課后限時(shí)集訓(xùn)13函數(shù)模型及其應(yīng)用建議用時(shí)：45分鐘一、選擇題1.如圖，在不規(guī)則圖形ABCD中，AB和CD是線段，AD和BC是圓弧，直線lAB于E，當(dāng)l從左至右移動(dòng)(與線段AB有公共點(diǎn))時(shí)，把圖形ABCD分成兩部分，設(shè)AEx，左側(cè)部分面積為y，則y關(guān)于x的大致圖像為()ABCDD因?yàn)樽髠?cè)部分面積為y，隨x的變化而變化，最初面積增加得快，后來均勻增加，最后緩慢增加，只有D選項(xiàng)適合2某新產(chǎn)品投放市場后第一個(gè)月銷售100臺(tái)，第二個(gè)月銷售200臺(tái)，第三個(gè)月銷售400臺(tái)，第四個(gè)月銷售790臺(tái)，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是()Ay100xBy50x250x100Cy50×2x Dy100log2x100C根據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應(yīng)為指數(shù)函數(shù)模型故選C.3某商品價(jià)格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價(jià)格與原來價(jià)格比較，變化的情況是()A減少7.84% B增加7.84%C減少9.5% D不增不減A設(shè)某商品原來價(jià)格為a，四年后價(jià)格為：a(10.2)2(10.2)2a×1.22×0.820.921 6a，(0.921 61)a0.078 4a，所以四年后的價(jià)格與原來價(jià)格比較，減少7.84%.4某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A. B.C. D.1D設(shè)年平均增長率為x，原生產(chǎn)總值為a，則a(1p)·(1q)a(1x)2，解得x1，故選D.5某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費(fèi)f(x)(元)滿足關(guān)系f(x)已知某家庭2019年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如下表：月份用氣量煤氣費(fèi)一月份4 m34元二月份25 m314元三月份35 m319元若四月份該家庭使用了20 m3的煤氣，則其煤氣費(fèi)為()A11.5元 B11元C10.5元 D10元A根據(jù)題意可知f(4)C4，f(25)CB(25A)14，f(35)CB(35A)19，解得A5，B，C4，所以f(x)所以f(20)4(205)11.5，故選A.二、填空題6一個(gè)工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的總成本y(單位：萬元)與產(chǎn)量x(單位：臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y0.1x210x300(0x240，xN)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，生產(chǎn)的產(chǎn)品全部賣出，則該工廠獲得最大利潤(利潤銷售收入產(chǎn)品成本)時(shí)的產(chǎn)量是_臺(tái)75由題意可知，利潤f(x)25xy0.1x215x300，(0x240，xN)當(dāng)x75時(shí)，f(x)取到最大值7.有一批材料可以建成200 m長的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場池，中間用同樣的材料隔成三個(gè)面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成的矩形場地的最大面積為_m2.(圍墻厚度不計(jì))2 500設(shè)圍成的矩形場地的長為x m，則寬為 m，則Sx·(x2200x)當(dāng)x100時(shí)，Smax2 500(m2)8已知投資x萬元經(jīng)銷甲商品所獲得的利潤為P；投資x萬元經(jīng)銷乙商品所獲得的利潤為Q (a0)若投資20萬元同時(shí)經(jīng)銷這兩種商品或只經(jīng)銷其中一種商品，使所獲得的利潤不少于5萬元，則a的最小值為_設(shè)投資乙商品x萬元(0x20)，則投資甲商品(20x)萬元利潤分別為Q (a0)，P，因?yàn)镻Q5,0x20時(shí)恒成立，則化簡得a，0x20時(shí)恒成立(1)x0時(shí)，a為一切實(shí)數(shù)；(2)0x20時(shí)，分離參數(shù)a，0x20時(shí)恒成立，所以a，a的最小值為.三、解答題9某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率為t，市場價(jià)格x(單位：千元)與市場供應(yīng)量p(單位：萬件)之間近似滿足關(guān)系式：p2(1kt)(xb)2，其中k，b均為常數(shù)當(dāng)關(guān)稅稅率t75%時(shí)，若市場價(jià)格為5千元，則市場供應(yīng)量約為1萬件；若市場價(jià)格為7千元，則市場供應(yīng)量約為2萬件(1)試確定k，b的值(2)市場需求量q(單位：萬件)與市場價(jià)格x(單位：千元)近似滿足關(guān)系式：q2x，當(dāng)pq時(shí)，市場價(jià)格稱為市場平衡價(jià)格，當(dāng)市場平衡價(jià)格不超過4千元時(shí)，試確定關(guān)稅稅率的最大值解(1)由已知得：解得b5，k1.(2)當(dāng)pq時(shí)，2(1t)(x5) 22x，所以(1t)(x5)2xt11.而f(x)x在(0,4上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x4時(shí)，f(x)有最小值，故當(dāng)x4時(shí)，關(guān)稅稅率的最大值為500%.10為響應(yīng)國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號(hào)召，小李同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)經(jīng)過調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本5萬元，每年生產(chǎn)x萬件，需另投入流動(dòng)成本C(x)萬元，且C(x)每件產(chǎn)品售價(jià)為10元，經(jīng)分析，生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完(1)寫出年利潤P(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式(年利潤年銷售收入固定成本流動(dòng)成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？