課時(shí)作業(yè)48橢圓 1已知三點(diǎn)P(5,2)，F(xiàn)1(6,0)，F(xiàn)2(6,0)，那么以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P的橢圓的短軸長為(B)A3 B6C9 D12解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(5,2)在橢圓上，所以|PF1|PF2|2a，|PF2|，|PF1|5，所以2a6，即a3，c6，則b3，故橢圓的短軸長為6，故選B.2設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則的值為(B)A. B.C. D.解析：由題意知a3，b，c2.設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，則有OMPF2，OMF1F2，PF2F1F2，|PF2|.又|PF1|PF2|2a6，|PF1|2a|PF2|，×，故選B.3已知點(diǎn)P是橢圓1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為PF1F2的內(nèi)心，若SMPF1SMF1F2SMPF2成立，則的值為(D)A. B.C. D2解析：設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，因?yàn)镾MPF1SMF1F2SMPF2，所以SMPF1SMPF2SMF1F2；由橢圓的定義可知|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，所以arcr，c，所以2.4(2019·安徽宣城一模)已知橢圓1(ab0)的左頂點(diǎn)為M，上頂點(diǎn)為N，右焦點(diǎn)為F，若·0，則橢圓的離心率為(D)A. B.C. D.解析：由題意知，M(a,0)，N(0，b)，F(xiàn)(c,0)，(a，b)，(c，b)·0，acb20，即b2ac.又知b2a2c2，a2c2ac.e2e10，解得e或e(舍)橢圓的離心率為，故選D.5(2019·湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知橢圓1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2且垂直于長軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則ABF1內(nèi)切圓的半徑為(D)A. B1C. D.解析：法一：不妨設(shè)A點(diǎn)在B點(diǎn)上方，由題意知，F(xiàn)2(1,0)，將F2的橫坐標(biāo)代入橢圓方程1中，可得A點(diǎn)縱坐標(biāo)為，故|AB|3，所以內(nèi)切圓半徑r(其中S為ABF1的面積，C為ABF1的周長)，故選D.法二：由橢圓的通徑公式得|AB|3，則SABF1×2×33，又易得ABF1的周長C4a8，則由SABF1C·r可得r.故選D.6(2019·豫南九校聯(lián)考)已知兩定點(diǎn)A(1,0)和B(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在直線l：yx3上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為(A)A. B.C. D.解析：不妨設(shè)橢圓方程為1(a1)，與直線l的方程聯(lián)立得消去y得(2a21)x26a2x10a2a40，由題意易知36a44(2a21)(10a2a4)0，解得a，所以e，所以e的最大值為.故選A.7(2019·河北衡水中學(xué)模擬)設(shè)F1、F2分別是橢圓1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|PF1|的最小值為5.解析：由橢圓的方程可知F2(3,0)，由橢圓的定義可得|PF1|2a|PF2|，|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)取得等號，又|MF2|5,2a10，|PM|PF1|5105，即|PM|PF1|的最小值為5.8過點(diǎn)M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C：1(ab0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于.解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1.、兩式相減并整理得·.結(jié)合已知條件得，×，故橢圓的離心率e .9已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且F1PF260°，SPF1F23，則b3.解析：由題意得|PF1|PF2|2a，又F1PF260°，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60°|F1F2|2，所以(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2，所以3|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|b2，所以SPF1F2|PF1|PF2|sin60°×b2×b23，所以b3.10橢圓M：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范圍是2b2,3b2，橢圓M的離心率為e，則e的最小值是.解析：由橢圓的定義可知|PF1|PF2|2a，|PF1|·|PF2|2a2，2b2a23b2，即2a22c2a23a23c2，即e.令f(x)x，則f(x)在上是增函數(shù)，當(dāng)e時(shí)，e取得最小值.11已知點(diǎn)A(0，2)，橢圓E：1(ab0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程解：(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程為y21.(2)當(dāng)lx軸時(shí)不合題意，故設(shè)l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)將ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.當(dāng)16(4k23)0，即k2時(shí)，x1,2.從而|PQ|x1x2|.