第4講 直接證明與間接證明 基礎(chǔ)題組練1用反證法證明命題：“設a，b為實數(shù)，則方程x3axb0至少有一個實根”時，要做的假設是()A方程x3axb0沒有實根B方程x3axb0至多有一個實根C方程x3axb0至多有兩個實根D方程x3axb0恰好有兩個實根解析：選A.依據(jù)反證法的要求，即至少有一個的反面是一個也沒有，直接寫出命題的否定方程x3axb0至少有一個實根的反面是方程x3axb0沒有實根，故應選A.2分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明“設a>b>c，且abc0，求證：<a”索的因應是()Aab>0Bac>0C(ab)(ac)>0 D(ab)(ac)<0解析：選C.<ab2ac<3a2(ac)2ac<3a2a22acc2ac3a2<02a2acc2<02a2acc2>0(ac)(2ac)>0(ac)(ab)>0.故選C.3(2020·江西撫州模擬)設a，bR，現(xiàn)給出下列五個條件：ab2；ab>2；ab>2；ab>1；logab<0(a>0，且a1)其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件為()A BC D解析：選D.ab1時，ab2，所以推不出a，b中至少有一個大于1，不符合；當ab0時，ab>2，推不出a，b中至少有一個大于1，不符合；當ab2時，ab>1，推不出a，b中至少有一個大于1，不符合；對于，假設a，b都不大于1，即a1，b1，則ab2，與ab>2矛盾，所以能推出a，b中至少有一個大于1；對于，假設a，b都不大于1，則logabloga10，與logab<0矛盾，故能推出a，b中至少有一個大于1.綜上，選D.4已知函數(shù)f(x)，a，b是正實數(shù)，Af，Bf()，Cf，則A，B，C的大小關(guān)系為()AABC BACBCBCA DCBA解析：選A.因為，又f(x)在R上是減函數(shù)，所以ff()f，即ABC.5設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x0時，函數(shù)f(x)是減函數(shù)，若x1x2>0，則f(x1)f(x2)的值()A恒為負值 B恒等于零C恒為正值 D無法確定解析：選A.由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x0時，函數(shù)f(x)遞減，可知f(x)是R上的減函數(shù)，由x1x2>0，可知x1>x2，f(x1)<f(x2)f(x2)，則f(x1)f(x2)<0.6已知a>b>0，則<；ac2>bc2；a2>b2；>，其中正確的序號是_解析：對于，因為a>b>0，所以ab>0，>0，a·>b·，即>.故正確；當c0時，不正確；由不等式的性質(zhì)知正確答案：7已知點An(n，an)為函數(shù)y圖象上的點，Bn(n，bn)為函數(shù)yx圖象上的點，其中nN+，設cnanbn，則cn與cn1的大小關(guān)系為_解析：由條件得cnanbnn，所以cn隨n的增大而減小，所以cn1<cn.答案：cn1<cn8某中學數(shù)學雜志，它的國內(nèi)統(tǒng)一刊號是CN421152/O1，設an表示42n1 152n的個位數(shù)字，則an_解析：42n的個位數(shù)字與2n的個位數(shù)字相同，1 152n的個位數(shù)字也與2n的個位數(shù)字相同，從而42n1 152n的個位數(shù)字與2n1的個位數(shù)字相同，而2n1的個位數(shù)字是以4為周期的數(shù)列，即4，8，6，2，.故42n1 152n的個位數(shù)字是以4為周期的數(shù)列：4，8，6，2，.所以an(4862)×50410 080.答案：10 0809已知ab>0，求證：2a3b32ab2a2b.證明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因為ab>0，所以ab0，ab>0，2ab>0，從而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.10已知非零向量a，b，且ab，求證：.證明：aba·b0，要證.只需證|a|b|ab|，只需證|a|22|a|b|b|22(a22a·bb2)，只需證|a|22|a|b|b|22a22b2，只需證|a|2|b|22|a|b|0，即證(|a|b|)20，上式顯然成立，故原不等式得證綜合題組練1已知a，b，cR，若·>1且2，則下列結(jié)論成立的是()Aa，b，c同號Bb，c同號，a與它們異號Ca，c同號，b與它們異號Db，c同號，a與b，c的符號關(guān)系不確定解析：選A.