第8講 函數(shù)與方程 基礎(chǔ)題組練1(2020·河南商丘九校聯(lián)考)函數(shù)f(x)(x21)·的零點個數(shù)是()A1B2C3 D4解析：選B.要使函數(shù)有意義，則x240，解得x2或x2.由f(x)0得x240或x210(不成立舍去)，即x2或x2.所以函數(shù)的零點個數(shù)為2.故選B.2函數(shù)yx4·的零點所在的區(qū)間是()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：選B.因為yf(x)x4x是R上連續(xù)遞增的函數(shù)，且f(1)12<0，f(2)21>0，所以f(1)·f(2)<0，故函數(shù)yx4·的零點所在的區(qū)間為(1，2)故選B.3(2020·福建晉江四校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)ylog3x與y3x的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：選C.令m(x)log3xx3，則函數(shù)m(x)log3xx3的零點所在的區(qū)間即為函數(shù)ylog3x與y3x的圖象的交點的橫坐標所在的區(qū)間因為m(x)log3xx3遞增且連續(xù)，且滿足m(2)m(3)<0，所以m(x)log3xx3的零點在(2，3)內(nèi)，從而可知方程log3xx30的解所在的區(qū)間是(2，3)，即函數(shù)ylog3x與y3x的圖象交點的橫坐標x0所在的區(qū)間是(2，3)故選C.4(2020·河南焦作統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)則函數(shù)f(x)在(6，)上的零點個數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選C.由題知函數(shù)f(x)在(6，)上有零點，則或解得x2或x4或xe6，即函數(shù)f(x)在(6，)上的零點個數(shù)為3.故選C.5(2020·河北張家口模擬)已知函數(shù)f(x)|ln x|，g(x)f(x)mx恰有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是()A. BC(0，1) D解析：選A.g(x)有三個零點，即yf(x)與ymx的圖象有三個交點，作出yf(x)和ymx的圖象如圖當ymx與yf(x)相切時，設(shè)切點坐標為(x0，ln x0)，則解得m.則當0<m<時，直線ymx與曲線yf(x)有三個交點，即函數(shù)g(x)有三個零點故選A.6已知函數(shù)f(x)log2(x1)3xm的零點在(0，1上，則實數(shù)m的取值范圍為_解析：由題意知函數(shù)f(x)log2(x1)3xm在定義域上遞增，又由函數(shù)f(x)在(0，1上存在零點，得即解得4m<0，即實數(shù)m的取值范圍為4，0)答案：4，0)7已知函數(shù)f(x)cos x，則f(x)在0，2上的零點個數(shù)為_解析：如圖，作出g(x)與h(x)cos x的圖象，可知其在0，2上的交點個數(shù)為3，所以函數(shù)f(x)在0，2上的零點個數(shù)為3.答案：38函數(shù)f(x)2cos x(4x6)的所有零點之和為_解析：可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)y與y2cos x在4，6上的交點的橫坐標的和，因為兩個函數(shù)均關(guān)于x1對稱，所以兩個函數(shù)在x1兩側(cè)的交點對稱，則每對對稱點的橫坐標的和為2，分別畫出兩個函數(shù)的圖象易知兩個函數(shù)在x1兩側(cè)分別有5個交點，所以5×210.答案：109關(guān)于x的二次方程x2(m1)x10在區(qū)間0，2上有解，求實數(shù)m的取值范圍解：顯然x0不是方程x2(m1)x10的解，0<x2時，方程可變形為1mx，又因為yx在(0，1上是減少的，在1，2上是增加的，所以yx在(0，2上的取值范圍是2，)，所以1m2，所以m1，故m的取值范圍是(，110設(shè)函數(shù)f(x)(x>0)(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)當0<a<b，且f(a)f(b)時，求的值；(3)若方程f(x)m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍解：(1)如圖所示(2)因為f(x)故f(x)在(0，1上是減函數(shù)，而在(1，)上是增函數(shù)，由0<a<b且f(a)f(b)，得0<a<1<b，且11，所以2.