解(1)因?yàn)槊考a(chǎn)品售價(jià)為10元，所以x萬件產(chǎn)品銷售收入為10x萬元依題意得，當(dāng)0x8時(shí)，P(x)10x5x26x5；當(dāng)x8時(shí)，P(x)10x530.所以P(x)(2)當(dāng)0x8時(shí)，P(x)(x6)213，當(dāng)x6時(shí)，P(x)取得最大值P(6)13；當(dāng)x8時(shí)，P(x)10，所以P(x)為減函數(shù)，當(dāng)x8時(shí)，P(x)取得最大值P(8).由13可知當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時(shí)，小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為萬元1(2019·全國卷)2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r滿足方程：(Rr).設(shè).由于的值很小，因此在近似計(jì)算中33，則r的近似值為()A. R B. RC. R D. RD由(Rr)，得M1.因?yàn)?，所?1)M1，得.由33，得33，即33，所以r·R，故選D.2某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y14.1x0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y22x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是()A10.5萬元 B11萬元C43萬元 D43.025萬元C設(shè)公司在A地銷售該品牌的汽車x(0x16且xN)輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16x)輛，所以可得利潤y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x32·2×32.因?yàn)閤0,16且xN，所以當(dāng)x10或11時(shí)，總利潤取得最大值43萬元3某工廠投資100萬元開發(fā)新產(chǎn)品，第一年獲利10萬元，從第二年開始每年獲利比上一年增加20%.若從第n年開始，前n年獲利總和超過投入的100萬元，則n_.(參考數(shù)據(jù)：lg 20.301 0，lg 30.477 1)7由從第n年開始，前n年獲利總和超過投入的100萬元，得1010×(120%)110×(120%)210(120%)n1100，即100，所以n6.即從第7年開始，前7年獲利總和超過投入的100萬元4十九大提出對(duì)農(nóng)村要堅(jiān)持精準(zhǔn)扶貧，至2020年底全面脫貧現(xiàn)有扶貧工作組到某山區(qū)貧困村實(shí)施脫貧工作，經(jīng)摸底排查，該村現(xiàn)有貧困農(nóng)戶100家，他們均從事水果種植，2017年底該村平均每戶年純收入為1萬元扶貧工作組一方面請(qǐng)有關(guān)專家對(duì)水果進(jìn)行品種改良，提高產(chǎn)量；另一方面，抽出部分農(nóng)戶從事水果包裝、銷售工作，其人數(shù)必須小于種植的人數(shù)從2018年初開始，若該村抽出5x戶(xZ,1x9)從事水果包裝、銷售工作，經(jīng)測算，剩下從事水果種植的農(nóng)戶的年純收入每戶平均比上一年提高，而從事包裝、銷售的農(nóng)戶的年純收入每戶平均為萬元(參考數(shù)據(jù)：1.131.331,1.1531.521,1.231.728)(1)至2020年底，為使從事水果種植的農(nóng)戶能實(shí)現(xiàn)脫貧(每戶年均純收入不低于1萬6千元)，至少要抽出多少戶從事包裝、銷售工作？(2)至2018年底，該村每戶年均純收入能否達(dá)到1.35萬元？若能，請(qǐng)求出從事包裝、銷售的戶數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由解(1)至2020年底，種植戶平均收入1.6，即31.6，即x20(1)由題中所給數(shù)據(jù)，知1.151.2，所以320(1)4.所以x的最小值為4，此時(shí)5x20，即至少要抽出20戶從事包裝、銷售工作(2)至2018年底，假設(shè)該村每戶年均純收入能達(dá)到1.35萬元每戶的平均收入為1.35，化簡得3x230x700.因?yàn)閤Z且1x9 ，所以x4,5,6所以當(dāng)從事包裝、銷售的戶數(shù)達(dá)到20至30戶時(shí)，能達(dá)到，否則，不能1李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%.當(dāng)x10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為_13015一次購買草莓和西瓜各一盒需付款140元，若x10，則超過120元可少付10元，故顧客實(shí)際需要支付130元設(shè)顧客一次購買水果促銷前總價(jià)為y元當(dāng)y120時(shí)，不享受優(yōu)惠，即x0，此時(shí)0.8y0.7y，滿足要求當(dāng)y120時(shí)，享受優(yōu)惠x元，則0.8(yx)0.7y，得xy恒成立又y120，y15，x15，即x的最大值為15.2某種特色水果每年的上市時(shí)間從4月1號(hào)開始僅能持續(xù)5個(gè)月的時(shí)間上市初期價(jià)格呈現(xiàn)上漲態(tài)勢，中期價(jià)格開始下降，后期價(jià)格在原有價(jià)格基礎(chǔ)之上繼續(xù)下跌現(xiàn)有三種價(jià)格變化的模擬函數(shù)可供選擇：f(x)p·qx；f(x)px2qx7；f(x)logq(xp)其中p，q均為常數(shù)且q1.(注：x表示上市時(shí)間，f(x)表示價(jià)格，記x0表示4月1號(hào)，x1表示5月1號(hào)，以此類推x0,5)(1)在上述三個(gè)價(jià)格模擬函數(shù)中，哪一個(gè)更能體現(xiàn)該種水果的價(jià)格變化態(tài)勢，請(qǐng)你選擇，并簡要說明理由；(2)對(duì)(1)中所選的函數(shù)f(x)，若f(2)11，f(3)10，記g(x)，經(jīng)過多年的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)函數(shù)g(x)取得最大值時(shí)，拓展外銷市場的效果最為明顯，請(qǐng)預(yù)測明年拓展外銷市場的時(shí)間是幾月1號(hào)？解(1)根據(jù)題意，該種水果價(jià)格變化趨勢是先單調(diào)遞增后一直單調(diào)遞減，基本符合開口向下的二次函數(shù)變化趨勢，故應(yīng)該選擇f(x)px2qx7.(2)由f(2)11，f(3)10解得f(x)x24x7.g(x).因?yàn)?，當(dāng)且僅當(dāng)x13，即x2時(shí)等號(hào)成立所以明年拓展外銷的時(shí)間應(yīng)為6月1號(hào)7