課時作業(yè)56　曲線與方程 1．方程(x2＋y2－2x)＝0表示的曲線是(　D　) A．一個圓和一條直線 B．一個圓和一條射線 C．一個圓 D．一條直線 解析：依題意，題中的方程等價于 ①x＋y－3＝0或② 注意到圓x2＋y2－2x＝0上的點均位于直線x＋y－3＝0的左下方區(qū)域，即圓x2＋y2－2x＝0上的點均不滿足x＋y－3≥0，即②不表示任何圖形，因此題中的方程表示的曲線是直線x＋y－3＝0. 2．(2019·蘭州模擬)已知△ABC的頂點A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是(　C　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1(x＞3) D．－＝1(x＞4) 解析：如圖，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6＜10＝|AB|. 根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支(y≠0)，方程為－＝1(x＞3)． 3．已知正方形的四個頂點分別為O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，點D，E分別在線段OC，AB上運動，且|OD|＝|BE|，設AD與OE交于點G，則點G的軌跡方程是(　A　) A．y＝x(1－x)(0≤x≤1) B．x＝y(tǒng)(1－y)(0≤y≤1) C．y＝x2(0≤x≤1) D．y＝1－x2(0≤x≤1) 解析：設D(0，λ)，E(1,1－λ)，0≤λ≤1，所以線段AD的方程為x＋＝1(0≤x≤1)，線段OE的方程為y＝(1－λ)x(0≤x≤1)，聯(lián)方方程(λ為參數(shù))，消去參數(shù)λ得點G的軌跡方程為y＝x(1－x)(0≤x≤1)． 4．(2019·福建漳州八校聯(lián)考)已知圓M：(x＋)2＋y2＝36，定點N(，0)，點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在線段MP上，且滿足N＝2 N，G·N＝0，則點G的軌跡方程是(　A　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.－＝1 D．－＝1 解析：由N＝2 N，G·N＝0知GQ所在直線是線段NP的垂直平分線，連接GN，∴|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|＝6＞2，∴點G的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，其中2a＝6,2c＝2，∴b2＝4，∴點G的軌跡方程為＋＝1，故選A. 5．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，映射f將xOy平面上的點P(x，y)對應到另一個平面直角坐標系uO′v上的點P′(2xy，x2－y2)，則當點P沿著折線A－B－C運動時，在映射f的作用下，動點P′的軌跡是(　D　) 解析：當P沿AB運動時，x＝1，設P′(x′，y′)，則(0≤y≤1)，故y′＝1－(0≤x′≤2,0≤y′≤1)．當P沿BC運動時，y＝1，則(0≤x≤1)，所以y′＝－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，由此可知P′的軌跡如D所示，故選D. 6．平面直角坐標系中，已知兩點A(3,1)，B(－1,3)，若點C滿足O＝λ1 O＋λ2 O(O為原點)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，則點C的軌跡是(　A　) A．直線 B．橢圓 C．圓 D．雙曲線 解析：設C(x，y)，因為O＝λ1O＋λ2O， 所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)， 即解得 又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x＋2y＝5，所以點C的軌跡是直線，故選A. 7．(2019·安徽六安一中月考)如圖，已知F1，F(xiàn)2是橢圓Γ：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦點，P是橢圓Γ上任意一點，過F2作∠F1PF2的外角的平分線的垂線，垂足為Q，則點Q的軌跡為(　B　) A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線 解析：延長F2Q，與F1P的延長線交于點M，連接OQ.