“講忠誠、嚴(yán)紀(jì)律、立政德”三者相互貫通、相互聯(lián)系。忠誠是共產(chǎn)黨人的底色，紀(jì)律是不能觸碰的底線，政德是必須修煉的素養(yǎng)。永葆底色、不碰底線2015年湖南省長沙市南雅中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試卷（2）一、選擇題（本大題共8題，每小題4分，共32分）1計(jì)算（a2）3（a2）2的結(jié)果是（）AaBa2Ca3Da42向如圖所示的正三角形區(qū)域扔沙包（區(qū)域中每一個(gè)小正三角形除顏色外完全相同），假設(shè)沙包擊中每一個(gè)小三角形是等可能的，扔沙包1次擊中陰影區(qū)域的概率等于（）ABCD3已知m、n是方程x2+2x+1=0的兩根，則代數(shù)式的值為（）A9B3C3D54在如圖所示的三個(gè)函數(shù)圖象中，有兩個(gè)函數(shù)圖象能近似地刻畫如下a，b兩個(gè)情境：情境a：小芳離開家不久，發(fā)現(xiàn)把作業(yè)本忘在家里，于是返回了家里找到了作業(yè)本再去學(xué)校；情境b：小芳從家出發(fā)，走了一段路程后，為了趕時(shí)間，以更快的速度前進(jìn)則情境a，b所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象分別是（）A、B、C、D、5如果，那么等于（）A1B2C3D46若關(guān)于x的方程無解，則a的值為（）A或2B或1C或2或1D2或17已知，那么a，b，c的大小關(guān)系是（）AabcBbacCcbaDcab8已知，在面積為7的梯形ABCD中，ADBC，AD=3，BC=4，P為邊AD上不與A、D重合的一動(dòng)點(diǎn)，Q是邊BC上的任意一點(diǎn)，連結(jié)AQ、DQ，過P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F則PEF面積的最大值是（）ABCD二、填空題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）9計(jì)算： =10規(guī)定用符號(hào)m表示一個(gè)實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分，例如：=0，3.14=3按此規(guī)定的值為11定義：在直角三角形ABC中，銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫做角的余切，記作ctan，即ctan=，根據(jù)上述角的余切概念，則ctan30=12如圖，一次函數(shù)y1=ax+b（a0）與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，4）、B（4，1）兩點(diǎn)，若使y1y2，則x的取值范圍是13已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅為1，2，3，若m，n為整數(shù)，則代數(shù)式的值是14若一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)3x1時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值為1y9，則一次函數(shù)的解析式為15如圖，平面直角坐標(biāo)系中有四個(gè)點(diǎn)，它們的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)若在此平面直角坐標(biāo)系內(nèi)移動(dòng)點(diǎn)A，使得這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是軸對(duì)稱圖形，并且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)仍是整數(shù)，則移動(dòng)后點(diǎn)A的坐標(biāo)為16在正方形ABCD中，N是DC的中點(diǎn)，M是AD上異于D的點(diǎn)，且NMB=MBC，則tanABM=三、解答題（本大題共4道題，共48分）17某實(shí)驗(yàn)學(xué)校為開展研究性學(xué)習(xí)，準(zhǔn)備購買一定數(shù)量的兩人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌，如果購買3張兩人學(xué)習(xí)桌，1張三人學(xué)習(xí)桌需220元；如果購買2張兩人學(xué)習(xí)桌，3張三人學(xué)習(xí)桌需310元（1）求兩人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌的單價(jià)；（2）學(xué)校欲投入資金不超過6000元，購買兩種學(xué)習(xí)桌共98張，以至少滿足248名學(xué)生的需求，設(shè)購買兩人學(xué)習(xí)桌x張，購買兩人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌的總費(fèi)用為W 元，求出W與x的函數(shù)關(guān)系式；求出所有的購買方案18設(shè)a，b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式axb的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為a，b對(duì)于任何一個(gè)二次函數(shù)，它在給定的閉區(qū)間上都有最小值（1）函數(shù)y=x2+4x2在區(qū)間0，5上的最小值是（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值（3）求函數(shù)y=x24x4在區(qū)間t2，t1（t為任意實(shí)數(shù)）上的最小值ymin的解析式19如圖，P為等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA、PB、PC的長為正整數(shù)，且PA2+PB2=PC2，設(shè)PA=m，n為大于5的實(shí)數(shù)，滿m2n+30m+9n5m2+6mn+45，求ABC的面積20已知：如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=2，BC=6，AB=3E為BC邊上一點(diǎn)，以BE為邊作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側(cè)（1）當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F恰好落在對(duì)角線AC上時(shí)，求BE的長；（2）將（1）問中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFC為正方形BEFG，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移設(shè)平移的距離為t，正方形BEFG的邊EF與AC交于點(diǎn)M，連接BD，BM，DM，是否存在這樣的t，使BDM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在（2）問的平移過程中，設(shè)正方形BEFG與ADC重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍2015年湖南省長沙市南雅中學(xué)高中自主招生考試數(shù)學(xué)試卷（2）