第4講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 基礎(chǔ)題組練1函數(shù)y|cos x|的一個(gè)增區(qū)間是()A，B0，C， D，2解析：選D.將ycos x的圖象位于x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱翻折到x軸上方，x軸上方(或x軸上)的圖象不變，即得y|cos x|的圖象(如圖)故選D.2設(shè)函數(shù)f(x)cos，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()Af(x)的一個(gè)周期為2Byf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱Cf(x)的一個(gè)零點(diǎn)為xDf(x)在上是減少的解析：選D.函數(shù)f(x)cos的圖象可由ycos x的圖象向左平移個(gè)單位得到，如圖可知，f(x)在上先減后增，D選項(xiàng)錯(cuò)誤3(2020·河北衡水第十三中學(xué)質(zhì)檢(四)同時(shí)滿足f(x)f(x)與ff的函數(shù)f(x)的解析式可以是()Af(x)cos 2xBf(x)tan xCf(x)sin x Df(x)sin 2x解析：選D.由題意得所求函數(shù)的周期為，且圖象關(guān)于x對(duì)稱Af(x)cos 2x的周期為，而f0不是函數(shù)的最值所以其圖象不關(guān)于x對(duì)稱Bf(x)tan x的周期為，但圖象不關(guān)于x對(duì)稱Cf(x)sin x的周期為2，不合題意Df(x)sin 2x的周期為，且f1為函數(shù)最大值，所以D滿足條件，故選D.4(2020·河南六市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)2sin(>0)的圖象與函數(shù)g(x)cos(2x)的圖象的對(duì)稱中心完全相同，則為()A. BC. D解析：選D.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2sin(>0)的圖象與函數(shù)g(x)cos(2x)的圖象的對(duì)稱中心完全相同，所以2，2k(kZ)，即2k(kZ)，因?yàn)閨<，所以，選D.5(2020·河南中原名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)4sin(x)(>0)在同一周期內(nèi)，當(dāng)x時(shí)取最大值，當(dāng)x時(shí)取最小值，則的值可能為()A. BC. D解析：選C.T2，故2，又2×2k，kZ，所以2k，kZ，所以的值可能為.故答案為C.6函數(shù)f(x)sin的減區(qū)間為_(kāi)解析：由已知可得函數(shù)為f(x)sin，欲求函數(shù)f(x)的減區(qū)間，只需求ysin的增區(qū)間由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)故所求函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(kZ)答案：(kZ)7已知函數(shù)f(x)2sin(x)1(xR)的圖象的一條對(duì)稱軸為x，其中為常數(shù)，且(1，2)，則函數(shù)f(x)的最小正周期為_(kāi)解析：由函數(shù)f(x)2sin(x)1(xR)的圖象的一條對(duì)稱軸為x，可得k，kZ，所以k，又(1，2)，所以，從而得函數(shù)f(x)的最小正周期為.答案：8已知函數(shù)f(x)2sin的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，其中為常數(shù)，且(1，3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，總有f(x1)f(x)f(x2)，則|x1x2|的最小值是_解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2sin的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以k，kZ，所以3k1，kZ，由(1，3)得，2.由題意得|x1x2|的最小值為函數(shù)的半個(gè)周期，即.答案：9已知函數(shù)f(x)(sin xcos x)22cos2x2.(1)求f(x)的增區(qū)間；(2)當(dāng)x時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值解：f(x)sin 2xcos 2xsin.(1)令2k2x2k，kZ，則kxk，kZ.故f(x)的增區(qū)間為，kZ.(2)因?yàn)閤，所以2x，所以1sin ，所以f(x)1，所以當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值為1，最小值為.10已知函數(shù)f(x)4sin(x)cos x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和增區(qū)間；(2)若函數(shù)g(x)f(x)m在0，上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并計(jì)算tan(x1x2)的值解：(1)f(x)4sin(x)cos x4(sin xcos x)cos x2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x2sin(2x)所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為k，k(kZ)(2)函數(shù)g(x)f(x)m在0，上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，即函數(shù)yf(x)與ym在0，上的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yf(x)2sin(2x)在0，上的圖象，如圖所示，由圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)m，2)時(shí)，方程f(x)m有兩個(gè)不同的解x1，x2，且x1x22×，故tan(x1x2)tantan .