《（江蘇專用）2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 必做05 數(shù)學(xué)歸納法試題（含解析）.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 必做05 數(shù)學(xué)歸納法試題（含解析）.doc（22頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題5 數(shù)學(xué)歸納法 【三年高考】1【2015江蘇高考，23】 已知集合，令表示集合所含元素的個(gè)數(shù).（1）寫出的值；（2）當(dāng)時(shí)，寫出的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.【解析】（1）（2）當(dāng)時(shí)，（）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：3）若，則，此時(shí)有，結(jié)論成立；4）若，則，此時(shí)有，結(jié)論成立；5）若，則，此時(shí)有，結(jié)論成立；6）若，則，此時(shí)有，結(jié)論成立綜上所述，結(jié)論對(duì)滿足的自然數(shù)均成立2. 【2014江蘇，理23】已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，（1）求的值；（2）證明：對(duì)任意，等式都成立.【答案】(1)；（2）證明見解析【解析】（1）由已知，所以，故.（1）時(shí)命題已經(jīng)成立，（2）假設(shè)時(shí)，命題成立，即，對(duì)此式兩邊求導(dǎo)可得，即，

2、因此時(shí)命題也成立.綜合（1）（2）等式對(duì)一切都成立.令，得，所以.3【2016山東文12】觀察下列等式：；照此規(guī)律，_【答案】 【解析】通過觀察這一系列等式可以發(fā)現(xiàn)，等式右邊最前面的數(shù)都是，接下來(lái)是和項(xiàng)數(shù)有關(guān)的兩項(xiàng)的乘積，經(jīng)歸納推理可知是，所以第個(gè)等式右邊是.4【2015高考山東，理11】觀察下列各式： 照此規(guī)律，當(dāng)nN時(shí)， .【答案】 【2018年高考命題預(yù)測(cè)】縱觀近幾年各地高考試題，江蘇高考對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的考查主要在方法的運(yùn)用的考查其應(yīng)用幾乎涉及數(shù)學(xué)的方方面面的知識(shí)，代表研究性命題的發(fā)展趨勢(shì)，該部分命題的方向主要會(huì)在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，在新的高考中都會(huì)涉及和滲透；預(yù)計(jì)

3、2018年高考也將會(huì)有題目用到推理證明的方法。推理與證明是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，推理一般包括合情推理與演繹推理，在解決問題的過程中，合情推理具有猜測(cè)結(jié)論和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)數(shù)學(xué)歸納法是將無(wú)窮的歸納過程，根據(jù)歸納原理轉(zhuǎn)化為有限的特殊（直接驗(yàn)證和演繹推理相結(jié)合）的過程，要很好地掌握其原理并靈活運(yùn)用復(fù)習(xí)建議：數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)鍵是解題的步驟，必須符合數(shù)學(xué)歸納法的要求，解決此類題目時(shí)要建立合理的解題思路； 【2018年高考考點(diǎn)定位】高考的考查：數(shù)學(xué)歸納法（理科附加）內(nèi)容，由于推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學(xué)的方方面面的知識(shí)，代

4、表研究性命題的發(fā)展趨勢(shì)，選擇題、填空題、解答題都可能涉及到，該部分命題的方向主要會(huì)在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，因此數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用是方方面面的，在高考中會(huì)涉及和滲透，但不可能單獨(dú)出題，一般可能在附加綜合題中在涉及到無(wú)窮的過程時(shí)考查數(shù)學(xué)歸納法【考點(diǎn)1】數(shù)學(xué)歸納法【備考知識(shí)梳理】1. 一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法根據(jù)推理過程中考查的對(duì)象是涉及事物的全體或部分可分為完全歸納法和不完全歸納法2數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是一個(gè)與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：證明起始命題(或)成立；在假設(shè)成立的前提下，推出也成立，那么可以斷定對(duì)一切正整數(shù)成立3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正

5、整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，其步驟為：歸納奠基：證明當(dāng)取第一個(gè)自然數(shù)時(shí)命題成立；歸納遞推：假設(shè)，(，)時(shí)，命題成立，證明當(dāng)時(shí)，命題成立；由得出結(jié)論【規(guī)律方法技巧】1. 明確數(shù)學(xué)歸納法的兩步證明數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法，它們的表述嚴(yán)格而且規(guī)范，兩個(gè)步驟缺一不可第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，第二步中，歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用，在nk1時(shí)一定要運(yùn)用它，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法第二步的關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式應(yīng)注意的問題(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，以及初始值的值(2)由到時(shí)

6、，除考慮等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用時(shí)的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)，明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等簡(jiǎn)言之：兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論；遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉來(lái)3. 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的注意問題(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由成立，推證時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明4. “歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)