又點(diǎn)O到直線PQ的距離d，所以O(shè)PQ的面積SOPQd·|PQ|.設(shè)t，則t0，SOPQ.因?yàn)閠4，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即k±時(shí)等號成立，且滿足0，所以，當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，l的方程為yx2或yx2.12已知橢圓E：1(ab0)的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)(c,0)，(0，b)的直線的距離為c.(1)求橢圓E的離心率；(2)如圖，AB是圓M：(x2)2(y1)2的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程解：(1)過點(diǎn)(c,0)，(0，b)的直線方程為bxcybc0，則原點(diǎn)O到該直線的距離d，由dc，得a2b2，可得離心率.(2)解法一：由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2.依題意，圓心M(2,1)是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|.易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.從而x1x282b2.于是|AB| |x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故橢圓E的方程為1.解法二：由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2.依題意，點(diǎn)A，B關(guān)于圓心M(2,1)對稱，且|AB|.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x4y4b2，x4y4b2，兩式相減并結(jié)合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0.易知AB與x軸不垂直，則x1x2，所以AB的斜率kAB.因此直線AB的方程為y(x2)1，代入得x24x82b20.所以x1x24，x1x282b2.于是|AB| |x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故橢圓E的方程為1.13設(shè)F是橢圓C：1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的點(diǎn)，圓x2y2與線段PF交于A，B兩點(diǎn)，若A，B是線段PF的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則橢圓C的離心率為(D)A. B.C. D.解析：如圖所示，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D，連接OD，OA，設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)1，連接PF1.設(shè)|OD|t，因?yàn)辄c(diǎn)A，B是線段PF的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以點(diǎn)D為線段PF的中點(diǎn)，所以O(shè)DPF1，且|PF1|2t，PF1PF.因?yàn)閨PF|3|AB|6|AD|6，根據(jù)橢圓的定義，得|PF|PF1|2a，62t2a，解得t或t0(舍去)所以|PF|，|PF1|.在RtPFF1中，|PF|2|PF1|2|FF1|2，即22(2c)2，得，所以橢圓C的離心率e.14已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|2c，若橢圓上存在點(diǎn)M使得，則該橢圓離心率的取值范圍為(D)A(0，1) B.C. D(1,1)解析：在MF1F2中，而，.又M是橢圓1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，|MF1|MF2|2a.由得，|MF1|，|MF2|.顯然|MF2|MF1|，ac|MF2|ac，即acac，整理得c22aca20，e22e10，又0e1，1e1，故選D.15過橢圓1(ab0)上的動(dòng)點(diǎn)M作圓x2y2的兩條切線，切點(diǎn)分別為P和Q，直線PQ與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為E和F，則EOF面積的最小值是.解析：設(shè)M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則直線MP和MQ的方程分別為x1xy1y，x2xy2y.因?yàn)辄c(diǎn)M在MP和MQ上，所以有x1x0y1y0，x2x0y2y0，則P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程x0xy0y，所以直線PQ的方程為x0xy0y，可得E和F，所以SEOF·|OE|OF|，因?yàn)閎2ya2xa2b2，b2ya2x2ab|x0y0|，所以|x0y0|，所以SEOF，當(dāng)且僅當(dāng)b2ya2x時(shí)取“”，故EOF面積的最小值為.16(2019·山東濟(jì)寧一模)已知橢圓C：1(a2)，直線l：ykx1(k0)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)(1)若直線l與直線OD(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率之積為，求橢圓C的方程；(2)在(1)的條件下，y軸上是否存在定點(diǎn)M，使得當(dāng)k變化時(shí)，總有AMOBMO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：(1)由得(4a2k2)x22a2kx3a20，顯然0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，則x1x2，x1x2，x0，y01，k·k·，a28.橢圓C的方程為1.(2)假設(shè)存在定點(diǎn)M符合題意，且設(shè)M(0，m)，由AMOBMO得kAMkBM0.0.即y1x2y2x1m(x1x2)0，2kx1x2x1x2m(x1x2)0.由(1)知x1x2，x1x2，0，0，即0，k0，4m0，m4.存在定點(diǎn)M(0,4)，使得AMOBMO.10