第9講 函數(shù)模型及其應(yīng)用 基礎(chǔ)題組練1(2020·湖北荊、襄、宜聯(lián)考)某輛汽車每次加油都把油箱加滿，表中記錄了該車相鄰兩次加油時的情況加油時間加油量(升)加油時累計里程(千米)2018年10月1日1235 0002018年10月15日6035 600(注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程)在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為()A6升B8升C10升 D12升解析：選C.因為第二次加滿油箱時加油量為60升，所以從第一次加油到第二次加油共用油60升，行駛了600千米，所以在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為10(升)故選C.2某家具的標價為132元，若降價以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對于進價)，則該家具的進價是()A118元 B105元C106元 D108元解析：選D.設(shè)進價為a元，由題意知132×(110%)a10%·a，解得a108.故選D.3素數(shù)也叫質(zhì)數(shù)，法國數(shù)學(xué)家馬林·梅森是研究素數(shù)的數(shù)學(xué)家中成就很高的一位，因此后人將“2n1”形式(n是素數(shù))的素數(shù)稱為梅森素數(shù)已知第20個梅森素數(shù)為P24 4231，第19個梅森素數(shù)為Q24 2531，則下列各數(shù)中與最接近的數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：lg 20.3)()A1045 B1051C1056 D1059解析：選B.由題知2170.令2170k，則lg 2170lg k，所以170lg 2lg k又lg 20.3，所以51lg k，即k1051，所以與最接近的數(shù)為1051.故選B.4由國家公安部提出，國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局發(fā)布的車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗標準(GB/T195222010)于2011年7月1日正式實施車輛駕駛?cè)藛T飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閾值見表經(jīng)過反復(fù)試驗，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點圖”如圖，且該圖表示的函數(shù)模型為f(x)則該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過多長時間才可以駕車(時間以整小時計算)？(參考數(shù)據(jù)：ln 152.71，ln 303.40)()車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量閾值駕駛行為類型閾值(mg/100 mL)飲酒后駕車20，<80醉酒后駕車80A5 h B6 hC7 h D8 h解析：選B.由題意可知當(dāng)酒精含量閾值低于20時才可以開車，結(jié)合分段函數(shù)建立不等式90e0.5x14<20，解得x>5.42，取整數(shù)，故為6個小時故選B.5加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為()A3.50分鐘B3.75分鐘C4.00分鐘 D4.25分鐘解析：選B.由題中圖象可知點(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)在函數(shù)圖象上，因此有解得故p0.2t21.5t2，其對稱軸方程為t3.75.所以當(dāng)t3.75時，p取得最大值6某公司為了業(yè)務(wù)發(fā)展制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案，在銷售額x為8萬元時，獎勵1萬元銷售額x為64萬元時，獎勵4萬元若公司擬定的獎勵模型為yalog4xb.某業(yè)務(wù)員要得到8萬元獎勵，則他的銷售額應(yīng)為_萬元解析：依題意得，即解得a2，b2.所以y2log4x2，當(dāng)y8時，即2log4x28.解得x1 024(萬元)答案：1 0247某城市對一種售價為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若年銷售量為萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是_解析：根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬元，需×160×R%128，整理得R212R320，解得4R8，即R4，8答案：4，88(2020·河北唐山模擬)某人計劃購買一輛A型轎車，售價為14.4萬元，購買后轎車每年的保險費、汽油費、年檢費、停車費等約需2.4萬元，同時汽車年折舊率約為10%(即這輛車每年減少它的價值的10%)，試問，大約使用_年后，用在該車上的費用(含折舊費)達到14.4萬元解析：設(shè)使用x年后花費在該車上的費用達到14.4萬元，依題意可得，14.4(10.9x)2.4x14.4，化簡得x6×0.9x0.令f(x)x6×0.9x，易得f(x)為增函數(shù)，又f(3)1.3740，f(4)0.063 40，所以函數(shù)f(x)在(3，4)上有一個零點故大約使用4年后，用在該車上的費用達到14.4萬元答案：49聲強級Y(單位：分貝)由公式Y(jié)10lg給出，其中I為聲強(單位：W/m2)(1)平常人交談時的聲強約為106W/m2，求其聲強級；(2)一般常人能聽到的最低聲強級是0分貝，求能聽到最低聲強為多少？(3)比較理想的睡眠環(huán)境要求聲強級Y50分貝，已知熄燈后兩位同學(xué)在宿舍說話的聲強為5×107W/m2，問這兩位同學(xué)是否會影響其他同學(xué)休息？解：(1)當(dāng)聲強為106W/m2時，由公式Y(jié)10lg得Y10lg10lg 10660(分貝)(2)當(dāng)Y0時，由公式Y(jié)10lg得10lg0.所以1，即I1012W/m2，則常人能聽到的最低聲強為1012W/m2.(3)當(dāng)聲強為5×107W/m2時，聲強級Y10lg10lg(5×105)5010lg 5，因為5010lg 5>50，所以這兩位同學(xué)會影響其他同學(xué)休息10.