課時作業(yè)46空間向量及其運(yùn)算、空間位置關(guān)系一、選擇題1已知點(diǎn)A(3,0，4)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，則|AB|等于(D)A12 B9C25 D10解析：點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0,4)，故|AB|10.2已知向量a(2，3,5)，b，且ab，則等于(C)A. B.C D解析：abakb3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab與2ab互相垂直，則k的值為(D)A1 B.C. D.解析：kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，由題意知，3(k1)2k40，解得k.4已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a、b、c三個向量共面，則實(shí)數(shù)等于(D)A. B.C. D.解析：由于a，b，c三個向量共面，所以存在實(shí)數(shù)m，n使得cmanb，即有解得m，n，.5已知正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為a，點(diǎn)N為B1B的中點(diǎn)，則|MN|等于(A)A.a B.aC.a D.a解析：()，|a.故選A.6設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四個點(diǎn)，且滿足·0，·0，·0，則BCD的形狀是(C)A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D無法確定解析：·()·()···22>0，同理·>0，·>0，故BCD為銳角三角形故選C.二、填空題7已知點(diǎn)P在z軸上，且滿足|OP|1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1,1)的距離為或.解析：由題意知，P(0,0,1)或P(0,0，1)|PA|.或|PA|.8已知空間四邊形OABC，點(diǎn)M、N分別是OA、BC的中點(diǎn)，且a，b，c，用a，b，c表示向量(bca)解析：如圖，()()()(2)()(bca)9已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動，當(dāng)·取最小值時，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是.解析：由題意，設(shè)，即OQ(，2)，則(1，2，32)，(2，1，22)，·(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062，當(dāng)時有最小值，此時Q點(diǎn)坐標(biāo)為.三、解答題10已知a(1，3,2)，b(2,1,1)，點(diǎn)A(3，1，4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直線AB上，是否存在一點(diǎn)E，使得b？(O為原點(diǎn))解：(1)2ab(2，6,4)(2，1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)令t(tR)，所以t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若b，則·b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t.因此存在點(diǎn)E，使得b，此時E點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)11如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，且PAPDAD，設(shè)E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點(diǎn)(1)求證：EF平面PAD；(2)求證：平面PAB平面PDC.證明：(1)如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OF.因?yàn)镻APD，所以POAD.因?yàn)閭?cè)面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.又O，F(xiàn)分別為AD，BD的中點(diǎn)，所以O(shè)FAB.又ABCD是正方形，所以O(shè)FAD.因?yàn)镻APDAD，所以PAPD，OPOA.以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OF，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A，F(xiàn)，D，P，B，C.因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以E.易知平面PAD的一個法向量為，因?yàn)?，?#183;·，0，0，又因?yàn)镋F平面PAD，所以EF平面PAD.(2)因?yàn)椋?0，a,0)，所以··(0，a,0)0，所以，所以PACD.又PAPD，PDCDD，PD，CD平面PDC，所以PA平面PDC.又PA平面PAB，所以平面PAB平面PDC.12如圖，P為空間任意一點(diǎn)，動點(diǎn)Q在ABC所在平面內(nèi)運(yùn)動，且23m，則實(shí)數(shù)m的值為(C)A0 B2C2 D1解析：23m，23m.又動點(diǎn)Q在ABC所在平面內(nèi)運(yùn)動，2(3)(m)1，m2.故選C.13如圖，在三棱錐A­BCD中，平面ABC平面BCD，BAC與BCD均為等腰直角三角形，且BACBCD90°，BC2，點(diǎn)P是線段AB上的動點(diǎn)，若線段CD上存在點(diǎn)Q，使得異面直線PQ與AC成30°的角，則線段PA長的取值范圍是(B)A(0，) B0，C(，) D(，)解析：以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,1,1)，B(0,2,0)，C(0,0,0)，設(shè)Q(q,0,0)，(0，)，則()(q,0,0)(0,1,1)(0，)(q，1，1)，異面直線PQ與AC成30°的角，cos30°，q2222，q2220,4解得0，|0，線段PA長的取值范圍是0，故選B.14如圖所示，正三角形ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將ABC沿CD翻折成直二面角A­DC­B.(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由解：(1)AB平面DEF，理由如下：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DB，DC，DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)，則A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，1)，F(xiàn)(1，0)，所以(0，1)，(1，0)，(2,0，2)，由此，得22.又與不共線，根據(jù)向量共面的充要條件可知，共面由于AB平面DEF，所以AB平面DEF.(2)假設(shè)存在點(diǎn)P(x，y,0)滿足條件，則(x，y，2)，·y20，所以y.又(x2，y,0)，(x,2y,0)，所以(x2)(2y)xy，所以xy2.把y代入上式，得x，所以，所以在線段BC上存在點(diǎn)P使APDE，此時.8