第4講 二次函數(shù)與冪函數(shù) 基礎(chǔ)題組練1冪函數(shù)yxm24m(mZ)的圖象如圖所示，則m的值為()A0B1C2D3解析：選C.因為yxm24m (mZ)的圖象與坐標軸沒有交點，所以m24m<0，即0<m<4.又因為函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且mZ，所以m24m為偶數(shù)，因此m2.2已知冪函數(shù)f(x)(n22n2)·xn23n(nZ)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，)上是減函數(shù)，則n的值為()A3B1C2D1或2解析：選B.由于f(x)為冪函數(shù)，所以n22n21，解得n1或n3，當n1時，函數(shù)f(x)x2為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，且f(x)在(0，)上是減函數(shù)，所以n1滿足題意；當n3時，函數(shù)f(x)x18為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，而f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以n3不滿足題意，舍去故選B.3對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0且a1)與二次函數(shù)y(a1)x2x在同一坐標系內(nèi)的圖象可能是()解析：選A.當0<a<1時，ylogax為減函數(shù)，y(a1)x2x開口向下，其對稱軸為x<0，排除C，D；當a>1時，ylogax為增函數(shù)，y(a1)x2x開口向上，其對稱軸為x>0，排除B.故選A.4若二次函數(shù)ykx24x2在區(qū)間1，2上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍為()A2，)B(2，)C(，0)D(，2)解析：選A.二次函數(shù)ykx24x2的對稱軸為x，當k>0時，要使函數(shù)ykx24x2在區(qū)間1，2上是增函數(shù)，只需1，解得k2.當k<0時，<0，此時拋物線的對稱軸在區(qū)間1，2的左側(cè)，該函數(shù)ykx24x2在區(qū)間1，2上是減函數(shù)，不符合要求綜上可得實數(shù)k的取值范圍是2，)5已知函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)，且2是f(x)的一個零點，1是f(x)的一個極小值點，那么不等式f(x)>0的解集是()A(4，2)B(2，4)C(，4)(2，)D(，2)(4，)解析：選C.依題意，f(x)圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為x1，方程ax2bxc0的一個根是2，另一個根是4.因此f(x)a(x4)(x2)(a>0)，于是f(x)>0，解得x>2或x<4.6已知點(m，8)在冪函數(shù)f(x)(m1)xn的圖象上，設(shè)af，bf(ln )，cf，則a，b，c的大小關(guān)系為()Ac<a<bBa<b<cCb<c<aDb<a<c解析：選A.根據(jù)題意，m11，所以m2，所以2n8，所以n3，所以f(x)x3.因為f(x)x3是定義在R上的增函數(shù)，又<0<<1<ln ，所以c<a<b.7已知a，b，cR，函數(shù)f(x)ax2bxc.若f(1)f(3)>f(4)，則()Aa>0，4ab0Ba<0，4ab0Ca>0，2ab0Da<0，2ab0解析：選B.若a0，f(x)不滿足題意，所以a0，f(x)為二次函數(shù)因為f(1)f(3)，則x2為對稱軸，故2，則4ab0，又f(3)>f(4)，在(2，)上f(x)為減函數(shù)，所以開口向下，a<0.故選B.8已知冪函數(shù)f(x)x，若f(a1)<f(102a)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：因為f(x)x(x>0)，易知x(0，)時f(x)為減函數(shù)，又f(a1)<f(102a)，所以解得所以3<a<5.答案：(3，5)9已知二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，對稱軸為x3，與y軸交于點(0，3)，則它的解析式為_解析：由題意知，可設(shè)二次函數(shù)的解析式為ya(x3)2，又圖象與y軸交于點(0，3)，所以39a，即a.所以y(x3)2x22x3.答案：yx22x310若f(x)x22ax與g(x)在區(qū)間1，2上都是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：因為f(x)x22ax在1，2上是減函數(shù)，所以a1，又因為g(x)在1，2上是減函數(shù)，所以a>0，所以0<a1.答案：(0，111已知函數(shù)f(x)bx22axa(a，bR)的圖象過點.(1)當a2時，求函數(shù)ylogf(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當a0時，求使函數(shù)f(x)的定義域為1，1，值域為2，2的a值解：因為f(x)bx22axa的圖象過點，所以b1，(1)當a2時，f(x)x24x2，令f(x)0可得，x2或x2，所以f(x)在(2，)上單調(diào)遞增，在(，2)上單調(diào)遞減，ylogt在(0，)上單調(diào)遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)ylogf(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，2)(2)當a0時，函數(shù)f(x)x22axa的對稱軸xa0，a1時，函數(shù)f(x)在1，1上單調(diào)遞增，當x1時，函數(shù)有最小值f(1)13a2，當x1時，函數(shù)有最大值f(1)1a2，解得a1，0a1時，函數(shù)在1，1上先減后增，當xa時，函數(shù)有最小值f(a)aa22，解得，a2(舍)或a1(舍)，綜上可得，a1.12已知函數(shù)f(x)x2(2a1)x3.(1)當a2，x2，3時，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)在1，3上的最大值為1，求實數(shù)a的值解：(1)當a2時，f(x)x23x3，x2，3，對稱軸x2，3，所以f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，所以函數(shù)f(x)的值域為.(2)對稱軸為x.當1，即a時，f(x)maxf(3)6a3，所以6a31，即a滿足題意；當>1，即a<時，f(x)maxf(1)2a1，所以2a11，即a1滿足題意綜上可知，a或1.綜合題組練1已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2x)f(2x)，且f(x)在0，2上是增函數(shù)，若f(a)f(0)，則實數(shù)a的取值范圍是()A0，)B(，0C0，4D(，04，)解析：選C.由f(2x)f(2x)可知，函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x2，又函數(shù)f(x)在0，2上單調(diào)遞增，所以由f(a)f(0)可得0a4，故選C.2(應(yīng)用型)已知二次函數(shù)f(x)2ax2ax1(a<0)，若x1<x2，x1x20，則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系為()Af(x1)f(x2)Bf(x1)>f(x2)Cf(x1)<f(x2)D與a值有關(guān)解析：選C.該二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線x，又依題意，得x1<0，x2>0，又x1x20，所以當x1，x2在對稱軸的兩側(cè)時，x1>x2，故f(x1)<f(x2)當x1，x2都在對稱軸的左側(cè)時，由單調(diào)性知f(x1)<f(x2)綜上，f(x1)<f(x2)3(創(chuàng)新型)設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間a，b上的兩個函數(shù)，若函數(shù)yf(x)g(x)在xa，b上有兩個不同的零點，則稱f(x)和g(x)在a，b上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間a，b稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”若f(x)x23x4與g(x)2xm在0，3上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則m的取值范圍為_解析：由題意知，yf(x)g(x)x25x4m在0，3上有兩個不同的零點在同一直角坐標系下作出函數(shù)ym與yx25x4(x0，3)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，當x2，3時，yx25x4，故當m時，函數(shù)ym與yx25x4(x0，3)的圖象有兩個交點答案：4已知函數(shù)f(x)ax2bxc(a0，bR，cR)(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(xiàn)(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在區(qū)間(0，1上恒成立，試求b的取值范圍解：(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，所以f(x)(x1)2.所以F(x)所以F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由題意知f(x)x2bx，原命題等價于1x2bx1在(0，1上恒成立，即bx且bx在(0，1上恒成立又當x(0，1時，x的最小值為0，x的最大值為2.所以2b0.故b的取值范圍是2，0- 7 -