課后限時集訓(xùn)(三十)等比數(shù)列及其前n項和(建議用時：60分鐘)A組基礎(chǔ)達標一、選擇題1已知數(shù)列an滿足3an1an0，a2，則an的前10項和等于()A6(1310)B(1310)C3(1310) D3(1310)C3an1an0，數(shù)列an是以為公比的等比數(shù)列，a2，a14.由等比數(shù)列的求和公式可得，S103(1310)故選C.2(2019·湘潭模擬)已知等比數(shù)列an中，a53，a4a745，則的值為()A3B5C9D25D設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a4a7·a5q29q45，所以q5，q225.故選D3(2019·太原模擬)已知等比數(shù)列an中，a2a5a88，S3a23a1，則a1()A. B C DB設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q1)，因為S3a1a2a3a23a1，所以q22.因為a2a5a8a8，所以a52，即a1q42，所以4a12，所以a1，故選B4已知數(shù)列an中，an4n5，等比數(shù)列bn的公比q滿足qanan1(n2)且b1a2，則|b1|b2|b3|bn|()A14n B4n1C. DB由已知得b1a23，q4，bn(3)×(4)n1，|bn|3×4n1，即|bn|是以3為首項，4為公比的等比數(shù)列|b1|b2|bn|4n1.5(數(shù)學(xué)文化題)九章算術(shù)中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺莞生一日，長一尺蒲生日自半；莞生日自倍問幾何日而長等？”意思是：蒲第一天長3尺，以后逐日減半；莞第一天長1尺，以后逐日增加一倍，若蒲、莞長度相等，則所需時間約為()參考數(shù)據(jù)：lg 20.301 0，lg 30.477 1，結(jié)果精確到0.1A2.2天 B2.4天 C2.6天 D2.8天C設(shè)蒲每天的長度構(gòu)成等比數(shù)列an，其首項a13，公比為，其前n項和為An.設(shè)莞每天的長度構(gòu)成等比數(shù)列bn，其首項b11，公比為2，其前n項和為Bn.則An，Bn.設(shè)蒲、莞長度相等時所需時間約為x天，則，化簡得2x7，計算得出2x6,2x1(舍去)所以x12.6.則估計2.6天后蒲、莞長度相等故選C.二、填空題6(2019·湖南十校聯(lián)考)若等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且5，則_.17法一：設(shè)數(shù)列an的公比為q，由已知得15，即1q25，所以q24，11q411617.法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，S2，S4S2，S6S4，S8S6成等比數(shù)列，若設(shè)S2a，則S45a，由(S4S2)2S2·(S6S4)得S621a，同理得S885a，所以17.7在14與之間插入n個數(shù)組成等比數(shù)列，若各項之和為，則此數(shù)列的項數(shù)為_5設(shè)此等比數(shù)列為am，公比為q，則該數(shù)列共有n2項14，q1.由等比數(shù)列的前n項和公式，得，解得q，an214×n21，即n1，解得n3，該數(shù)列共有5項8在正項等比數(shù)列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，則n_.14設(shè)數(shù)列an的公比為q，由a1a2a34aq3與a4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以3n636，即n14.三、解答題9(2018·陜西二模)已知Sn為數(shù)列an的前n項和，且滿足Sn2ann4.(1)證明：Snn2為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列Sn的前n項和Tn.解(1)證明：當n1時，由Sn2ann4，得a13.S1124.當n2時，Sn2ann4可化為Sn2(SnSn1)n4.即Sn2Sn1n4，Snn22Sn1(n1)2Snn2是首項為4，公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知，Snn22n1，Sn2n1n2.Tn(22232n1)(12n)2n2n2n24.10已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2an3n(nN*)(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常數(shù)，使得an為等比數(shù)列？若存在，求出的值和通項公式an，若不存在，請說明理由解(1)當n1時，S1a12a13，解得a13，當n2時，S2a1a22a26，解得a29，當n3時，S3a1a2a32a39，解得a321.(2)假設(shè)an是等比數(shù)列，則(a2)2(a1)(a3)，即(9)2(3)(21)，解得3.下面證明an3為等比數(shù)列：Sn2an3n，Sn12an13n3，an1Sn1Sn2an12an3，即2an3an1，2(an3)an13，2，存在3，使得數(shù)列an3是首項為a136，公比為2的等比數(shù)列an36×2n1，即an3(2n1)(nN*)B組能力提升1(2018·合肥一模)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若3Sn2an3n，則a2 018()A22 0181B32 0186C.2 018 D2 018A因為a1S1，所以3a13S12a13a13.當n2時，3Sn2an3n,3Sn12an13(n1)，所以an2an13，即an12(an11)，所以數(shù)列an1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an1(2)×(2)n1(2)n，則a2 01822 0181.2已知數(shù)列an滿足a1a2a3an2n2(nN*)，且對任意nN*都有 t，則實數(shù)t的取值范圍為()A. BC. DD依題意得，當n2時，an2n2(n1)222n1，又a12122×11，因此an22n1，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，等比數(shù)列的前n項和等于，因此實數(shù)t的取值范圍是.3已知Sn是等比數(shù)列an的前n項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，a2a54，則a8_.2因為S3，S9，S6成等差數(shù)列，所以公比q1，整理得2q61q3，所以q3，故a2·4，解得a28，故a88×2.4已知數(shù)列an滿足a15，a25，an1an6an1(n2)(1)求證：an12an是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式解(1)證明：an1an6an1(n2)，an12an3an6an13(an2an1)(n2)a15，a25，a22a115，an2an10(n2)，3(n2)，數(shù)列an12an是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列(2)由(1)得an12an15×3n15×3n，則an12an5×3n，an13n12(an3n)又a132，an3n0，an3n是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列an3n2×(2)n1，即an2×(2)n13n.- 5 -