第9講 函數(shù)模型及其應用 基礎題組練1在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是()x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01A.y2x2 By(x21)Cylog2xDylogx解析：選B.由題中表可知函數(shù)在(0，)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，分析選項可知B符合，故選B.2某家具的標價為132元，若降價以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對于進價)，則該家具的進價是()A118元B105元C106元D108元解析：選D.設進價為a元，由題意知132×(110%)a10%·a，解得a108.故選D.3小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步，他從點A出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過點B跑到點C，共用時30 s，他的教練選擇了一個固定的位置觀察小明跑步的過程，設小明跑步的時間為t(s)，他與教練間的距離為y(m)，表示y與t的函數(shù)關系的圖象大致如圖2所示，則這個固定位置可能是圖1中的()A點MB點NC點PD點Q解析：選D.A.假設這個位置在點M，則從A至B這段時間，y不隨時間的變化改變，與函數(shù)圖象不符，故本選項錯誤；B.假設這個位置在點N，則從A至C這段時間，A點與C點對應y的大小應該相同，與函數(shù)圖象不符，故本選項錯誤；C.假設這個位置在點P，則由函數(shù)圖象可得，從A到C的過程中，會有一個時刻，教練到小明的距離等于經(jīng)過30 s時教練到小明的距離，而點P不符合這個條件，故本選項錯誤；D.經(jīng)判斷點Q符合函數(shù)圖象，故本選項正確，故選D.4一種放射性元素的質(zhì)量按每年10%衰減，這種放射性元素的半衰期(剩余質(zhì)量為最初質(zhì)量的一半所需的時間叫作半衰期)是(精確到0.1，已知lg 20.301 0，lg 30.477 1)()A5.2B6.6C7.1D8.3解析：選B.設這種放射性元素的半衰期是x年，則(110%)x，化簡得0.9x，即xlog0.96.6(年)故選B. 5(2019·高考全國卷)古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是(0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是()A165 cm B175 cmC185 cm D190 cm解析：選B.2626÷0.618(2626÷0.618)÷0.618178(cm)，故其身高可能是175 cm，故選B.6根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)(A，c為常數(shù))已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，那么c和A的值分別是()A75，25B75，16C60，25D60，16解析：選D.由函數(shù)解析式可以看出，組裝第A件產(chǎn)品所需時間為15，故組裝第4件產(chǎn)品所需時間為30，解得c60，將c60代入15，得A16.7擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)1.06(0.5m1)給出，其中m0，m是不超過m的最大整數(shù)(如33，3.73，3.13)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為_元解析：因為m6.5，所以m6，則f(m)1.06×(0.5×61)4.24.答案：4.248某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況加油時間加油量(升)加油時的累計里程(千米)2016年5月1日1235 0002016年5月15日4835 600注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為_升解析：因為每次都把油箱加滿，第二次加了48升油，說明這段時間總耗油量為48升，而行駛的路程為35 60035 000600(千米)，故每100千米平均耗油量為48÷68(升)答案：89(2019·河北唐山模擬)某人計劃購買一輛A型轎車，售價為14.4萬元，購買后轎車每年的保險費、汽油費、年檢費、停車費等約需2.4萬元，同時汽車年折舊率約為10%(即這輛車每年減少它的價值的10%)，試問，大約使用_年后，用在該車上的費用(含折舊費)達到14.4萬元解析：設使用x年后花費在該車上的費用達到14.4萬元，依題意可得，14.4(10.9x)2.4x14.4，化簡得x6×0.9x0.令f(x)x6×0.9x，易得f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，又f(3)1.3740，f(4)0.063 40，所以函數(shù)f(x)在(3，4)上有一個零點故大約使用4年后，用在該車上的費用達到14.4萬元答案：410如圖，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE4米，CD6米為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個矩形BNPM，使點P在邊DE上(1)設MPx米，PNy米，將y表示成x的函數(shù)，并求該函數(shù)的解析式及定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值解：(1)如圖，作PQAF于Q，所以PQ8y，EQx4，在EDF中，所以，所以yx10，定義域為x|4x8(2)設矩形BNPM的面積為S，則S(x)xyx(x10)250，所以S(x)是關于x的二次函數(shù)，且其圖象開口向下，對稱軸為直線x10，所以當x4，8時，S(x)單調(diào)遞增，所以當x8時，矩形BNPM的面積取得最大值，最大值為48平方米11“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù)當x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當4<x20時，v是x的一次函數(shù)，當x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年(1)當0<x20時，求函數(shù)v關于x的函數(shù)解析式(2)當養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達到最大？