因為PQ是∠F1PF2的外角的平分線，且PQ⊥F2M，所以在△PF2M中，|PF2|＝|PM|，且Q為線段F2M的中點．又O為線段F1F2的中點，由三角形的中位線定理，得|OQ|＝|F1M|＝(|PF1|＋|PF2|)．根據(jù)橢圓的定義，得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|OQ|＝a，所以點Q的軌跡為以原點為圓心，半徑為a的圓，故選B. 8．(2019·宿遷模擬)若曲線C上存在點M，使M到平面內(nèi)兩點A(－5,0)，B(5,0)距離之差的絕對值為8，則稱曲線C為“好曲線”．以下曲線不是“好曲線”的是(　B　) A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9 C.＋＝1 D．x2＝16y 解析：∵M到平面內(nèi)兩點A(－5,0)，B(5,0)距離之差的絕對值為8，∴M的軌跡是以A(－5,0)，B(5,0)為焦點的雙曲線，方程為－＝1. A項，直線x＋y＝5過點(5,0)， 故直線與M的軌跡有交點，滿足題意； B項，x2＋y2＝9的圓心為(0,0)，半徑為3，與M的軌跡沒有交點，不滿足題意； C項，＋＝1的右頂點為(5,0)，故橢圓＋＝1與M的軌跡有交點，滿足題意； D項，方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，∴Δ＞0，滿足題意． 9．(2019·江西九江聯(lián)考)已知A(1,2)，B(－1,2)，動點P(x，y)滿足⊥，若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是　(1,2)　. 解析：由⊥，可得動點P(x，y)的軌跡方程為x2＋(y－2)2＝1，易知雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，由題意知圓心(0,2)到漸近線的距離大于半徑1，所以>1，即3a2>b2.又b2＝c2－a2，所以3a2>c2－a2,4a2>c2，離心率e＝<2，又雙曲線的離心率e>1，所以1<e<2. 10．已知△ABC的頂點A，B坐標分別為(－4,0)，(4,0)，C為動點，且滿足sin B＋sin A＝sin C，則C點的軌跡方程為?。?(x≠±5)　. 解析：由sin B＋sin A＝ sin C可知b＋a＝c＝10， 則|AC|＋|BC|＝10＞8＝|AB|，∴滿足橢圓定義．令橢圓方程為＋＝1，則a′＝5，c′＝4，b′＝3，則軌跡方程為＋＝1(x≠±5)． 11．(2019·唐山五校聯(lián)考)在直角坐標系xOy中，長為＋1的線段的兩端點C，D分別在x軸、y軸上滑動，C＝ P.記點P的軌跡為曲線E. (1)求曲線E的方程； (2)經(jīng)過點(0,1)作直線與曲線E相交于A，B兩點，O＝O＋O，當點M在曲線E上時，求四邊形AOBM的面積． 解：(1)設C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)． 由C＝ P， 得(x－m，y)＝(－x，n－y)， 所以得 由|C|＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2， 所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2， 整理，得曲線E的方程為x2＋＝1. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由O＝O＋O，知點M坐標為(x1＋x2，y1＋y2)． 由題意知，直線AB的斜率存在． 設直線AB的方程為y＝kx＋1，代入曲線E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 則x1＋x2＝－，x1x2＝－. y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝. 由點M在曲線E上， 知(x1＋x2)2＋＝1， 即＋＝1，解得k2＝2. 這時|AB|＝|x1－x2|＝ ＝， 原點到直線AB的距離d＝＝， 所以平行四邊形OAMB的面積S＝|AB|·d＝. 12．(2019·惠州調(diào)研)已知C為圓(x＋1)2＋y2＝8的圓心，P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP上，且有點A(1,0)和AP上的點M，滿足M·A＝0，A＝2 A. (1)當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程； (2)若斜率為k的直線l與圓x2＋y2＝1相切，與(1)中所求點Q的軌跡交于不同的兩點F，H，O是坐標原點，且≤O·O≤時，求k的取值范圍． 