課后限時集訓13實際問題的函數(shù)建模建議用時：45分鐘一、選擇題1(2019·廣東廣州一模)如圖，一高為H且裝滿水的魚缸，其底部裝有一排水小孔，當小孔打開時，水從孔中勻速流出，水流完所用時間為T.若魚缸水深為h時，水流出所用時間為t，則函數(shù)hf(t)的圖像大致是()B函數(shù)hf(t)是關于t的減函數(shù)，故排除C，D，一開始，h隨著時間的變化，變化緩慢，水排出超過一半時，h隨著時間的變化，變化加快，故對應的圖像為B，故選B.2某新產(chǎn)品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關系的是()Ay100xBy50x250x100Cy50×2xDy100log2x100C根據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應為指數(shù)函數(shù)模型故選C.3某商品價格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價格與原來價格比較，變化的情況是()A減少7.84%B增加7.84%C減少9.5%D不增不減A設某商品原來價格為a，四年后價格為：a(10.2)2(10.2)2a×1.22×0.820.921 6a，(0.921 61)a0.078 4a，所以四年后的價格與原來價格比較，減少7.84%.4某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A. B.C. D.1D設年平均增長率為x，原生產(chǎn)總值為a，則a(1p)·(1q)a(1x)2，解得x1，故選D.5某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費f(x)(元)滿足關系f(x)已知某家庭2019年前三個月的煤氣費如下表：月份用氣量煤氣費一月份4 m34元二月份25 m314元三月份35 m319元若四月份該家庭使用了20 m3的煤氣，則其煤氣費為()A11.5元B11元 C10.5元D10元A根據(jù)題意可知f(4)C4，f(25)CB(25A)14，f(35)CB(35A)19，解得A5，B，C4，所以f(x)所以f(20)4(205)11.5，故選A.二、填空題6一個工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的總成本y(單位：萬元)與產(chǎn)量x(單位：臺)之間的函數(shù)關系是y0.1x210x300(0x240，xN)，若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，生產(chǎn)的產(chǎn)品全部賣出，則該工廠獲得最大利潤(利潤銷售收入產(chǎn)品成本)時的產(chǎn)量是_臺75由題意可知，利潤f(x)25xy0.1x215x300，(0x240，xN)當x75時，f(x)取到最大值7.有一批材料可以建成200 m長的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場池，中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成的矩形場地的最大面積為_m2.(圍墻厚度不計)2 500設圍成的矩形場地的長為x m，則寬為 m，則Sx·(x2200x)當x100時，Smax2 500(m2)8已知投資x萬元經(jīng)銷甲商品所獲得的利潤為P；投資x萬元經(jīng)銷乙商品所獲得的利潤為Q (a0)若投資20萬元同時經(jīng)銷這兩種商品或只經(jīng)銷其中一種商品，使所獲得的利潤不少于5萬元，則a的最小值為_設投資乙商品x萬元(0x20)，則投資甲商品(20x)萬元利潤分別為Q (a0)，P，因為PQ5,0x20時恒成立，則化簡得a，0x20時恒成立(1)x0時，a為一切實數(shù)；(2)0x20時，分離參數(shù)a，0x20時恒成立，所以a，a的最小值為.三、解答題9某種出口產(chǎn)品的關稅稅率為t，市場價格x(單位：千元)與市場供應量p(單位：萬件)之間近似滿足關系式：p2(1kt)(xb)2，其中k，b均為常數(shù)當關稅稅率t75%時，若市場價格為5千元，則市場供應量約為1萬件；若市場價格為7千元，則市場供應量約為2萬件(1)試確定k，b的值(2)市場需求量q(單位：萬件)與市場價格x(單位：千元)近似滿足關系式：q2x，當pq時，市場價格稱為市場平衡價格，當市場平衡價格不超過4千元時，試確定關稅稅率的最大值解(1)由已知得：解得b5，k1.(2)當pq時，22x，所以(1t)(x5)2xt11.而f(x)x在(0,4上單調(diào)遞減，所以當x4時，f(x)有最小值，故當x4時，關稅稅率的最大值為500%.10為響應國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號召，小李同學大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)經(jīng)過調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本5萬元，每年生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本C(x)萬元，且C(x)每件產(chǎn)品售價為10元，經(jīng)分析，生產(chǎn)的產(chǎn)品當年能全部售完(1)寫出年利潤P(x)(萬元)關于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式(年利潤年銷售收入固定成本流動成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？解(1)因為每件產(chǎn)品售價為10元，所以x萬件產(chǎn)品銷售收入為10x萬元依題意得，當0x8時，P(x)10x5x26x5；當x8時，P(x)10x530.