7、用的解題模式其一般思路是：通過觀察有限個(gè)特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用其關(guān)鍵是觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律5. 使用數(shù)學(xué)歸納法需要注意的三個(gè)問題在使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)還要明確：(1)數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，其中前兩步在推理中的作用是：第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，二者缺一不可；(2)在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，要注意起點(diǎn)，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清題目；(3)第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè)，特別要弄清楚由到時(shí)命題變化的情況6. 數(shù)學(xué)歸納法常用于與正整數(shù)有關(guān)命題的證明可用數(shù)學(xué)歸納法

8、例如根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，通過觀察項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，初步形成“觀察歸納猜想證明”的思維模式；利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，要注意放縮法的應(yīng)用，放縮的方向應(yīng)朝著結(jié)論的方向進(jìn)行，可通過變化分子或分母，通過裂項(xiàng)相消等方法達(dá)到證明的目的【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“”時(shí)，由不等式成立，推證時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是【答案】【解析】時(shí)，左邊為，增加了，共項(xiàng)2.設(shè)個(gè)正數(shù)滿足（且）（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）當(dāng)時(shí)，不等式也成立，請(qǐng)你將其推廣到（且）個(gè)正數(shù)的情形，歸納出一般性的結(jié)論并用數(shù)學(xué)歸納法證明【解析】（1）證明：因?yàn)椋ㄇ遥┚鶠檎龑?shí)數(shù)，左右=0，所

9、以，原不等式成立 （2）歸納的不等式為：（且）記，當(dāng)（）時(shí)，由（1）知，不等式成立；假設(shè)當(dāng)（且）時(shí)，不等式成立，即則當(dāng)時(shí)，= = =，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，不等式成立綜上所述，不等式（且）成立 【兩年模擬詳解析】1. 【2016-2017學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）】已知，其中，.（1）試求，的值；（2）試猜測(cè)關(guān)于的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）， （2）【解析】解：（1） ； ； .（2）猜想：.而 ， ，所以.用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立.當(dāng)時(shí)，所以結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)， .當(dāng)時(shí)， （*） 由歸納假設(shè)知（*）式等于 .所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.綜合，成立.2. 【2017年第三次全

10、國(guó)大聯(lián)考江蘇卷】已知每一項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列滿足，（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，成立；（2）由（1）知，所以，同理由數(shù)學(xué)歸納法可證，猜測(cè)：，下證這個(gè)結(jié)論因?yàn)椋耘c異號(hào),即與同號(hào)注意到，知，即所以有，從而可知，所以，所以10分3. 【2017年高考原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷03（江蘇卷）】設(shè)表示的整數(shù)部分（）求；（）求滿足的的值；（）求證：【解析】（）因?yàn)?，所以；因?yàn)椋?；又因?yàn)?，所以?（2分）（）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以，即，所以，共8個(gè)值；-（5分）（）用數(shù)學(xué)歸納法推證:當(dāng)時(shí)，左邊等于；右邊等于，等式成立；-（7分）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式也成立，即，那么當(dāng)時(shí)，即成

11、立，也就是說(shuō)當(dāng)時(shí)等式也成立，根據(jù)可知對(duì)任何等式都成立-（10分）4. 【2017年高考原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷01（江蘇卷）】（本小題滿分10分）設(shè)為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（2）已知，試?yán)茫?）的結(jié)論計(jì)算.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）證明：當(dāng)時(shí)，左邊=右邊=，命題成立；1分假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即，則當(dāng)時(shí)， ；4分綜上，由和可得，6分（2），10分5. 【2017年高考原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷02（江蘇卷）】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（）求的值；（）求證：對(duì)任意的自然數(shù)，不等式成立.【解析】（）將代入可得；-（2分） （）證明：由可得：，因此欲證明不等式成立，只需要證明當(dāng)對(duì)一

12、切非零自然數(shù)不等式恒成立即可，- -（4分）顯然左端每個(gè)因式都為正數(shù)，因,故只需證明對(duì)每個(gè)非零自然數(shù)，不等式-（*）恒成立即可.-（5分）下用數(shù)學(xué)歸納法證明該不等式成立：（1）顯然當(dāng)時(shí)，不等式（*）恒成立；-（6分）（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式（*）也成立，即不等式成立，那么當(dāng)時(shí)，即，注意到，所以，這說(shuō)明當(dāng)時(shí)，不等式不等式（*）也成立.-（9分）因此由數(shù)學(xué)歸納法可知：不等式（*）對(duì)一切非零自然數(shù)都成立；即恒成立，故欲證不等式對(duì)一切非零自然數(shù)都成立.-（10分）6. 【揚(yáng)州市20162017學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)】（本小題滿分10分）已知，其中 是關(guān)于的函數(shù).（1）若，求，的值；（2）若，求證：.【解析

