了得到函數(shù)ysin x的圖象，只需要把函數(shù)yf(x)的圖象上所有的點(diǎn)()A向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度D向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度答案：A解析：由題設(shè)知，f(x)sin xcoscos xsinsin，所以為了得到函數(shù)ysin x的圖象，只需要把函數(shù)f(x)sin的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度故選A.6定義d(a，b)|ab|為兩個(gè)向量a，b間的“距離”若向量a，b滿足：|b|1；ab；對(duì)任意tR，恒有d(a，tb)d(a，b)，則()Aab Ba(ab)Cb(ab) D(ab)(ab)答案：C解析：由題意知d(a，tb)d(a，b)|atb|ab|，即(atb)2(ab)2，又|b|1，所以展開(kāi)整理得t22a·bt2a·b10.因?yàn)樯鲜綄?duì)任意tR恒成立，所以4(a·b)24(2a·b1)0，即(a·b1)20，所以a·b1.于是，b·(ab)a·b|b|21120，所以b(ab)故選C.7在九章算術(shù)中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬；將四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐稱為鱉臑若三棱錐PABC為鱉臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為()A8 B12C20 D24答案：C解析：在如圖中的長(zhǎng)方體中可找到適合題意的三棱錐PABC，則BC2，所以球O的直徑2R2，所以R.故球O的表面積S4R220.故選C.8定義為n個(gè)正數(shù)u1，u2，u3，un的“快樂(lè)數(shù)”若已知數(shù)列an的前n項(xiàng)的“快樂(lè)數(shù)”為，則數(shù)列的前2 019項(xiàng)和為()A. B.C. D.答案：B解析：由題意得數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n2n，易知an6n2.于是，故數(shù)列的前2 019項(xiàng)和為1.故選B.92019·陜西咸陽(yáng)?？荚O(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)任意的x1D，存在x2D，使得f(x1)f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”下列為“H函數(shù)”的是()Af(x)sin xcos xcos2xBf(x)ln xexCf(x)2xDf(x)x22x答案：B解析：由題意知，“H函數(shù)”的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱選項(xiàng)A中，因?yàn)閒(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，該函?shù)的值域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)A中的函數(shù)不是“H函數(shù)”；選項(xiàng)B中，函數(shù)f(x)ln xex在(0，)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)B中的函數(shù)是“H函數(shù)”；選項(xiàng)C中，函數(shù)f(x)2x的值域?yàn)?0，)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)C中的函數(shù)不是“H函數(shù)”；選項(xiàng)D中，因?yàn)閒(x)x22x(x1)211，所以該函數(shù)的值域?yàn)?，)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)D中的函數(shù)不是“H函數(shù)”綜上，選B.102019·陜西渭南二模定義一種運(yùn)算：(a1，a2)(a3，a4)a1a4a2a3，將函數(shù)f(x)(，2sin x)(cos x，cos 2x)的圖象向左平移n(n>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為()A. B.C. D.答案：C解析：由新運(yùn)算可知f(x)cos 2xsin 2x2cos，所以將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)y2cos的圖象，即y2cos 2x的圖象，顯然該函數(shù)為偶函數(shù)經(jīng)檢驗(yàn)知選項(xiàng)A，B，D錯(cuò)誤，選C.11定義：分子為1且分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)叫作單位分?jǐn)?shù)，我們可以把1拆分成多個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和例如：1，1，1，依此拆分方法可得，1，其中m，nN*，則mn()A2 B4C6 D8答案：C解析：由題易知，1，1，1.依此類推，得1，易知，解得m14，n20，所以mn6.故選C.12若定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意的x1，x2R，且x1x2，都有>0，則稱該函數(shù)為滿足約束條件K的一個(gè)“K函數(shù)”下列為“K函數(shù)”的是()Af(x)x1 Bf(x)x3Cf(x) Df(x)x|x|答案：D解析：選項(xiàng)A中，函數(shù)f(x)x1不是奇函數(shù)，故選項(xiàng)A中的函數(shù)不是“K函數(shù)”選項(xiàng)C中，函數(shù)f(x)的定義域不是R，故選項(xiàng)C中的函數(shù)不是“K函數(shù)”已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意的x1，x2R，且x1x2，都有>0，等價(jià)于奇函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增選項(xiàng)B中，函數(shù)f(x)x3在R上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B中的函數(shù)不是“K函數(shù)”選項(xiàng)D中，函數(shù)f(x)x|x|在R上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，故選項(xiàng)D中的函數(shù)是“K函數(shù)”故選D.13集合Aa1，a2，a3，an，n2，如果A中的元素滿足a1a2ana1a2an，就稱A為“復(fù)活集”，給出下列結(jié)論：集合是“復(fù)活集”；若a1，a2R，且a1，a2是“復(fù)活集”，則a1a2>4；若a1，a2N*，則a1，a2不可能是“復(fù)活集”其中正確的結(jié)論是_(填序號(hào))答案：解析：×1，故正確；不妨設(shè)a1a2a1a2t，則由根與系數(shù)的關(guān)系知a1，a2是一元二次方程x2txt0的兩個(gè)根，由(t)24t>0，可得t<0或t>4，故錯(cuò)；不妨設(shè)a1<a2<a3<<an，由a1a2ana1a2an<nan，得a1a2an1<n，當(dāng)n2時(shí)，有a1<2，又a1N*，a11，于是由a1a2a1a2得1a2a2，無(wú)正整數(shù)解，即當(dāng)a1，a2N*時(shí)，a1，a2不可能是“復(fù)活集”，故正確14在一個(gè)數(shù)列中，如果nN*，都有anan1an2k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積已知數(shù)列an是等積數(shù)列，且a11，a22，公積為8，則a1a2a3a12_.答案：28解析：依題意得數(shù)列an是周期為3的數(shù)列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4×(124)28.152019·陜西西安交大附中?？荚谄矫嫘弊鴺?biāo)系xOy中，xOy60°，若xe1ye2，其中e1，e2分別為x軸、y軸正方向的單位向量，則有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)叫作向量在平面斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，即點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(x，y)在平面斜坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P(x，y)在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，則xy的取值范圍是_答案：解析：由題設(shè)得|1，所以|xe1ye2|1，又向量e1，e2的模均為1，且?jiàn)A角為60°，所以兩邊平方化簡(jiǎn)得x2y2xy1.方法一變形得(xy)21xy2，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)，所以(xy)21，解得xy.故所求xy的取值范圍是.方法二變形得21，所以可設(shè)(參數(shù)R)，即(參數(shù)R)，所以xysin cos sin.故所求xy的取值范圍是.162019·陜西西安模考高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”之稱，以他的名字“高斯”命名的成果達(dá)100多個(gè)，其中的一個(gè)成果是：設(shè)xR，則yx稱為高斯函數(shù)，x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如1.71，1.22，并用xxx表示x的非負(fù)純小數(shù)若方程x1kx(k>0)有且僅有4個(gè)實(shí)數(shù)根，則正實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)答案：解析：設(shè)函數(shù)f(x)xx，則函數(shù)f(x)的圖象與直線y1kx(k>0)有且僅有4個(gè)交點(diǎn)，如圖，先畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，又直線y1kx(k>0)恒過(guò)定點(diǎn)P(0,1)，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(3,0)，(4,0)，要使函數(shù)f(x)的圖象與直線y1kx(k>0)有且僅有4個(gè)不同的交點(diǎn)，易知應(yīng)滿足kPAk<kPB，解得<k.7