絕密啟用前 2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）本試卷分為第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘。第卷1至2頁，第卷3至5頁。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題考上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第卷注意事項(xiàng)：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。2.本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：如果事件 A，B 互斥，那么 如果事件 A，B 相互獨(dú)立，那么P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A) P(B)棱柱的體積公式V=Sh. 球的體積公式. 其中S表示棱柱的底面面積， 其中表示球的半徑h表示棱柱的高一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.（1）設(shè)集合，則（A） （B）（C）（D）（2）設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（A） （B）1（C） （D）3（3）閱讀右面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的值為24，則輸出的值為（A）0 （B）1（C）2（D）3（4）設(shè)，則“”是“”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件（5）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，離心率為.若經(jīng)過和兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（A） （B）（C）（D）（6）已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，則a，b，c的大小關(guān)系為（A）（B）（C）（D）（7）設(shè)函數(shù)，其中，.若，且的最小正周期大于，則（A），（B），（C），（D），（8）已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是（A）（B）（C）（D）第卷注意事項(xiàng)：1用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2本卷共12小題，共110分。二. 填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.（9）已知，i為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a的值為 .（10）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為 .（11）在極坐標(biāo)系中，直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_.（12）若，則的最小值為_.（13）在中，.若，且，則的值為_.（14）用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有_個(gè).（用數(shù)字作答）三. 解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15.（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.（）求和的值；（）求的值.16.（本小題滿分13分）從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為.（）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.（17）（本小題滿分13分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2.（）求證：MN平面BDE；（）求二面角C-EM-N的正弦值；（）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長.18.（本小題滿分13分）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，,，.（）求和的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（19）（本小題滿分14分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.（20）（本小題滿分14分）設(shè)，已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，為的導(dǎo)函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，函數(shù)，求證：；（）求證：存在大于0的常數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)，且 滿足.天津理數(shù)答案1-4BDCA5-8BCAA 9.2；10. ；11.2；12.4 ；13. ；14.1080 15.（）解：在中，因?yàn)?，故由，可?由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值為，的值為.（）解：由（）及，得，所以，.故.16.（）解：隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3.，.所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（）解：設(shè)表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為.所以，這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為.（17）本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.滿分13分.如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設(shè)，為平面BDE的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2，），可得.因?yàn)槠矫鍮DE，所以MN/平面BDE.（）解：易知為平面CEM的一個(gè)法向量.設(shè)為平面EMN的法向量，則，因?yàn)椋?不妨設(shè)，可得.因此有，于是.所以，二面角CEMN的正弦值為.（）解：依題意，設(shè)AH=h（），則H（0，0，h），進(jìn)而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，線段AH的長為或.18.【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由已知，得，而，所以.又因?yàn)椋獾?所以，.由，可得 .由，可得 ，聯(lián)立，解得，由此可得.所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（II）解：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由，有，故，上述兩式相減，得 得.所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為.19.（）解：設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，解得，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.（）解：設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或.由點(diǎn)異于點(diǎn)，可得點(diǎn).由，可得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因?yàn)榈拿娣e為，故，整理得，解得，所以.所以，直線的方程為，或.20.（）解：由，可得，進(jìn)而可得.令，解得，或.當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：x+-+所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（）證明：由，得，.令函數(shù)，則.由（）知，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.因此，當(dāng)時(shí)，可得.令函數(shù)，則.由（）知，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.因此，當(dāng)時(shí)，可得.所以，.（III）證明：對于任意的正整數(shù)，且，令，函數(shù).由（II）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).所以在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則.由（I）知在上單調(diào)遞增，故，于是.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上除外沒有其他的零點(diǎn)，而，故.又因?yàn)椋鶠檎麛?shù)，所以是正整數(shù)，從而.所以.所以，只要取，就有.11