第4講 直接證明與間接證明 基礎(chǔ)題組練1用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3axb0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A方程x3axb0沒(méi)有實(shí)根B方程x3axb0至多有一個(gè)實(shí)根C方程x3axb0至多有兩個(gè)實(shí)根D方程x3axb0恰好有兩個(gè)實(shí)根解析：選A.依據(jù)反證法的要求，即至少有一個(gè)的反面是一個(gè)也沒(méi)有，直接寫出命題的否定方程x3axb0至少有一個(gè)實(shí)根的反面是方程x3axb0沒(méi)有實(shí)根，故應(yīng)選A.2分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明“設(shè)a>b>c，且abc0，求證：<a”索的因應(yīng)是()Aab>0 Bac>0C(ab)(ac)>0 D(ab)(ac)<0解析：選C.<ab2ac<3a2(ac)2ac<3a2a22acc2ac3a2<02a2acc2<02a2acc2>0(ac)(2ac)>0(ac)(ab)>0.故選C.3若a，bR，則下面四個(gè)式子中恒成立的是()Alg(1a2)>0 Ba2b22(ab1)Ca23ab>2b2 D.<解析：選B.在B中，因?yàn)閍2b22(ab1)(a22a1)(b22b1)(a1)2(b1)20，所以a2b22(ab1)恒成立4已知函數(shù)f(x)，a，b是正實(shí)數(shù)，Af，Bf()，Cf，則A，B，C的大小關(guān)系為()AABC BACBCBCA DCBA解析：選A.因?yàn)?，又f(x)在R上是減函數(shù)，所以ff()f，即ABC.5設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若x1x2>0，則f(x1)f(x2)的值()A恒為負(fù)值 B恒等于零C恒為正值 D無(wú)法確定解析：選A.由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1x2>0，可知x1>x2，f(x1)<f(x2)f(x2)，則f(x1)f(x2)<0.6設(shè)a2，b2，則a，b的大小關(guān)系為_解析：a2，b2，兩式的兩邊分別平方，可得a2114，b2114，顯然<，所以a<b.答案：a<b7已知a>b>0，則<；ac2>bc2；a2>b2；>，其中正確的序號(hào)是_解析：對(duì)于，因?yàn)閍>b>0，所以ab>0，>0，a·>b·，即>.故正確；當(dāng)c0時(shí)，不正確；由不等式的性質(zhì)知正確答案：8已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y圖象上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)yx圖象上的點(diǎn)，其中nN*，設(shè)cnanbn，則cn與cn1的大小關(guān)系為_解析：由條件得cnanbnn，所以cn隨n的增大而減小，所以cn1<cn.答案：cn1<cn9已知ab>0，求證：2a3b32ab2a2b.證明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因?yàn)閍b>0，所以ab0，ab>0，2ab>0，從而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.10已知x，y，z是互不相等的正數(shù)，且xyz1，求證：>8.證明：因?yàn)閤，y，z是互不相等的正數(shù)，且xyz1，所以1>，1>，1>，又x，y，z為正數(shù)，由××，得>8.綜合題組練1已知a，b，cR，若·>1且2，則下列結(jié)論成立的是()Aa，b，c同號(hào)Bb，c同號(hào)，a與它們異號(hào)Ca，c同號(hào)，b與它們異號(hào)Db，c同號(hào)，a與b，c的符號(hào)關(guān)系不確定解析：選A.由·>1知與同號(hào)，若>0且>0，不等式2顯然成立，若<0且<0，則>0，>0，2 >2，即<2，這與2矛盾，故>0且>0，即a，b，c同號(hào)2在等比數(shù)列an中，“a1<a2<a3”是“數(shù)列an遞增”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選C.當(dāng)a1<a2<a3時(shí)，設(shè)公比為q，由a1<a1q<a1q2得若a1>0，則1<q<q2，即q>1，此時(shí)，顯然數(shù)列an是遞增數(shù)列，若a1<0，則1>q>q2，即0<q<1，此時(shí)，數(shù)列an也是遞增數(shù)列，反之，當(dāng)數(shù)列an是遞增數(shù)列時(shí)，顯然a1<a2<a3.故“a1<a2<a3”是“等比數(shù)列an遞增”的充要條件3(創(chuàng)新型)設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是_(填序號(hào))解析：若a，b，則ab1，但a1，b1，故推不出；若ab1，則ab2，故推不出；若a2，b3，則a2b22，故推不出；若a2，b3，則ab1，故推不出；對(duì)于，即ab2，則a，b中至少有一個(gè)大于1，反證法：假設(shè)a1且b1，則ab2與ab2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個(gè)大于1.答案：4(應(yīng)用型)(一題多解)若二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1，在區(qū)間1，1內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_解析：法一(補(bǔ)集法)：令解得p3或p，故滿足條件的p的取值范圍為.法二(直接法)：依題意有f(1)0或f(1)0，即2p2p10或2p23p90，得p1或3p，故滿足條件的p的取值范圍是.答案：5已知非零向量a，b，且ab，求證：.證明：aba·b0，要證.只需證|a|b|ab|，只需證|a|22|a|b|b|22(a22a·bb2)，只需證|a|22|a|b|b|22a22b2，只需證|a|2|b|22|a|b|0，即證(|a|b|)20，上式顯然成立，故原不等式得證6已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若f(c)0，且0<x<c時(shí)，f(x)>0.(1)證明：是f(x)0的一個(gè)根；(2)試比較與c的大??；(3)證明：2<b<1.解：(1)證明：因?yàn)閒(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以f(x)0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，因?yàn)閒(c)0，所以x1c是f(x)0的根，又x1x2，所以x2，所以是f(x)0的一個(gè)根(2)假設(shè)<c，又>0，由0<x<c時(shí)，f(x)>0，知f>0與f0矛盾，所以c，又因?yàn)閏，所以>c.(3)證明：由f(c)0，得acb10，所以b1ac.又a>0，c>0，所以b<1.二次函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x<x2，即<.又a>0，所以b>2，所以2<b<1.- 6 -