第2講 用樣本估計(jì)總體 基礎(chǔ)題組練1(2019·高考全國(guó)卷)演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分，7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是()A中位數(shù) B平均數(shù)C方差 D極差解析：選A.記9個(gè)原始評(píng)分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的順序排列)，易知e為7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A.2(2020·陜西商洛質(zhì)檢)在一次53.5千米的自行車個(gè)人賽中，25名參賽選手成績(jī)(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示，現(xiàn)將參賽選手按成績(jī)由好到差編為125號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取5人，已知選手甲的成績(jī)性為85分鐘，若甲被選取，則被選取的其余4名選手的成績(jī)的平均數(shù)為()A95B96C97D98解析：選C.由系統(tǒng)抽樣法及已知條件可知被選中的其他4人的成績(jī)分別是88，94，99，107，故平均數(shù)為97，故選C.3(2020·廣東珠海摸底)某班級(jí)在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中設(shè)置了一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)以及參與獎(jiǎng)，各個(gè)獎(jiǎng)品的單價(jià)分別為一等獎(jiǎng)20元，二等獎(jiǎng)10元，三等獎(jiǎng)5元，參與獎(jiǎng)2元，獲獎(jiǎng)人數(shù)的分配情況如圖所示，則以下說法不正確的是()A獲得參與獎(jiǎng)的人數(shù)最多B各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)中三等獎(jiǎng)的總費(fèi)用最高C購(gòu)買獎(jiǎng)品的平均費(fèi)用為9.25元D購(gòu)買獎(jiǎng)品的費(fèi)用的中位數(shù)為2元解析：選C.設(shè)全班人數(shù)為a.由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知一等獎(jiǎng)?wù)?%，二等獎(jiǎng)?wù)?0%，三等獎(jiǎng)?wù)?0%，參與獎(jiǎng)?wù)?5%，獲得參與獎(jiǎng)的人數(shù)最多，故A正確；一等獎(jiǎng)的總費(fèi)用為5%a×20a.二等獎(jiǎng)的總費(fèi)用為10%a×10a，三等獎(jiǎng)的總費(fèi)用為30%a×5a，參與獎(jiǎng)的總費(fèi)用為55%a×2a，所以各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)中三等獎(jiǎng)的總費(fèi)用最高，故B正確；購(gòu)買獎(jiǎng)品的平均費(fèi)用為5%×2010%×1030%×555%×24.6(元)，故C錯(cuò)誤；參與獎(jiǎng)?wù)?5%，所以購(gòu)買獎(jiǎng)品的費(fèi)用的中位數(shù)為2元，故D正確故選C.4(2020·安徽六安毛坦廠中學(xué)月考)某位教師2017年的家庭總收入為80 000元，各種用途占比統(tǒng)計(jì)如下面的折線圖.2018年收入的各種用途占比統(tǒng)計(jì)如下面的條形圖，已知2018年的就醫(yī)費(fèi)用比2017年增加了4 750元，則該教師2018年的家庭總收入為()A100 000元 B95 000元C90 000元 D85 000元解析：選D.由已知得，2017年的就醫(yī)費(fèi)用為80 000×10%8 000(元)故2018年的就醫(yī)費(fèi)用為8 0004 75012 750(元)，所以該教師2018年的家庭總收入為85 000(元)故選D.5甲、乙兩名同學(xué)6次考試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲，乙，標(biāo)準(zhǔn)差分別為甲，乙，則()A甲<乙，甲<乙 B甲<乙，甲>乙C甲>乙，甲<乙 D甲>乙，甲>乙解析：選C.由題圖可知，甲同學(xué)除第二次考試成績(jī)略低于乙同學(xué)外，其他考試成績(jī)都遠(yuǎn)高于乙同學(xué)，可知甲>乙，題圖中數(shù)據(jù)顯示甲同學(xué)的成績(jī)比乙同學(xué)穩(wěn)定，故甲<乙6某中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人，分為兩個(gè)小組，在一次階段測(cè)試中兩個(gè)小組成績(jī)的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是88，乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是89，則nm的值是_解析：由甲組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是88，可得88，解得m3.由乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是89，可得n9，所以nm6.答案：67已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為_、_解析：由題圖甲可知學(xué)生總?cè)藬?shù)是10 000，樣本容量為10 000×2%200，抽取的高中生人數(shù)是2 000×2%40，由題圖乙可知高中生的近視率為50%，所以抽取的高中生的近視人數(shù)為40×50%20.