并求出最大值解析：(1)由題意得當0<x4時，v2；當4<x20時，設vaxb，顯然vaxb在(4，20內(nèi)是減函數(shù)，由已知得解得所以vx，故函數(shù)v(2)設年生長量為f(x)千克/立方米，依題意并由(1)可得f(x)當0<x4時，f(x)為增函數(shù)，故f(x)maxf(4)4×28；當4<x20時，f(x)x2x(x220x)(x10)2，f(x)maxf(10)12.5.所以當0<x20時，f(x)的最大值為12.5.即當養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米綜合題組練1(2019·高考全國卷)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行，L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上設地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：(Rr).設，由于的值很小，因此在近似計算中33，則r的近似值為()A.RB.RC.RD.R解析：選D.由(Rr)，得M1.因為，所以(1)M1，得.由33，得33，即3，所以r·R，故選D.2(2019·河北邯鄲聯(lián)考)某企業(yè)準備投入適當?shù)膹V告費對甲產(chǎn)品進行促銷宣傳，在一年內(nèi)預計銷售量y(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關系為y1(x0)已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入30萬元，且能全部售完若每件甲產(chǎn)品售價(元)定為“平均每件甲產(chǎn)品所占生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件甲產(chǎn)品所占廣告費的50%”之和，則當廣告費為1萬元時，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為()A30.5萬元B31.5萬元C32.5萬元D33.5萬元解析：選B.由題意，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(30y4)萬元，銷售單價為×150%×50%，故年銷售收入為z·y45y6x.所以年利潤Wz(30y4)x15y217(萬元)所以當廣告費為1萬元時，即x1，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為1731.5(萬元)故選B.3食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬元)滿足P804，Qa120，設甲大棚的投入為x(單元：萬元)，每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)(1)求f(50)的值；(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？解：(1)由題意知甲大棚投入50萬元，則乙大棚投入150萬元，所以f(50)804×150120277.5(萬元)(2)f(x)804(200x)120x4250，依題意得20x180，故f(x)x4250(20x180)令t，則t2，6，yt24t250(t8)2282，當t8，即x128時，f(x)取得最大值，f(x)max282.所以甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時，總收益最大，且最大總收益為282萬元4某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計能獲得投資收益的范圍是10，100(單位：萬元)現(xiàn)準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：資金y(單位：萬元)隨投資收益x(單位：萬元)的增加而增加且資金不超過5萬元，同時資金不超過投資收益的20%.(1)若建立函數(shù)模型yf(x)制定獎勵方案，請你根據(jù)題意，寫出獎勵函數(shù)模型應滿足的條件；(2)現(xiàn)有兩個獎勵函數(shù)模型：()yx1；()ylog2x2.試分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司要求解：(1)設獎勵函數(shù)模型為yf(x)，則該函數(shù)模型滿足的條件是：當x10，100時，f(x)是增函數(shù)；當x10，100時，f(x)5恒成立；當x10，100時，f(x)恒成立(2)(a)對于函數(shù)模型()yx1，它在10，100上是增函數(shù)，滿足條件；但當x80時，y5，因此，當x>80時，y>5，不滿足條件；故該函數(shù)模型不符合公司要求(b)對于函數(shù)模型()ylog2x2，它在10，100上是增函數(shù)，滿足條件，x100時，ymaxlog210022log25<5，即f(x)5恒成立滿足條件，設h(x)log2x2x，則h(x)，又x10，100，所以，所以h(x)<0，所以h(x)在10，100上是遞減的，因此h(x)h(10)log2104<0，即f(x)恒成立，滿足條件，故該函數(shù)模型符合公司要求綜上所述，函數(shù)模型()ylog2x2符合公司要求- 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