第一節(jié) 坐標(biāo)系 限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練(限時(shí)練·夯基練·提能練) A級　基礎(chǔ)夯實(shí)練 1．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos＝1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn)． (1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)； (2)設(shè)M，N的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程． 解：(1)∵ρcos＝1， ∴ρcos θ·cos＋ρsin θ·sin＝1.∴x＋y＝1. 即曲線C的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0. 令y＝0，則x＝2；令x＝0，則y＝. ∴M(2,0)，N. ∴M的極坐標(biāo)為(2,0)，N的極坐標(biāo)為. (2)∵M(jìn)，N連線的中點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為， ∴P的極角為θ＝. ∴直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． 2．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．求C1，C2的極坐標(biāo)方程； 解：因?yàn)閤＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝－2，C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. 3．(2018·安徽合肥二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ. (1)求出圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)已知圓C與x軸交于A，B兩點(diǎn)，直線l：y＝2x關(guān)于點(diǎn)M(0，m)(m≠0)對稱的直線為l′，若直線l′上存在點(diǎn)P使得∠APB＝90°，求實(shí)數(shù)m的最大值． 解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，故x2＋y2－4x＝0，即圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4. (2)l：y＝2x關(guān)于點(diǎn)M(0，m)的對稱直線l′的方程為y＝2x＋2m，易知AB為圓C的直徑，故直線l′上存在點(diǎn)P使得∠APB＝90°的充要條件是直線l′與圓C有公共點(diǎn)，故≤2，于是，實(shí)數(shù)m的最大值為－2. B級　能力提升練 4．圓心C的極坐標(biāo)為，且圓C經(jīng)過極點(diǎn)． (1)求圓C的極坐標(biāo)方程． (2)求過圓心C和圓與極軸交點(diǎn)(不是極點(diǎn))的直線的極坐標(biāo)方程． 解：(1)圓心C的直角坐標(biāo)為(，)，則設(shè)圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－)2＋(y－)2＝r2，依題意可知r2＝(0－)2＋(0－)2＝4，故圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－)2＋(y－)2＝4，化為極坐標(biāo)方程為 ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)＝0，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)． (2)在圓C的直角坐標(biāo)方程x2＋y2－2(x＋y)＝0中，令y＝0，得x2－2x＝0，解得x＝0或2，于是得到圓C與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)，(2，0)，由于直線過圓心C(，)和點(diǎn)(2，0)，則該直線的直角坐標(biāo)方程為y－0＝(x－2)，即x＋y－2＝0.化為極坐標(biāo)方程得ρcos θ＋ρsin θ－2＝0. 5．(2018·洛陽模擬)在極坐標(biāo)系中，曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝－2cos θ，ρcos＝1. (1)求曲線C1和C2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)． (2)過極點(diǎn)O作動(dòng)直線與曲線C2相交于點(diǎn)Q，在OQ上取一點(diǎn)P，使|OP|·|OQ|＝2，求點(diǎn)P的軌跡，并指出軌跡是什么圖形． 解：(1)C1的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝1，它表示圓心為(－1,0)，半徑為1的圓，C2的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0，所以曲線C2為直線，由于圓心到直線的距離為d＝＞1，所以直線與圓相離，即曲線C1和C2沒有公共點(diǎn)． (2)設(shè)Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，則即① 因?yàn)辄c(diǎn)Q(ρ0，θ0)在曲線C2上， 所以ρ0cos＝1，② 將①代入②，得cos＝1， 即ρ＝2cos為點(diǎn)P的軌跡方程，化為直角坐標(biāo)方程為2＋2＝1， 因此點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓． 6．已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ. (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程； (2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)將，消去參數(shù)t，化為普通方程為(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0. 將，代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0. 由 解得，或 所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，. 3