答案：200208為了了解某校高三美術(shù)生的身體狀況，抽查了部分美術(shù)生的體重，將所得數(shù)據(jù)整理后，作出了如圖所示的頻率分布直方圖已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為135，第2個(gè)小組的頻數(shù)為15，則被抽查的美術(shù)生的人數(shù)是_解析：設(shè)被抽查的美術(shù)生的人數(shù)為n，因?yàn)楹?個(gè)小組的頻率之和為(0.037 50.012 5)×50.25，所以前3個(gè)小組的頻率之和為0.75.又前3個(gè)小組的頻率之比為135，第2個(gè)小組的頻數(shù)為15，所以前3個(gè)小組的頻數(shù)分別為5，15，25，所以n60.答案：609我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，城市缺水問題較為突出某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)為了了解全市居民用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100位居民某年的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照0，0.5)，0.5，1)，4，4.5分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)已知該市有80萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，估計(jì)x的值，并說明理由解：(1)由頻率分布直方圖，可得(0.080.16a0.400.52a0.120.080.04)×0.51，解得a0.30.(2)由頻率分布直方圖知，100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為(0.120.080.04)×0.50.12.由以上樣本頻率分布，可以估計(jì)全市80萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為800 000×0.1296 000.(3)因?yàn)榍?組的頻率之和為(0.080.160.300.400.520.30)×0.50.880.85，前5組的頻率之和為(0.080.160.300.400.52)×0.50.730.85，所以2.5x3.由0.3×(x2.5)0.850.73，解得x2.9.因此，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)10有A，B，C，D，E五位工人參加技能競(jìng)賽培訓(xùn)現(xiàn)分別從A，B二人在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取8次用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)：(1)A，B二人預(yù)賽成績(jī)的中位數(shù)分別是多少？(2)現(xiàn)要從A，B中選派一人參加技能競(jìng)賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認(rèn)為派哪位工人參加合適？請(qǐng)說明理由；(3)若從參加培訓(xùn)的5位工人中選2人參加技能競(jìng)賽，求A，B二人中至少有一人參加技能競(jìng)賽的概率解：(1)A的中位數(shù)是84，B的中位數(shù)是83.(2)派B參加比較合適理由如下：B(7879818284889395)85，A(7580808385909295)85，s(7885)2(7985)2(8185)2(8285)2(8485)2(8885)2(9385)2(9585)235.5，s(7585)2(8085)2(8085)2(8385)2(8585)2(9085)2(9285)2(9585)241，因?yàn)锳B，但s<s，說明B穩(wěn)定，派B參加比較合適(3)5位工人中選2人有10種：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)；A，B都不參加的有3種：(C，D)，(C，E)，(D，E)，A，B二人中至少有一人參加技能競(jìng)賽的概率P1.綜合題組練1PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物如圖是根據(jù)環(huán)保部門某日早6點(diǎn)至晚9點(diǎn)在A縣、B縣兩個(gè)地區(qū)附近的PM2.5監(jiān)測(cè)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)(單位：毫克/立方米)列出的莖葉圖，A縣、B縣兩個(gè)地區(qū)濃度的方差較小的是()AA縣BB縣CA縣、B縣兩個(gè)地區(qū)相等 D無法確定解析：選A.根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)可知，A縣的數(shù)據(jù)都集中在0.05和0.08之間，數(shù)據(jù)分布比較穩(wěn)定，而B縣的數(shù)據(jù)分布比較分散，不如A縣數(shù)據(jù)集中，所以A縣的方差較小2某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位：分鐘)分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|xy|的值為()A1 B2C3 D4解析：選D.由題意知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，可得：xy20，(x10)2(y10)28，設(shè)x10t，y10t，由(x10)2(y10)28，得t24，所以|xy|2|t|4.3設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x2 017的方差是4，若yi2xi1(i1，2，2 017)，則y1，y2，y2 017的方差為_解析：設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則yi2xi1的平均數(shù)為21，則y1，y2，y2 017的方差為(2x1121)2(2x2121)2(2x2 017121)24×(x1)2(x2)2(x2 017)24×416.