13、】解：因?yàn)?，所以，所以?-1分 所以. -3分因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，所以時(shí)結(jié)論成立. -4分假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，則時(shí)，=，所以時(shí)，結(jié)論也成立. 綜合可知，. -10分7. 【2017南通揚(yáng)州泰州蘇北四市高三二模】（本小題滿分10分） 設(shè)有序數(shù)組經(jīng)m次變換后得到數(shù)組，其中，（1，2，n），例如：有序數(shù)組經(jīng)1次變換后得到數(shù)組，即；經(jīng)第2次變換后得到數(shù)組（1）若，求的值；（2）求證：，其中1，2，n（注：當(dāng)時(shí)，1，2，n，則）解：（1）依題意，經(jīng)1次變換為：，經(jīng)2次變換為：，經(jīng)3次變換為：，所以 3分（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)，其中 （i）當(dāng)時(shí)，其中，結(jié)論成立； （ii）假設(shè)時(shí)，其中 5分 則時(shí)，

14、，所以結(jié)論對(duì)時(shí)也成立由（i）（ii）知，其中 10分8. 【蘇錫常鎮(zhèn)四市2016屆高三教學(xué)情況調(diào)研（二）】設(shè)實(shí)數(shù)滿足，且且，令求證：【答案】詳見解析【解析】證明：（1）當(dāng)時(shí)，即，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立 （2）假設(shè)當(dāng)且時(shí)，結(jié)論成立，即當(dāng)，且時(shí)，有則當(dāng)時(shí)，由，且， 又，且，由假設(shè)可得， ，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立綜上，由（1）和（2）可知，結(jié)論成立9【江蘇省蘇中三市2016屆高三第二次調(diào)研測(cè)試】設(shè)（），其中（）當(dāng)除以4的余數(shù)是（）時(shí)，數(shù)列的個(gè)數(shù)記為（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）求關(guān)于的表達(dá)式，并化簡(jiǎn)【答案】（1）（2）試題解析：解：（1）當(dāng)時(shí)，數(shù)列中有1個(gè)1或5個(gè)1，其余為0，所以3分（2）依題意，數(shù)列中有3個(gè)1，

15、或7個(gè)1，或11個(gè)1，或個(gè)1 ，其余為0，所以5分同理，得因?yàn)?，所以又，所?0. 【2016屆山東省濰坊中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)】觀察下列等式 第一個(gè)式子 第二個(gè)式子 第三個(gè)式子 第四個(gè)式子照此規(guī)律下去（）寫出第5個(gè)等式；（）你能做出什么一般性的猜想？請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想 【答案】詳見解析【解析】（）第5個(gè)等式 ；（）猜測(cè)第個(gè)等式為，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明試題解析：（）第5個(gè)等式 （）猜測(cè)第個(gè)等式為 證明：（1）當(dāng)時(shí)顯然成立；（2）假設(shè)時(shí)也成立，即有 那么當(dāng)時(shí)左邊而右邊這就是說(shuō)時(shí)等式也成立根據(jù)（1）（2）知，等式對(duì)任何都成立11求證：1(nN*)【答案】詳見解析【解析】證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊

16、1，右邊.左邊右邊(2)假設(shè)nk時(shí)等式成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)，.即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立綜合(1)，(2)可知，對(duì)一切nN*，等式成立12設(shè)f(n)1(nN*)求證：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)【答案】詳見解析【解析】證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊f(xié)(1)1，右邊21，左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)nk(k2，kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當(dāng)nk1時(shí)，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論仍然成立由(1)(2)可知：f(1)f(

17、2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*) 【一年原創(chuàng)真預(yù)測(cè)】1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1n(nN*)【答案】詳見解析【解析】證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊11，等式成立【入選理由】本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式，（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，以及初始值n0的值(2)由nk到nk1時(shí)，除考慮等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用nk時(shí)的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明本題難度不大，主要鞏固數(shù)學(xué)歸納法的步驟，故選本題2數(shù)列an滿足Sn2nan(nN*)(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想【答案】詳見解析【解析】(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S12a1，a11.當(dāng)n2時(shí)，a1a2S222a2，a2.當(dāng)n3時(shí)，a1a2a3S323a3，a3.當(dāng)n4時(shí)，a1a2a3a4S424a4，a4.由此猜想an(nN*)(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，左邊a11，右邊1，左邊右邊，結(jié)論成立【入選理由】“歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式其一般思路是：通過觀察有限個(gè)特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式故選本題- 22 -