第8講 函數(shù)與方程 基礎(chǔ)題組練1(2019·滄州模擬)設(shè)f(x)是區(qū)間1，1上的增函數(shù)，且f·f0，則方程f(x)0在區(qū)間1，1內(nèi)()A可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根B可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根C有唯一的實(shí)數(shù)根D沒有實(shí)數(shù)根解析：選C.因?yàn)閒(x)在區(qū)間1，1上是增函數(shù)，且f·f0，所以f(x)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)所以方程f(x)0在區(qū)間1，1內(nèi)有唯一的實(shí)數(shù)根2設(shè)f(x)3xx2，則在下列區(qū)間中，使函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的區(qū)間是()A0，1B1，2C2，1D1，0解析：選D.因?yàn)閒(x)3xx2，所以f(1)3110，f(0)30010，所以f(1)·f(0)0.3(一題多解)(2019·南寧模擬)設(shè)函數(shù)f(x)ln x2x6，則f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A3B2C1D0解析：選B.法一：函數(shù)f(x)ln x2x6的定義域?yàn)?0，)f(x)2，令f(x)0，得x，當(dāng)0x時(shí)，f(x)0，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減因?yàn)閒40，f5ln 20，f(e2)82e20，所以函數(shù)f(x)在，上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故選B.法二：令f(x)0，則ln x2x6，令g(x)ln x，h(x)2x6(x0)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就等于函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，容易看出函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，故選B.4已知函數(shù)f(x)log3x，若x0是函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)，且0x1x0，則f(x1)的值()A恒為正值B等于0C恒為負(fù)值D不大于0解析：選A.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)log3x在(0，)上是減函數(shù)，所以當(dāng)0x1x0時(shí)，有f(x1)f(x0)又x0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，因此f(x0)0，所以f(x1)0，即此時(shí)f(x1)的值恒為正值，故選A.5已知函數(shù)f(x)則使函數(shù)g(x)f(x)xm有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A0，1)B(，1)C(，1(2，)D(，0(1，)解析：選D.函數(shù)g(x)f(x)xm的零點(diǎn)就是方程f(x)xm的根，畫出h(x)f(x)x的大致圖象(圖略)觀察它與直線ym的交點(diǎn)，得知當(dāng)m0或m1時(shí)，有交點(diǎn)，即函數(shù)g(x)f(x)xm有零點(diǎn)6(2019·江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知f(x)，若關(guān)于x的方程af(x)恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.1，2) B.1，2)C(1，2) D1，2)解析：選B.關(guān)于x的方程af(x)恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線ya恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，2)，故選B.7(2019·河南鄭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)cos x，則f(x)在0，2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_解析：如圖，作出g(x)與h(x)cos x的圖象，可知其在0，2上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，所以函數(shù)f(x)在0，2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.答案：38函數(shù)f(x)2cos x(4x6)的所有零點(diǎn)之和為_解析：可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y與y2cos x在4，6上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和，因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)均關(guān)于x1對稱，所以兩個(gè)函數(shù)在x1兩側(cè)的交點(diǎn)對稱，則每對對稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為2，分別畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象易知兩個(gè)函數(shù)在x1兩側(cè)分別有5個(gè)交點(diǎn)，所以5×210.答案：109若函數(shù)f(x)(m2)x2mx(2m1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(1，0)和區(qū)間(1，2)內(nèi)，則m的取值范圍是_解析：依題意，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象分析可知m需滿足即解得m.