如圖，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE4米，CD6米為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個矩形BNPM，使點P在邊DE上(1)設(shè)MPx米，PNy米，將y表示成x的函數(shù)，并求該函數(shù)的解析式及定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值解：(1)如圖，作PQAF于Q，所以PQ8y，EQx4，在EDF中，所以，所以yx10，定義域為x|4x8(2)設(shè)矩形BNPM的面積為S，則S(x)xyx(x10)250，所以S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且其圖象開口向下，對稱軸為直線x10，所以當(dāng)x4，8時，S(x)是增加的，所以當(dāng)x8時，矩形BNPM的面積取得最大值，最大值為48平方米綜合題組練1(2019·高考全國卷)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行，L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：(Rr)·.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計算中33，則r的近似值為()A.RBRC.RDR解析：選D.由(Rr)，得M1.因為，所以(1)M1，得.由33，得33，即3，所以r ·R，故選D.2.某種熱飲需用開水沖泡，其基本操作流程如下：先將水加熱到100 ，水溫y()與時間t(min)近似滿足一次函數(shù)關(guān)系；用開水將熱飲沖泡后在室溫下放置，溫度y()與時間t(min)近似滿足的函數(shù)關(guān)系式為y80b(a，b為常數(shù))通常這種熱飲在40 時口感最佳某天室溫為20 時，沖泡熱飲的部分數(shù)據(jù)如圖所示，那么按上述流程沖泡一杯熱飲，并在口感最佳時飲用，最少需要的時間為()A35 min B30 minC25 min D20 min解析：選C.由題意知，當(dāng)0t5時，函數(shù)圖象是一條線段；當(dāng)t5時，函數(shù)的解析式為y80b.將點(5，100)和點(15，60)代入解析式可得解得a5，b20，故函數(shù)的解析式為y8020，t5.令y40，解得t25，所以最少需要的時間為25 min.故選C.3新修的個人所得稅法在過渡期對納稅個人按照下表計算個人所得稅，值得注意的是起征點變?yōu)? 000元，即如表中“全月應(yīng)納稅所得額”是納稅者的月薪收入減去5 000 元后的余額級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率1不超過3 000元的部分3%2超過3 000元至12 000元的部分10%3超過12 000元至25 000元的部分20%某企業(yè)員工今年10月份的月工資為15 000元，則應(yīng)繳納的個人所得稅為_元解析：由企業(yè)員工今年10月份的月工資為15 000元知，其個人所得稅屬于2級，則應(yīng)繳納的個人所得稅為(15 0005 0003 000)×10%3 000×3%70090790(元)答案：7904某企業(yè)準備投入適當(dāng)?shù)膹V告費對甲產(chǎn)品進行促銷宣傳，在一年內(nèi)預(yù)計銷售量y(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為y1(x0)已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入30萬元，且能全部售完若每件甲產(chǎn)品售價(元)定為“平均每件甲產(chǎn)品所占生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件甲產(chǎn)品所占廣告費的50%”之和，則當(dāng)廣告費為1萬元時，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為_萬元解析：由題意，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(30y4)萬元，銷售單價為×150%×50%，故年銷售收入為z·y45y6x.所以年利潤Wz(30y4)x15y217(萬元)所以當(dāng)廣告費為1萬元時，即x1，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為1731.5(萬元)答案：31.55已知美國某手機品牌公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬美元設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R(x)萬美元，且R(x)(1)寫出年利潤W(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬部)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤解：(1)當(dāng)0<x40時，WxR(x)(16x40)6x2384x40，當(dāng)x>40時，WxR(x)(16x40)16x7 360.所以W(2)當(dāng)0<x40時，W6(x32)26 104，所以WmaxW(32)6 104；當(dāng)x>40時，W16x7 360，由于16x21 600，當(dāng)且僅當(dāng)16x，即x50(40，)時，取等號，所以此時W的最大值為5 760.綜合知，當(dāng)x32時，W取得最大值為6 104萬美元6食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬元)滿足P804，Qa120，設(shè)甲大棚的投入為x(單位：萬元)，每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)(1)求f(50)的值；(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？解：(1)由題意知甲大棚投入50萬元，則乙大棚投入150萬元，所以f(50)804×150120277.5(萬元)(2)f(x)804(200x)120x4250，依題意得20x180，故f(x)x4250(20x180)令t，則t2，6，yt24t250(t8)2282，當(dāng)t8，即x128時，f(x)取得最大值，f(x)max282.所以甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時，總收益最大，且最大總收益為282萬元9