課后限時集訓(xùn)7函數(shù)性質(zhì)的綜合問題建議用時：45分鐘一、選擇題1設(shè)f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時，f(x)x2x，則f()ABC DC因為f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，所以fff.又當(dāng)0x1時，f(x)x2x，所以f，則f.2下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0，)上單調(diào)遞增的是()AyexexByln(|x|1)CyDyxD選項A、B顯然是偶函數(shù)，排除；選項C是奇函數(shù)，但在(0，)上不是單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意； 選項D中，yx是奇函數(shù)，且yx和y在(0，)上均為增函數(shù)，故yx在(0，)上為增函數(shù)，所以選項D正確3已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有ff(x)0，當(dāng)x0時，f(x)2xa，則f(16)的值為()A.BC.DA由ff(x)0，得f(x)ff(x5)，f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，f(16)f(13×5)f(1)f(x)是R上的奇函數(shù)，f(0)1a0，a1.當(dāng)x0時，f(x)2x1，f(1)211，f(1)，f(16).4設(shè)f(x)是定義在2b,3b上的偶函數(shù)，且在2b,0上為增函數(shù)，則f(x1)f(3)的解集為()A3,3B2,4C1,5D0,6B因為f(x)是定義在2b,3b上的偶函數(shù)，所以有2b3b0，解得b3，由函數(shù)f(x)在6,0上為增函數(shù)，得f(x)在(0,6上為減函數(shù)，故f(x1)f(3)f(|x1|)f(3)|x1|3，故2x4.5(2019·合肥調(diào)研)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且在0,1上是減函數(shù)，則有()AfffBfffCfffDfffC因為f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，所以函數(shù)的周期為4，作出f(x)的草圖，如圖，由圖可知fff.二、填空題6已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x4)f(x2)若當(dāng)x3,0時，f(x)6x，則f(919)_.6f(x4)f(x2)，f(x6)f(x)，f(x)的周期為6，919153×61，f(919)f(1)又f(x)為偶函數(shù)，f(919)f(1)f(1)6.7定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x2)0，且f(4x)f(x)現(xiàn)有以下三個命題：8是函數(shù)f(x)的一個周期；f(x)的圖像關(guān)于直線x2對稱；f(x)是偶函數(shù)其中正確命題的序號是_f(x)f(x2)0，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，f(x)的周期為4，故正確；又f(4x)f(x)，所以f(2x)f(2x)，即f(x)的圖像關(guān)于直線x2對稱，故正確；由f(x)f(4x)得f(x)f(4x)f(x)，故正確8已知定義在R上的奇函數(shù)yf(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，且f0，則f(x)0的解集為_由奇函數(shù)yf(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，且f0，可知函數(shù)yf(x)在(，0)內(nèi)單調(diào)遞增，且f0.由f(x)0，可得x或x0.三、解答題9設(shè)f(x)是定義域為R的周期函數(shù)，最小正周期為2，且f(1x)f(1x)，當(dāng)1x0時，f(x)x.(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上的表達式解(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)又f(x2)f(x)，f(x)f(x)又f(x)的定義域為R，f(x)是偶函數(shù)(2)當(dāng)x0,1時，x1,0，則f(x)f(x)x；從而當(dāng)1x2時，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)10設(shè)函數(shù)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0x1時，f(x)x.