第4講 二次函數(shù)與冪函數(shù) 基礎題組練1已知函數(shù)f(x)x24xa，x0，1，若f(x)有最小值2，則a的值為()A1B0C1 D2解析：選D.函數(shù)f(x)x24xa的對稱軸為直線x2，開口向下，f(x)x24xa在0，1上是增加的，則當x0時，f(x)的最小值為f(0)a2.2一次函數(shù)yaxb與二次函數(shù)yax2bxc在同一直角坐標系中的圖象大致是()解析：選C.若a>0，則一次函數(shù)yaxb為增函數(shù)，二次函數(shù)yax2bxc的圖象開口向上，故可排除A；若a<0，一次函數(shù)yaxb為減函數(shù)，二次函數(shù)yax2bxc的圖象開口向下，故可排除D；對于選項B，看直線可知a>0，b>0，從而<0，而二次函數(shù)的對稱軸在y軸的右側，故可排除B.故選C.3已知a，b，cR，函數(shù)f(x)ax2bxc，若f(0)f(4)>f(1)，則()Aa>0，4ab0 Ba<0，4ab0Ca>0，2ab0 Da<0，2ab0解析：選A.由f(0)f(4)，得f(x)ax2bxc圖象的對稱軸為x2，所以4ab0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先減后增，于是a>0，故選A.4.冪函數(shù)yxm24m(mZ)的圖象如圖所示，則m的值為()A0 B1C2 D3解析：選C.因為yxm24m (mZ)的圖象與坐標軸沒有交點，所以m24m<0，即0<m<4.又因為函數(shù)的圖象關于y軸對稱，且mZ，所以m24m為偶數(shù)，因此m2.5已知冪函數(shù)f(x)(n22n2)·xn23n(nZ)的圖象關于y軸對稱，且在(0，)上是減函數(shù)，則n的值為()A3 B1C2 D1或2解析：選B.由于f(x)為冪函數(shù)，所以n22n21，解得n1或n3，當n1時，函數(shù)f(x)x2為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，且f(x)在(0，)上是減函數(shù)，所以n1滿足題意；當n3時，函數(shù)f(x)x18為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，而f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以n3不滿足題意，舍去故選B.6已知二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，對稱軸為x3，與y軸交于點(0，3)，則它的解析式為_解析：由題意知，可設二次函數(shù)的解析式為ya(x3)2，又圖象與y軸交于點(0，3)，所以39a，即a.所以y(x3)2x22x3.答案：yx22x37若f(x)x22ax與g(x)在區(qū)間1，2上都是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：因為f(x)x22ax在1，2上是減函數(shù)，所以a1，又因為g(x)在1，2上是減函數(shù)，所以a>0，所以0<a1.答案：(0，18已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2x)f(2x)，且f(x)在0，2上是增函數(shù)，若f(a)f(0)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由f(2x)f(2x)可知，函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x2，又函數(shù)f(x)在0，2上是增加的，所以由f(a)f(0)可得0a4.答案：0，49已知函數(shù)f(x)x2(2a1)x3.(1)當a2，x2，3時，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)在1，3上的最大值為1，求實數(shù)a的值解：(1)當a2時，f(x)x23x3，x2，3，對稱軸x2，3，所以f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，所以函數(shù)f(x)的值域為.(2)對稱軸為x.當1，即a時，f(x)maxf(3)6a3，所以6a31，即a滿足題意；當>1，即a<時，f(x)maxf(1)2a1，所以2a11，即a1滿足題意綜上可知，a或1.10已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)當1，1時，函數(shù)yf(x)的圖象恒在函數(shù)y2xm的圖象的上方，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)設f(x)ax2bx1(a0)，由f(x1)f(x)2x，得2axab2x.所以，2a2且ab0，解得a1，b1，因此f(x)的解析式為f(x)x2x1.(2)因為當x1，1時，yf(x)的圖象恒在y2xm的圖象上方，所以在1，1上，x2x1>2xm恒成立；即x23x1>m在區(qū)間1，1上恒成立所以令g(x)x23x1，因為g(x)在1，1上的最小值為g(1)1，所以m<1.故實數(shù)m的取值范圍為(，1)綜合題組練1(2020·湖南4月聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)f(x)x3m與函數(shù)g(x)f(x)x3x2kx在1，1上具有相同的單調(diào)性，則k的取值范圍是()A(，2 B2，)C2，2 D(，22，)解析：選B.易知定義在R上的函數(shù)f(x)x3m是減少的，所以函數(shù)g(x)x2kxm在1，1上是減少的，所以拋物線的對稱軸x1，所以k2.故選B.2(2020·湖北荊州質(zhì)量檢查(一)若對任意的xa，a2，均有(3xa)38x3，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，2 B(，1C(，0 D0，)解析：選B.因為(3xa)38x3，yx3在R上遞增，所以3xa2x，可得xa，即x(，a，因為對任意的xa，a2，均有(3xa)38x3成立，所以a，a2是(，a的子集，所以a2a，所以a1，即a的取值范圍是(，1，故選B.3.如圖是二次函數(shù)yax2bxc圖象的一部分，圖象過點A(3，0)，對稱軸為x1.給出下面四個結論：b2>4ac；2ab1；abc0；5a<b.其中正確的是()ABC D解析：選B.因為二次函數(shù)的圖象與x軸交于兩點，所以b24ac>0，即b2>4ac，正確；對稱軸為x1，即1，2ab0，錯誤；結合圖象，當x1時，y>0，即abc>0，錯誤；由對稱軸為x1知，b2a，又函數(shù)圖象開口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，正確故選B.4已知yf(x)是偶函數(shù)，當x>0時，f(x)(x1)2，若當x時，nf(x)m恒成立，則mn的最小值為_解析：當x<0時，x>0，f(x)f(x)(x1)2，因為x，所以f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，所以m1，n0，mn1.所以mn的最小值是1.答案：15已知函數(shù)f(x)ax2bxc(a0，bR，cR)(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(xiàn)(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在區(qū)間(0，1上恒成立，試求b的取值范圍解：(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，所以f(x)(x1)2.所以F(x)所以F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由題意知f(x)x2bx，原命題等價于1x2bx1在(0，1上恒成立，即bx且bx在(0，1上恒成立又當x(0，1時，x的最小值為0，x的最大值為2.所以2b0.故b的取值范圍是2，06