課后限時(shí)集訓(xùn)28正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用建議用時(shí)：45分鐘一、選擇題1一名學(xué)生在河岸上緊靠河邊筆直行走，某時(shí)刻測得河對岸靠近河邊處的參照物與學(xué)生前進(jìn)方向成30°角前進(jìn)200 m后，測得該參照物與前進(jìn)方向成75°角，則河的寬度為()A50(1)mB100(1)mC50 mD100 mA如圖所示，在ABC中，BAC30°，ACB75°30°45°，AB200 m，由正弦定理，得BC100(m)，所以河的寬度為BCsin 75°100×50(1)(m)2已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos 2Acos 2B2cos 2C，則cos C的最小值為()A.B. C.D.C因?yàn)閏os 2Acos 2B2cos 2C，所以12sin2A12sin2B24sin2C，得a2b22c2，cos C，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號成立，故選C.3在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知(abc)(abc)3ab，且c4，則ABC面積的最大值為()A8B4C2D.B由已知等式得a2b2c2ab，則cos C.由C(0，)，所以sin C.又16c2a2b2ab2ababab，則ab16，所以SABCabsin C×16×4.故Smax4.故選B.4在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2c·cos B2ab，若ABC的面積為Sc，則ab的最小值為()A8B10C12D14C在ABC中，由已知及正弦定理可得2sin Ccos B2sin Asin B2sin(BC)sin B，即2sin Ccos B2sin Bcos C2sin Ccos Bsin B，所以2sin Bcos Csin B0.因?yàn)閟in B0，所以cos C，C.由于ABC的面積為Sab·sin Cabc，所以cab.由余弦定理可得c2a2b22ab·cos C，整理可得a2b2a2b2ab3ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取等號，所以ab12.5在ABC中，sin B，BC邊上的高為AD，D為垂足，且BD2CD，則cosBAC()A B.CD.A依題意設(shè)CDx，ADy，則BD2x，BC3x.因?yàn)閟in B，所以AB3y.因?yàn)锽C邊上的高為AD，如圖所示，所以AB2AD2BD2y24x29y2，即xy.所以ACy.根據(jù)余弦定理得cosBAC.故選A.二、填空題6一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時(shí)_海里10如圖所示，依題意有BAC60°，BAD75°，所以CADCDA15°，從而CDCA10，在RtABC中，得AB5，于是這艘船的速度是10(海里/時(shí))7在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足asin Bbcos A若a4，則ABC周長的最大值為_12由正弦定理，可將asin Bbcos A轉(zhuǎn)化為sin Asin Bsin Bcos A.又在ABC中，sin B0，sin Acos A，即tan A.0A，A.由于a4，由余弦定理得a2b2c22bccos A，得16b2c22bc·b2c2bc(bc)23bc，又bc2，(bc)264，即bc8，abc12.8.如圖，在ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且ABAD,2ABBD，BC2BD，則sin C的值為_設(shè)ABa，ABAD,2ABBD，BC2BD，ADa，BD，BC.在ABD中，cosADB，sinADB，sinBDC.在BDC中，sin C.三、解答題9.在四邊形ABCD中，ADBC，AB，A120°，BD3.(1)求AD的長；(2)若BCD105°，求四邊形ABCD的面積解(1)在ABD中，AB，A120°，BD3，由余弦定理得cos 120°，解得AD(AD2舍去)，AD的長為.(2)ADBC，A120°，BD3，ABAD，BCD105°，DBC30°，BDC45°，由正弦定理得，解得BC33，DC.如圖，過點(diǎn)A作AEBD，交BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CFBD，交BD于點(diǎn)F，則AEAB，CFBC，四邊形ABCD的面積SSABDSBDCBD·(AECF)×3×.10(2019·綿陽模擬)在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且2csin B3atan A.(1)求的值；(2)若a2，求ABC面積的最大值解(1)2csin B3atan A，2csin Bcos A3asin A，由正弦定理得2cbcos A3a2，由余弦定理得2cb·3a2，化簡得b2c24a2，4.