答案：10已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)kx恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析：若關(guān)于x的方程f(x)kx恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則f(x)的圖象和直線ykx有4個(gè)交點(diǎn)作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，故點(diǎn)(1，0)在直線ykx的下方所以k·10，解得k.當(dāng)直線ykx和yln x相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則k，所以m.此時(shí)，k，f(x)的圖象和直線ykx有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，故要求的k的取值范圍是.答案：11設(shè)函數(shù)f(x)(x>0)(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)當(dāng)0<a<b，且f(a)f(b)時(shí)，求的值；(3)若方程f(x)m有兩個(gè)不相等的正根，求m的取值范圍解：(1)如圖所示(2)因?yàn)閒(x)故f(x)在(0，1上是減函數(shù)，而在(1，)上是增函數(shù)，由0<a<b且f(a)f(b)，得0<a<1<b，且11，所以2.(3)由函數(shù)f(x)的圖象可知，當(dāng)0<m<1時(shí)，方程f(x)m有兩個(gè)不相等的正根12已知函數(shù)f(x)x22x，g(x)(1)求g(f(1)的值；(2)若方程g(f(x)a0有4個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1)g(3)312.(2)令f(x)t，則原方程化為g(t)a，易知方程f(x)t在t(，1)內(nèi)有2個(gè)不同的解，則原方程有4個(gè)解等價(jià)于函數(shù)yg(t)(t<1)與ya的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)yg(t)(t<1)的圖象(圖略)，由圖象可知，當(dāng)1a<時(shí)，函數(shù)yg(t)(t<1)與ya有2個(gè)不同的交點(diǎn)，即所求a的取值范圍是.綜合題組練1(應(yīng)用型)已知函數(shù)f(x)2xx，g(x)log2xx，h(x)x3x的零點(diǎn)依次為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為()AabcBacbCabcDcab解析：選B.f(x)2xx的零點(diǎn)a為函數(shù)y2x與yx圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象(圖略)可知a0，g(x)log2xx的零點(diǎn)b為函數(shù)ylog2x與yx圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象(圖略)知b0，令h(x)0，得c0.故選B.2(創(chuàng)新型)(2019·蘭州模擬)已知奇函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)yf(2x21)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是()A.B.CD解析：選C.因?yàn)楹瘮?shù)yf(2x21)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程f(2x21)f(x)0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，又奇函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，所以f(x)f(x)，所以f(2x21)f(x)0f(2x21)f(x)f(2x21)f(x)2x21x，所以方程2x2x10只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以(1)24×2×(1)0，解得 .故選C.3(應(yīng)用型)(2019·甘肅一模)已知定義在R上的函數(shù)yf(x)對任意的x都滿足f(x2)f(x)，當(dāng)1x1時(shí)，f(x)sin x，若函數(shù)g(x)f(x)loga|x|至少有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A.(5，)B.5，)C.(5，7)D.5，7)解析：選A.當(dāng)a1時(shí)，作出函數(shù)f(x)與函數(shù)yloga|x|的圖象，如圖所示結(jié)合圖象可知，故a5；當(dāng)0a1時(shí)，作出函數(shù)f(x)與函數(shù)yloga|x|的圖象，如圖所示結(jié)合圖象可知，故0a.故選A.4設(shè)函數(shù)f(x)，xR且x1.(1)求fffff(4)f(6)f(8)f(10)的值；(2)就m的取值情況，討論關(guān)于x的方程f(x)xm在x2，3上解的個(gè)數(shù)解：(1)根據(jù)題意，函數(shù)f(x)，則f，則f(x)f0，則fffff(4)f(6)f(8)f(10)ff(10)ff(8)ff(6)ff(4)0.(2)根據(jù)題意，設(shè)g(x)f(x)xx(x1)2，令tx1，又由x2，3，則t1，2，則設(shè)h(t)t2，有h(t)1，分析可得：在區(qū)間1，上，h(t)單調(diào)遞減，在區(qū)間，2上，h(t)單調(diào)遞增；則h(t)在1，2有最小值h()22，且h(1)h(2)5，則函數(shù)h(t)在區(qū)間1，2上有最大值5，最小值22，方程f(x)xm的解的個(gè)數(shù)即為函數(shù)g(x)與直線ym的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分析可得：當(dāng)m22時(shí)，函數(shù)g(x)與直線ym沒有交點(diǎn)，方程f(x)xm無解；當(dāng)m22時(shí)，函數(shù)g(x)與直線ym有1個(gè)交點(diǎn)，方程f(x)xm有1個(gè)解；當(dāng)22m5時(shí)，函數(shù)g(x)與直線ym有2個(gè)交點(diǎn)，方程f(x)xm有2個(gè)解；當(dāng)m5時(shí)，函數(shù)g(x)與直線ym沒有交點(diǎn)，方程f(x)xm無解；綜上可得，當(dāng)m22或m5時(shí)，方程f(x)xm無解；當(dāng)m22時(shí)，方程f(x)xm有1個(gè)解；當(dāng)22m5時(shí)方程f(x)xm有2個(gè)解- 7 -