(3)由函數(shù)f(x)的圖象可知，當0<m<1時，方程f(x)m有兩個不相等的正根綜合題組練1已知x表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，g(x)x為取整函數(shù)，x0是函數(shù)f(x)ln x的零點，則g(x0)等于()A1 B2C3 D4解析：選B.f(2)ln 21<0，f(3)ln 3>0，故x0(2，3)，所以g(x0)x02.故選B.2(2020·湖南婁底二模)若x1是方程xex1的解，x2是方程xln x1的解，則x1x2等于()A1 B1Ce D解析：選A.考慮到x1，x2是函數(shù)yex、函數(shù)yln x與函數(shù)y的圖象的交點A，B的橫坐標，而A，B兩點關(guān)于yx對稱，因此x1x21.故選A.3(2020·湘贛十四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)，有且只有1個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：當a>0時，函數(shù)yax3(x>0)必有一個零點，又因為<0，故a2a>0，解得a>1；當a0時，f(x)恰有一個零點；當a<0時，若x>0，則f(x)ax3<0，若x0，則f(x)ax22xa，此時，f(x)恒小于0，所以當a<0時，f(x)無零點，故答案為a0或a>1.答案：a0或a>14已知函數(shù)f(x)若函數(shù)yf(x)a|x|恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：在同一平面直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)yf(x)和ya|x|的圖象可知，若滿足條件，則a0.當a2時，在y軸右側(cè)，兩函數(shù)圖象只有一個公共點，此時在y軸左側(cè)，射線yax(x0)與拋物線yx25x4(4x1)需相切由消去y，得x2(5a)x40.由(5a)2160，解得a1或a9.a1與a2矛盾，a9時，切點的橫坐標為2，不符合題意當0a2，此時，在y軸右側(cè)，兩函數(shù)圖象有兩個公共點，若滿足條件，則a1，即a1.故1a2.答案：(1，2)5已知函數(shù)f(x)x22x，g(x)(1)求g(f(1)的值；(2)若方程g(f(x)a0有4個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1)g(3)312.(2)令f(x)t，則原方程化為g(t)a，易知方程f(x)t在(，1)上有2個不同的解，則原方程有4個解等價于函數(shù)yg(t)(t<1)與ya的圖象有2個不同的交點，作出函數(shù)yg(t)(t<1)的圖象如圖，由圖象可知，當1a<時，函數(shù)yg(t)(t<1)與ya有2個不同的交點，即所求a的取值范圍是.6設(shè)函數(shù)f(x)，xR且x1.(1)求fffff(4)f(6)f(8)f(10)的值；(2)就m的取值情況，討論關(guān)于x的方程f(x)xm在x2，3上解的個數(shù)解：(1)根據(jù)題意，函數(shù)f(x)，則f，則f(x)f0，則fffff(4)f(6)f(8)f(10)ff(10)ff(8)ff(6)ff(4)0.(2)根據(jù)題意，設(shè)g(x)f(x)xx(x1)2，令tx1，又由x2，3，則t1，2，則設(shè)h(t)t2，有h(t)1，分析可得，在區(qū)間1，)上，h(t)遞減，在區(qū)間，2上，h(t)遞增；則h(t)在1，2有最小值h()22，且h(1)h(2)5，則函數(shù)h(t)在區(qū)間1，2上有最大值5，最小值22，方程f(x)xm的解的個數(shù)即為函數(shù)g(x)與直線ym的交點個數(shù)，分析可得，當m22時，函數(shù)g(x)與直線ym沒有交點，方程f(x)xm無解；當m22時，函數(shù)g(x)與直線ym有1個交點，方程f(x)xm有1個解；當22m5時，函數(shù)g(x)與直線ym有2個交點，方程f(x)xm有2個解；當m5時，函數(shù)g(x)與直線ym沒有交點，方程f(x)xm無解；綜上可得，當m22或m5時，方程f(x)xm無解；當m22時，方程f(x)xm有1個解；當22m5時方程f(x)xm有2個解7