所以P(x)(2)當0x8時，P(x)(x6)213，當x6時，P(x)取得最大值P(6)13；當x8時，P(x)10，所以P(x)為減函數(shù)，當x8時，P(x)取得最大值P(8).由13可知當年產(chǎn)量為8萬件時，小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為萬元1(2019·全國卷)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上設地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：(Rr).設.由于的值很小，因此在近似計算中33，則r的近似值為()A. R B. RC. R D. RD由(Rr)，得M1.因為，所以(1)M1，得.由33，得33，即3，所以r·R，故選D.2某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y14.1x0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y22x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是()A10.5萬元B11萬元C43萬元D43.025萬元C設公司在A地銷售該品牌的汽車x(0x16且xN)輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16x)輛，所以可得利潤y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x32·×32.因為x0,16且xN，所以當x10或11時，總利潤取得最大值43萬元3某工廠投資100萬元開發(fā)新產(chǎn)品，第一年獲利10萬元，從第二年開始每年獲利比上一年增加20%.若從第n年開始，前n年獲利總和超過投入的100萬元，則n_.(參考數(shù)據(jù)：lg 20.301 0，lg 30.477 1)7由從第n年開始，前n年獲利總和超過投入的100萬元，得1010×(120%)110×(120%)210(120%)n1100，即100，所以n6.即從第7年開始，前7年獲利總和超過投入的100萬元4十九大提出對農(nóng)村要堅持精準扶貧，至2020年底全面脫貧現(xiàn)有扶貧工作組到某山區(qū)貧困村實施脫貧工作，經(jīng)摸底排查，該村現(xiàn)有貧困農(nóng)戶100家，他們均從事水果種植，2017年底該村平均每戶年純收入為1萬元扶貧工作組一方面請有關專家對水果進行品種改良，提高產(chǎn)量；另一方面，抽出部分農(nóng)戶從事水果包裝、銷售工作，其人數(shù)必須小于種植的人數(shù)從2018年初開始，若該村抽出5x戶(xZ,1x9)從事水果包裝、銷售工作，經(jīng)測算，剩下從事水果種植的農(nóng)戶的年純收入每戶平均比上一年提高，而從事包裝、銷售的農(nóng)戶的年純收入每戶平均為萬元(參考數(shù)據(jù)：1.131.331,1.1531.521,1.231.728)(1)至2020年底，為使從事水果種植的農(nóng)戶能實現(xiàn)脫貧(每戶年均純收入不低于1萬6千元)，至少要抽出多少戶從事包裝、銷售工作？(2)至2018年底，該村每戶年均純收入能否達到1.35萬元？若能，請求出從事包裝、銷售的戶數(shù)；若不能，請說明理由解(1)至2020年底，種植戶平均收入1.6，即1.6，即x20(1)由題中所給數(shù)據(jù)，知1.151.2，所以320(1)4.所以x的最小值為4，此時5x20，即至少要抽出20戶從事包裝、銷售工作(2)至2018年底，假設該村每戶年均純收入能達到1.35萬元每戶的平均收入為1.35，化簡得3x230x700.因為xZ且1x9 ，所以x4,5,6所以當從事包裝、銷售的戶數(shù)達到20至30戶時，能達到，否則，不能1李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%.當x10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為_13015一次購買草莓和西瓜各一盒需付款140元，若x10，則超過120元可少付10元，故顧客實際需要支付130元設顧客一次購買水果促銷前總價為y元當y120時，不享受優(yōu)惠，即x0，此時0.8y0.7y，滿足要求當y120時，享受優(yōu)惠x元，則0.8(yx)0.7y，得xy恒成立又y120，y15，x15，即x的最大值為15.2據(jù)氣象中心觀察和預測：發(fā)生于沿海M地的臺風一直向正南方向移動，其移動速度v(單位：km/h)與時間t(單位：h)的函數(shù)圖像如圖所示，過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分的面積為時間t內(nèi)臺風所經(jīng)過的路程s(單位：km)(1)當t4時，求s的值；(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關系式表示出來；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場臺風是否會侵襲到N城，如果會，在臺風發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由解(1)由圖像可知，直線OA的方程是v3t(0t10)，直線BC的方程是v2t70(20t35)當t4時，v12，所以s×4×1224.(2)當0t10時，s×t×3tt2；當10t20時，s×10×30(t10)×3030t150；當20t35時，s150300×(t20)×(2t7030)t270t550.綜上可知，s隨t變化的規(guī)律是s(3)當t0,10時，smax×102150650，當t(10,20時，smax30×20150450650，當t(20,35時，令t270t550650，解得t30或t40(舍去)，即在臺風發(fā)生30小時后將侵襲到N城- 7 -