由·>1知與同號，若>0且>0，不等式2顯然成立，若<0且<0，則>0，>0，2 >2，即<2，這與2矛盾，故>0且>0，即a，b，c同號2在等比數(shù)列an中，“a1<a2<a3”是“數(shù)列an遞增”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選C.當a1<a2<a3時，設公比為q，由a1<a1q<a1q2得若a1>0，則1<q<q2，即q>1，此時，顯然數(shù)列an是遞增數(shù)列，若a1<0，則1>q>q2，即0<q<1，此時，數(shù)列an也是遞增數(shù)列，反之，當數(shù)列an是遞增數(shù)列時，顯然a1<a2<a3.故“a1<a2<a3”是“等比數(shù)列an遞增”的充要條件3(2020·四川涼山一診)十七世紀法國數(shù)學家費馬提出猜想：“當整數(shù)n>2時，關(guān)于x，y，z的方程xnynzn沒有正整數(shù)解”經(jīng)歷三百多年，于二十世紀九十年代中期，英國數(shù)學家安德魯·懷爾斯證明了費馬猜想，使它終成費馬大定理則下面說法正確的是()A至少存在一組正整數(shù)組(x，y，z)，使方程x3y3z3有解B關(guān)于x，y的方程x3y31有正有理數(shù)解C關(guān)于x，y的方程x3y31沒有正有理數(shù)解D當整數(shù)n>3時，關(guān)于x，y，z的方程xnynzn沒有正實數(shù)解解析：選C.由于B，C兩個命題是對立的，故正確選項是這兩個選項中的一個假設關(guān)于x，y的方程x3y31有正有理數(shù)解，則x，y可寫成整數(shù)比值的形式，不妨設x，y，其中m，n為互質(zhì)的正整數(shù)，a，b為互質(zhì)的正整數(shù)，代入方程得1，兩邊同時乘以a3n3，得(am)3(bn)3(an)3.由于am，bn，an都是正整數(shù)，這與費馬大定理矛盾，所以假設不成立，所以關(guān)于x，y的方程x3y31沒有正有理數(shù)解故選C.4(一題多解)若二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1，在區(qū)間1，1內(nèi)至少存在一點c，使f(c)0，則實數(shù)p的取值范圍是_解析：法一(補集法)：令解得p3或p，故滿足條件的p的取值范圍為.法二(直接法)：依題意有f(1)0或f(1)0，即2p2p10或2p23p90，得p1或3p，故滿足條件的p的取值范圍是.答案：5已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f(c)0，且0<x<c時，f(x)>0.(1)證明：是f(x)0的一個根；(2)試比較與c的大??；(3)證明：2<b<1.解：(1)證明：因為f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點，所以f(x)0有兩個不等實根x1，x2，因為f(c)0，所以x1c是f(x)0的根，又x1x2，所以x2，所以是f(x)0的一個根(2)假設<c，又>0，由0<x<c時，f(x)>0，知f>0與f0矛盾，所以c，又因為c，所以>c.(3)證明：由f(c)0，得acb10，所以b1ac.又a>0，c>0，所以b<1.二次函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸方程為x<x2，即<.又a>0，所以b>2，所以2<b<1.6若f(x)的定義域為a，b，值域為a，b(ab)，則稱函數(shù)f(x)是a，b上的“四維光軍”函數(shù)(1)設g(x)x2x是1，b上的“四維光軍”函數(shù)，求常數(shù)b的值；(2)是否存在常數(shù)a，b(a2)，使函數(shù)h(x)是區(qū)間a，b上的“四維光軍”函數(shù)？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由解：(1)由已知得g(x)(x1)21，其圖象的對稱軸為x1，所以函數(shù)在區(qū)間1，b上是增加的，由“四維光軍”函數(shù)的定義可知，g(1)1，g(b)b，即b2bb，解得b1或b3.因為b1，所以b3.(2)假設存在常數(shù)a，b(a>2)使函數(shù)h(x)在區(qū)間a，b(a2)上是“四維光軍”函數(shù)，因為h(x)在區(qū)間(2，)上是減少的，所以有即解得ab，這與已知a<b矛盾故不存在常數(shù)a與b使h(x)是“四維光軍”函數(shù)7