課后限時(shí)集訓(xùn)46空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用建議用時(shí)：45分鐘一、選擇題1已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，則x等于()A(0,3，6)B(0,6，20)C(0,6，6)D(6,6，6)B由bx2a，得x4a2b(8,12，16)(8，6，4)(0,6，20)2若，則直線(xiàn)AB與平面CDE的位置關(guān)系是()A相交B平行C在平面內(nèi)D平行或在平面內(nèi)D，共面則AB與平面CDE的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)3已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，則下列結(jié)論正確的是()Aac，bcBab，acCac，abD以上都不對(duì)Cc(4，6,2)2(2，3,1)2a，ac，又a·b2×2(3)×01×40，ab.4.如圖所示，三棱錐O­ABC中，M，N分別是AB，OC的中點(diǎn)，設(shè)a，b，c，用a，b，c表示，則()A.(abc)B.(abc)C.(abc)D.(abc)B()()(abc)5A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿(mǎn)足·0，·0，·0，M為BC中點(diǎn)，則AMD是()A鈍角三角形B銳角三角形C直角三角形D不確定CM為BC中點(diǎn)，()，·()···0.AMAD，AMD為直角三角形二、填空題6在空間直角坐標(biāo)系中，A(1,1，2)，B(1,2，3)，C(1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，zR)，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則2xyz_.1A(1,1，2)，B(1,2，3)，C(1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，zR)，(0,1，1)，(2,2,2)，(x1，y1，z2)A，B，C，D四點(diǎn)共面，存在實(shí)數(shù)，使得，即(x1，y1，z2)(0,1，1)(2,2,2)，解得2xyz1.7在正方體ABCD­A1B1C1D1中，M，N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin，的值為_(kāi)如圖建立空間直角坐標(biāo)系D­xyz，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則易得(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.8已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)對(duì)于結(jié)論：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正確的是_·0，·0，ABAP，ADAP，則正確又與不平行，是平面ABCD的法向量，則正確(2,3,4)，(1,2，1)，與不平行，故錯(cuò)誤三、解答題9已知空間中三點(diǎn)A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，設(shè)a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值解(1)c，(3,0,4)(1,1,2)(2，1,2)，cmm(2，1,2)(2m，m,2m)，|c|3|m|3，m±1.c(2，1,2)或(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，a·b(1,1,0)·(1,0,2)1，又|a|，|b|，cosa，b，故向量a與向量b的夾角的余弦值為.10.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC­O1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AEBFx，其中0xa，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz.(1)寫(xiě)出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；(2)求證：A1FC1E；(3)若A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，求證：.解(1)E(a，x,0)，F(xiàn)(ax，a,0)(2)證明：A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，·axa(xa)a20，A1FC1E.(3)證明：A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，共面選與為在平面A1C1E上的一組基向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a,0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.1在空間四邊形ABCD中，則···的值為()A1B0C1D2B法一：(直接法)如圖，令a，b，c, 則····()·()·()a·(cb)b·(ac)c·(ba)a·ca·bb·ab·cc·bc·a0.法二：(特值法)在三棱錐A­BCD中，不妨令其各棱長(zhǎng)都相等，則正四面體的對(duì)棱互相垂直所以·0，·0，·0.所以···0.2.(2019·四川名校聯(lián)考)如圖所示，正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1MAN，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A相交B平行C垂直D不能確定B正方體棱長(zhǎng)為a，A1MAN，().又是平面B1BCC1的法向量，且··0，MN平面B1BCC1.故選B.3ABC的頂點(diǎn)分別為A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，則AC邊上的高BD等于_5設(shè)，D(x，y，z)，則(x1，y1，z2)(0,4，3)，x1，y41，z23，D(1,41,23)，(4,45，3)，·0，4(45)3(3)0，解得，|5.4如圖所示，在平行四邊形ABCD中，ABACCD1，ACD90°，把ADC沿對(duì)角線(xiàn)AC折起，使AB與CD成60°角，求BD的長(zhǎng)解AB與CD成60°角，60°或120°.又ABACCD1，ACCD，ACAB，|，|2或.BD的長(zhǎng)為2或.1已知O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線(xiàn)OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)·取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是_ (1,1,2) 由題意，設(shè)，則(，2)，即Q(，2)，則(1，2，12)，(2，1，22)，·(1)(2)(2)(1)(12)(22)621266(1)2，當(dāng)1時(shí)取最小值，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,2)2.如圖所示，四棱錐S­ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，點(diǎn)P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)(1)求證：ACSD；(2)若SD平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE平面PAC，若存在，求SEEC的值；若不存在，試說(shuō)明理由解(1)證明：連接BD，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，則ACBD.連接SO，由題意知SO平面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖底面邊長(zhǎng)為a，則高SOa，于是S，D，B，C，則·0.故OCSD.從而ACSD.(2)棱SC上存在一點(diǎn)E，使BE平面PAC.理由如下：由已知條件知是平面PAC的一個(gè)法向量，且，.設(shè)t，則t，而·0t.即當(dāng)SEEC21時(shí)，BEDS.而B(niǎo)E平面PAC，故BE平面PAC.8