(1)求f()的值；(2)當(dāng)4x4時，求函數(shù)f(x)的圖像與x軸所圍成圖形的面積解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f()f(1×4)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線x1對稱又當(dāng)0x1時，f(x)x，且f(x)的圖像關(guān)于原點成中心對稱，則f(x)的圖像如圖所示當(dāng)4x4時，設(shè)f(x)的圖像與x軸圍成的圖形面積為S，則S4SOAB4×4.1(2019·江西臨川第一中學(xué)期末)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意的實數(shù)x，f(x2)f(x2)，當(dāng)x(0,2)時，f(x)x2，則f()ABC. D.D因為f(x2)f(x2)，所以f(x)f(x4)，所以f(x)是周期為4的函數(shù)，所以fff，又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以ff，所以f.故選D.2(2019·惠州調(diào)研)已知定義域為R的偶函數(shù)f(x)在(，0上是減函數(shù)，且f(1)2，則不等式f(log2x)2的解集為()A(2，) B.(2，)C.(，)D(，)Bf(x)是R上的偶函數(shù)，且在(，0上是減函數(shù)，所以f(x)在0，)上是增函數(shù)，因為f(1)2，所以f(1)2，所以f(log2x)2f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1或log2x1x2或0x.故選B.3定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且f(x)在1,0上是增函數(shù)，給出下列幾個命題：f(x)是周期函數(shù)；f(x)的圖像關(guān)于x1對稱；f(x)在1,2上是減函數(shù)；f(2)f(0)，其中正確命題的序號是_(請把正確命題的序號全部寫出來)因為f(xy)f(x)f(y)對任意x，yR恒成立令xy0，所以f(0)0.令xy0，所以yx，所以f(0)f(x)f(x)所以f(x)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)因為f(x)在x1,0上為增函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)在0,1上為增函數(shù)由f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x4)f(x)，所以周期T4，即f(x)為周期函數(shù)f(x2)f(x)f(x2)f(x)又因為f(x)為奇函數(shù)所以f(2x)f(x)，所以函數(shù)關(guān)于x1對稱由f(x)在0,1上為增函數(shù)，又關(guān)于x1對稱，所以f(x)在1,2上為減函數(shù)由f(x2)f(x)，令x0得f(2)f(0)f(0)4已知函數(shù)yf(x)在定義域1,1上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)(1)求證：對任意x1，x21,1，有f(x1)f(x2)·(x1x2)0；(2)若f(1a)f(1a2)0，求實數(shù)a的取值范圍解(1)證明：若x1x20，顯然不等式成立若x1x20，則1x1x21，因為f(x)在1,1上是減函數(shù)且為奇函數(shù)，所以f(x1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立若x1x20，則1x1x21，同理可證f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立綜上得證，對任意x1，x21,1，有f(x1)f(x2)·(x1x2)0恒成立(2)因為f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，所以由f(x)在定義域1,1上是減函數(shù)，得即解得0a1.故所求實數(shù)a的取值范圍是0,1)1定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意xR有f(x4)f(x)；f(x)在0,2上是增函數(shù)；f(x2)的圖像關(guān)于y軸對稱則下列結(jié)論正確的是()Af(7)f(6.5)f(4.5)Bf(7)f(4.5)f(6.5)Cf(4.5)f(6.5)f(7)Df(4.5)f(7)f(6.5)D由知函數(shù)f(x)的周期為4，由知f(x2)是偶函數(shù)，則有f(x2)f(x2)，即函數(shù)f(x)圖像的一條對稱軸是x2，由知函數(shù)f(x)在0,2上單調(diào)遞增，則在2,4上單調(diào)遞減，且在0,4上越靠近x2，對應(yīng)的函數(shù)值越大，又f(7)f(3)，f(6.5)f(2.5)，f(4.5)f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)f(3)f(2.5)，即f(4.5)f(7)f(6.5)故選D.2設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x1對稱，對任意x1，x2，都有f(x1x2)f(x1)·f(x2)(1)設(shè)f(1)2，求f，f；(2)證明：f(x)是周期函數(shù)解(1)由f(x1x2)f(x1)·f(x2)，x1，x2，知f(x)f· f0，x0,1f(1)ff·f，f(1)2，f2.fff·f，f2，f2.(2)證明：依題設(shè)，yf(x)的圖像關(guān)于直線x1對稱，f(x)f(2x)又f(x)f(x)，f(x)f(2x)，f(x)f(2x)，f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期- 7 -