(2)a2，由(1)知b2c24a216，由余弦定理得cos A，根據(jù)基本不等式得b2c22bc，即bc8，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)，等號成立，cos A.由cos A，得bc，且A，ABC的面積Sbcsin A××sin A3tan A.1tan2A1，tan A.S3tan A.ABC面積的最大值為.1在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若sin B2sin Acos C0，則當(dāng)cos B取最小值時(shí)，()A. B.C2D.B由sin B2sin Acos C0，根據(jù)正弦定理和余弦定理得b2a·0，a22b2c20，b2，cos B，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，cos B取最小值.故選B.2.(2019·吉林長春質(zhì)量監(jiān)測(四)海島算經(jīng)是中國學(xué)者劉徽編撰的一部測量數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)有取自其中的一個(gè)問題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合，問島高幾何？其大意為：如圖所示，立兩個(gè)三丈高的標(biāo)桿BC和DE，兩標(biāo)桿之間的距離BD1 000步，兩標(biāo)桿的底端與海島的底端H在同一直線上，從前面的標(biāo)桿B處后退123步，人眼貼地面，從地上F處仰望島峰，A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，從后面的標(biāo)桿D處后退127步，人眼貼地面，從地上G處仰望島峰，A，E，G三點(diǎn)也共線，則海島的高為(注：1步6尺，1里180丈1 800尺300步)()A1 255步B1 250步C1 230步D1 200步A因?yàn)锳HBC，所以BCFHAF，所以.因?yàn)锳HDE，所以DEGHAG，所以.又BCDE，所以，即，所以HB30 750步，又，所以AH1 255(步)故選A.3.如圖所示，在ABC中，C，BC4，點(diǎn)D在邊AC上，ADDB，DEAB，E為垂足，若DE2，則cos A_.ADDB，AABD，BDC2A.設(shè)ADDBx，在BCD中，可得.在AED中，可得.聯(lián)立可得，解得cos A.4(2019·寧德模擬)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且2cb2acos B，a.(1)若c，求ABC的面積；(2)若ABC為銳角三角形，求bc的取值范圍解(1)2cb2acos B，由正弦定理得2sin C sin B2sin Acos B，2sin(AB)sin B2sin Acos B，2cos Asin Bsin B.B(0，)，sin B0，cos A.又A(0，)，A.由余弦定理得7b232××b，即b23b40，(b4)(b1)0，b4或b1(舍去)，SABCbcsin A×4××.(2)由(1)知A.由正弦定理得，2，bc222sin.ABC是銳角三角形，B，B，sin，bc(，)1.(2019·福建寧德5月質(zhì)檢)海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞若要測量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A，B兩點(diǎn)間的距離)，現(xiàn)取兩點(diǎn)C，D，測得CD80，ADB135°，BDCDCA15°，ACB120°，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為_80由已知得，在ACD中，ACD15°，ADC150°，所以DAC15°，由正弦定理得AC40()在BCD中，BDC15°，BCD135°，所以DBC30°，由正弦定理，得BC160sin 15°40()在ABC中，由余弦定理，得AB21 600×(84)1 600×(84)2×1 600×()×()×1 600×161 600×41 600×2032 000，解得AB80.故圖中海洋藍(lán)洞的口徑為80.2.如圖，在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c4，b2,2ccos Cb，D，E分別為線段BC上的點(diǎn)，且BDCD，BAECAE.(1)求線段AD的長；(2)求ADE的面積解(1)因?yàn)閏4，b2,2ccos Cb，所以cos C.由余弦定理得cos C，所以a4，即BC4.在ACD中，CD2，AC2，所以AD2AC2CD22AC·CD·cosACD6，所以AD.(2)因?yàn)锳E是BAC的平分線，所以2，又，所以2，所以CEBC，DE2.又因?yàn)閏os C，所以sin C.又SADESACDSACE，所以SADE×DE×AC×sin C.8