綜合題組練1(2019·高考全國(guó)卷)關(guān)于函數(shù)f(x)sin|x|sin x|有下述四個(gè)結(jié)論：f(x)是偶函數(shù)；f(x)在區(qū)間遞增；f(x)在，有4個(gè)零點(diǎn)；f(x)的最大值為2.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A BC D解析：選C.通解：f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故正確；當(dāng)<x<時(shí)，f(x)sin xsin x2sin x，所以f(x)在是減少的，故不正確；f(x)在，的圖象如圖所示，由圖可知函數(shù)f(x)在，只有3個(gè)零點(diǎn)，故不正確；因?yàn)閥sin|x|與y|sin x|的最大值都為1且可以同時(shí)取到，所以f(x)可以取到最大值2，故正確綜上，正確結(jié)論的編號(hào)是.故選C.優(yōu)解：因?yàn)閒(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故正確，排除B；當(dāng)<x<時(shí)，f(x)sin xsin x2sin x，所以f(x)在是減少的，故不正確，排除A；因?yàn)閥sin|x|與y|sin x|的最大值都為1且可以同時(shí)取到，所以f(x)的最大值為2，故正確故選C.2(2019·高考全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)sin(>0)，已知f(x)在0，2有且僅有5個(gè)零點(diǎn)下述四個(gè)結(jié)論：f(x)在(0，2)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)f(x)在(0，2)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)f(x)在遞增的取值范圍是其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A BC D解析：選D.如圖，根據(jù)題意知，xA2<xB，根據(jù)圖象可知函數(shù)f(x)在(0，2)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)，所以正確；但可能會(huì)有3個(gè)極小值點(diǎn)，所以錯(cuò)誤；根據(jù)xA2<xB，有2<，得<，所以正確；當(dāng)x(0，)時(shí)，<x<，因?yàn)?lt;，所以<<，所以函數(shù)f(x)在(0，)是增加的，所以正確3已知函數(shù)f(x)sin xcos x(>0)，f()f()0，且f(x)在區(qū)間(，)上是減少的，則_.解析：因?yàn)閒(x)sin xcos x2sin(x)，由2kx2k，kZ，得x，因?yàn)閒(x)在區(qū)間(，)上遞減，所以(，)，從而有，解得12k1，kZ，所以1，因?yàn)閒()f()0，所以x為f(x)2sin(x)的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，所以k(kZ)，3k1，kZ，又1，所以2.答案：24(2020·江贛十四校第二次聯(lián)考)如果圓x2(y1)2m2至少覆蓋函數(shù)f(x)2sin2 cos(m>0)的一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，則m的取值范圍是_解析：化簡(jiǎn)f(x)2sin2cos得f(x)2sin1，所以，函數(shù)f(x)的圖象靠近圓心(0，1)的最大值點(diǎn)為，最小值點(diǎn)為，所以只需解得m.答案：5已知函數(shù)f(x)2sin2cos 2x1，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若h(x)f(xt)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且t(0，)，求t值；(3)當(dāng)x時(shí)，不等式|f(x)m|<3恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)因?yàn)閒(x)coscos 2xsin 2xcos 2x22sin(2x)故f(x)的最小正周期為T.(2)由(1)知h(x)2sin.令2×2tk(kZ)，得t(kZ)，又t(0，)，故t或.(3)當(dāng)x時(shí)，2x，所以f(x)1，2又|f(x)m|<3，即f(x)3<m<f(x)3，所以23<m<13，即1<m<4.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.6已知a>0，函數(shù)f(x)2asin(2x)2ab，當(dāng)x0，時(shí)，5f(x)1.(1)求常數(shù)a，b的值；(2)設(shè)g(x)f(x)且lg g(x)>0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間解：(1)因?yàn)閤0，所以2x，所以sin(2x)，1，所以2asin(2x)2a，a，所以f(x)b，3ab，又因?yàn)?f(x)1，所以b5，3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得f(x)4sin(2x)1，g(x)f(x)4sin(2x)14sin(2x)1，又由lg g(x)>0，得g(x)>1，所以4sin(2x)1>1，所以sin(2x)>，所以2k<2x<2k，kZ，其中當(dāng)2k<2x2k，kZ時(shí)，g(x)是增加的，即k<xk，kZ，所以g(x)的增區(qū)間為(k，k，kZ.又因?yàn)楫?dāng)2k<2x<2k，kZ時(shí)，g(x)是減少的，即k<x<k，kZ.所以g(x)的減區(qū)間為(k，k)，kZ.所以g(x)的增區(qū)間為(k，k，kZ，減區(qū)間為(k，k)，kZ.10