答案：164我市某高中從高三年級(jí)甲、乙兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(河南初賽)，他們?nèi)〉玫某煽?jī)(滿分140分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是81，乙班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是86，若正實(shí)數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，則的最小值為_解析：由甲班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是81，可知81為甲班7名學(xué)生的成績(jī)按從小到大的順序排列的第4個(gè)數(shù)，故x1.由乙班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為86，可得(10)(6)(4)(y6)57100，解得y4.由x，G，y成等比數(shù)列，可得G2xy4，由正實(shí)數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列，可得G2，ab2G4，所以()×()(14)×(54)(當(dāng)且僅當(dāng)b2a時(shí)取等號(hào))故的最小值為.答案：5(2020·東北三省三校二模)一個(gè)經(jīng)銷鮮花產(chǎn)品的微店，為保障售出的百合花品質(zhì)，每天從某省鮮花基地空運(yùn)固定數(shù)量的百合花，如有剩余則免費(fèi)分贈(zèng)給第二天購(gòu)花顧客，如果不足，則從本地鮮花供應(yīng)商處進(jìn)貨今年四月前10天，微店百合花的售價(jià)為每支2元，某省空運(yùn)來的百合花每支進(jìn)價(jià)1.6元，本地供應(yīng)商處的百合花每支進(jìn)價(jià)1.8元，微店這10天的訂單中百合花的日需求量(單位：支)依次為：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.(1)求今年四月前10天訂單中百合花日需求量的平均數(shù)和眾數(shù)，并完成頻率分布直方圖；(2)預(yù)計(jì)四月的后20天，訂單中百合花日需求量的頻率分布與四月前10天相同，百合花進(jìn)貨價(jià)格與售價(jià)均不變，請(qǐng)根據(jù)(1)中頻率分布直方圖判斷(同一組中的需求量數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，位于各區(qū)間的頻率代替位于該區(qū)間的概率)，微店每天從某省固定空運(yùn)250支，還是255支百合花，四月后20天百合花銷售總利潤(rùn)會(huì)更大？解：(1)四月前10天訂單中百合需求量眾數(shù)為255，平均數(shù)×(231241243244251252255255263265)250.頻率分布直方圖如圖：(2)設(shè)訂單中百合花的日需求量為a(支)，由(1)中頻率分布直方圖知，a可能取值為235，245，255，265，相應(yīng)頻率分別為0.1，0.3，0.4，0.2.所以20天中a235，245，255，265相應(yīng)的天數(shù)為2天，6天，8天，4天若空運(yùn)250支，a235，當(dāng)日利潤(rùn)為235×2250×1.670(元)，a245，當(dāng)日利潤(rùn)為245×2250×1.690(元)，a255，當(dāng)日利潤(rùn)為255×2250×1.65×1.8101(元)，a265，當(dāng)日利潤(rùn)為265×2250×1.615×1.8103(元)，20天總利潤(rùn)為70×290×6101×8103×41 900(元)若空運(yùn)255支，a235，當(dāng)日利潤(rùn)為235×2255×1.662(元)，a245，當(dāng)日利潤(rùn)為245×2255×1.682(元)，a255，當(dāng)日利潤(rùn)為255×2255×1.6102(元)，a265，當(dāng)日利潤(rùn)為265×2255×1.610×1.8104(元)，20天總利潤(rùn)為62×282×6102×8104×41 848(元)因?yàn)? 900>1 848，所以每天空運(yùn)250支百合花，四月后20天總利潤(rùn)更大6某高三畢業(yè)班甲、乙兩名同學(xué)在連續(xù)的8次數(shù)學(xué)周練中，統(tǒng)計(jì)解答題失分的莖葉圖如圖：(1)比較這兩名同學(xué)8次周練解答題失分的平均數(shù)和方差的大小，并判斷哪位同學(xué)做解答題相對(duì)穩(wěn)定些；(2)以上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)甲、乙兩名同學(xué)失分超過15分的頻率作為概率，假設(shè)甲、乙兩名同學(xué)在同一次周練中失分多少互不影響，預(yù)測(cè)在接下來的2次周練中，甲、乙兩名同學(xué)失分均超過15分的次數(shù)X的分布列和均值解：(1) 甲 (79111313162328)15，乙(78101517192123)15，s(8)2(6)2(4)2(2)2(2)2128213244.75，s(8)2(7)2(5)2022242628232.25.甲、乙兩名同學(xué)解答題失分的平均數(shù)相等；甲同學(xué)解答題失分的方差比乙同學(xué)解答題失分的方差大所以乙同學(xué)做解答題相對(duì)穩(wěn)定些(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，在一次周練中，甲和乙失分超過15分的概率分別為P1，P2，兩人失分均超過15分的概率為P1P2，X的所有可能取值為0，1，2.依題意，XB，P(Xk)C，k0，1，2，則X的分布列為X012PX的均值EX2×.9