解：(1)由題意知MQ是線段AP的垂直平分線， 所以|CP|＝|QC|＋|QP|＝|QC|＋|QA|＝2＞|CA|＝2， 所以點Q的軌跡是以點C，A為焦點，焦距為2，長軸長為2的橢圓， 所以a＝，c＝1，b＝＝1， 故點Q的軌跡方程是＋y2＝1. (2)設直線l：y＝kx＋t，F(xiàn)(x1，y1)，H(x2，y2)， 直線l與圓x2＋y2＝1相切?＝1?t2＝k2＋1. 聯(lián)立，得?(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0， Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)＝8(2k2－t2＋1)＝8k2＞0?k≠0， x1＋x2＝，x1x2＝， 所以O·O＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝＋kt＋t2＝－＋k2＋1＝， 所以≤≤?≤k2≤?≤|k|≤， 所以－≤k≤－或≤k≤. 故k的取值范圍是[－，－]∪[，]． 13．(2019·葫蘆島調(diào)研)在△ABC中，已知A(2,0)，B(－2,0)，G，M為平面上的兩點且滿足G＋G＋G＝0，|M|＝|M|＝|M|，G∥A，則頂點C的軌跡為(　B　) A．焦點在x軸上的橢圓(長軸端點除外) B．焦點在y軸上的橢圓(短軸端點除外) C．焦點在x軸上的雙曲線(實軸端點除外) D．焦點在x軸上的拋物線(頂點除外) 解析：設C(x，y)(y≠0)， 由G＋G＋G＝0， 即G為△ABC的重心，得G. 又|M|＝|M|＝|M|， 即M為△ABC的外心， 所以點M在y軸上， 又G∥A，則有M. 所以x2＋2＝4＋， 化簡得＋＝1，y≠0. 所以頂點C的軌跡為焦點在y軸上的橢圓(除去短軸端點)． 14．在平面直角坐標系中，定義d(P，Q)＝|x2－x1|＋|y2－y1|為兩點P(x1，y1)，Q(x2，y2)之間的“折線距離”，則下列命題中： ①若A(－1,3)，B(1,0)，則有d(A，B)＝5； ②到原點的“折線距離”等于1的所有點的集合是一個圓； ③若C點在線段AB上，則有d(A，C)＋d(C，B)＝d(A，B)； ④到M(－1,0)，N(1,0)兩點的“折線距離”相等的點的軌跡是直線x＝0. 真命題的個數(shù)為(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①d(A，B)＝|－1－1|＋|3－0|＝5，對； ②設點A(x，y)，則d(A，O)＝|x|＋|y|＝1，不是圓，錯； ③若點C在線段AB上，設C點坐標為(x0，y0)，x0在x1，x2之間，y0在y1，y2之間，則d(A，C)＋d(C，B)＝|x0－x1|＋|y0－y1|＋|x2－x0|＋|y2－y0|＝|x2－x1|＋|y2－y1|＝d(A，B)成立，對； ④|x＋1|＋|y|＝|x－1|＋|y|， 由|x＋1|＝|x－1|，解得x＝0，對． 15．(2019·河北衡水一模)已知點Q在橢圓C：＋＝1上，點P滿足O＝(＋O)(其中O為坐標原點，F(xiàn)1為橢圓C的左焦點)，則點P的軌跡方程為?。?　. 解析：因為點P滿足O＝(＋O)，所以點P是線段QF1的中點．設P(x，y)，由F1為橢圓C：＋＝1的左焦點，得F1(－，0)，故Q(2x＋，2y)，又點Q在橢圓C：＋＝1上，則點P的軌跡方程為＋＝1，即＋＝1. 16．如圖，P是圓x2＋y2＝4上的動點，P點在x軸上的射影是D，點M滿足D＝D. (1)求動點M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形； (2)過點N(3,0)的直線l與動點M的軌跡C交于不同的兩點A，B，求以OA，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點E的軌跡方程． 解：(1)設M(x，y)，則D(x,0)， 由D＝D，知P(x,2y)， ∵點P在圓x2＋y2＝4上， ∴x2＋4y2＝4，故動點M的軌跡C的方程為＋y2＝1，且軌跡C是以(－，0)，(，0)為焦點，長軸長為4的橢圓． (2)設E(x，y)，由題意知l的斜率存在． 設l：y＝k(x－3)，代入＋y2＝1， 得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝， ∴y1＋y2＝k(x1－3)＋k(x2－3)＝k(x1＋x2)－6k ＝－6k＝. ∵四邊形OAEB為平行四邊形， ∴O＝O＋O＝(x1＋x2，y1＋y2)＝， 又O＝(x，y)，∴ 消去k得，x2＋4y2－6x＝0， 由Δ＝(－24k2)2－4(1＋4k2)(36k2－4)＞0， 得k2＜，∴0＜x＜. ∴頂點E的軌跡方程為x2＋4y2－6x＝0. 8