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8題，每小題4分，共32分）1計(jì)算（a2）3（a2）2的結(jié)果是（）AaBa2Ca3Da4【考點(diǎn)】整式的除法【分析】根據(jù)冪的乘方首先進(jìn)行化簡，再利用同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算法則計(jì)算后直接選取答案【解答】解：（a2）3（a2）2=a6a4=a2故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方和同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵2向如圖所示的正三角形區(qū)域扔沙包（區(qū)域中每一個(gè)小正三角形除顏色外完全相同），假設(shè)沙包擊中每一個(gè)小三角形是等可能的，扔沙包1次擊中陰影區(qū)域的概率等于（）ABCD【考點(diǎn)】幾何概率【分析】求出陰影部分的面積與三角形的面積的比值即可解答【解答】解：因?yàn)殛幱安糠值拿娣e與三角形的面積的比值是=，所以扔沙包1次擊中陰影區(qū)域的概率等于故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件（A）發(fā)生的概率3已知m、n是方程x2+2x+1=0的兩根，則代數(shù)式的值為（）A9B3C3D5【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；二次根式的化簡求值【專題】整體思想【分析】根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=2，mn=1，再變形得，然后把m+n=2，mn=1整體代入計(jì)算即可【解答】解：m、n是方程x2+2x+1=0的兩根，m+n=2，mn=1，=3故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩根分別為x1，x2，則x1+x2=，x1x2=也考查了二次根式的化簡求值4在如圖所示的三個(gè)函數(shù)圖象中，有兩個(gè)函數(shù)圖象能近似地刻畫如下a，b兩個(gè)情境：情境a：小芳離開家不久，發(fā)現(xiàn)把作業(yè)本忘在家里，于是返回了家里找到了作業(yè)本再去學(xué)校；情境b：小芳從家出發(fā)，走了一段路程后，為了趕時(shí)間，以更快的速度前進(jìn)則情境a，b所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象分別是（）A、B、C、D、【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象【分析】根據(jù)圖象，一段一段的分析，再一個(gè)一個(gè)的排除，即可得出答案；【解答】解：情境a：小芳離開家不久，即離家一段路程，此時(shí)都符合，發(fā)現(xiàn)把作業(yè)本忘在家里，于是返回了家里找到了作業(yè)本，即又返回家，離家的距離是0，此時(shí)都符合，又去學(xué)校，即離家越來越遠(yuǎn)，此時(shí)只有返回，只有符合情境a；情境b：小芳從家出發(fā)，走了一段路程后，為了趕時(shí)間，以更快的速度前進(jìn)，即離家越來越遠(yuǎn)，且沒有停留，只有符合，故選D【點(diǎn)評(píng)】此題考查函數(shù)圖象問題，主要考查學(xué)生的觀察圖象的能力，同時(shí)也考查了學(xué)生的敘述能力，用了數(shù)形結(jié)合思想，題型比較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目5如果，那么等于（）A1B2C3D4【考點(diǎn)】分式的化簡求值【分析】所求分式涉及字母a、c，故要消除b，根據(jù)兩個(gè)已知等式中b的倒數(shù)關(guān)系消除b，再把所得等式變形即可【解答】解：由已知得=1a，b=1，兩式相乘，得（1a）（1）=1，展開，得1a+=1去分母，得ac+2=2a兩邊同除以a，得c+=2故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式等式的變形，消元法的數(shù)學(xué)思想，需要靈活運(yùn)用這種變形方法6若關(guān)于x的方程無解，則a的值為（）A或2B或1C或2或1D2或1【考點(diǎn)】分式方程的解【分析】先去分母得到關(guān)于x的整式方程，然后根據(jù)分式方程無解得到關(guān)于a的方程，從而求得a的值【解答】解：去分母得：x2+a（x1）=2a+2整理得：（a+1）x=3a+4當(dāng)a+1=0時(shí)，解得：a=1，此時(shí)分式方程無解；當(dāng)a+10時(shí)，x=當(dāng)x=1時(shí)， =1解得：a=，此時(shí)分式方程無解；當(dāng)x=2時(shí)， =2，解得：a=2，此時(shí)分式方程無解故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是分式方程的解，掌握分式方程無解的條件是解題的關(guān)鍵7已知，那么a，b，c的大小關(guān)系是（）AabcBbacCcbaDcab【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)大小比較【分析】利用作差法比較a和b、b和c、a和c的大小，再比較a、b、c三者的大小【解答】解：ab=1（2）=（1+）2.4492.4140，ab；ac=1（2）=+12.4142.4490，ac；于是bac，故選B【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較，其中比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以采用作差法、取近似值法、比較n次方的方法等實(shí)數(shù)大小比較法則：（1）正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；（2）兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小8已知，在面積為7的梯形ABCD中，ADBC，AD=3，BC=4，P為邊AD上不與A、D重合的一動(dòng)點(diǎn)，Q是邊BC上的任意一點(diǎn)，連結(jié)AQ、DQ，過P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F則PEF面積的最大值是（）ABCD【考點(diǎn)】面積及等積變換【分析】設(shè)PD=x，SPEF=y根據(jù)平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定及相似三角形的判定，證明PEFQFE、AEPAQD、PDFADQ，相似三角形的面積比是相似比的平方，再由三角形AQD與梯形ABCD的面積公式求得梯形的高，代入SPEF=（SAQDSDPFSAPE）2，得出關(guān)于x的二次函數(shù)方程，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得則PEF面積最大值【解答】解：設(shè)PD=x，SPEF=y，SAQD=z，梯形ABCD的高為h，AD=3，BC=4，梯形ABCD面積為7，解得：，PEDQ，PEF=QFE，EPF=PFD，又PFAQ，PFD=EQF，EPF=EQF，EF=FE，PEFQFE（AAS），PEDQ，AEPAQD，同理，DPFDAQ，=（）2， =（）2，SAQD=3，SDPF=x2，SAPE=（3x）2，SPEF=（SAQDSDPFSAPE）2，y=3x2（3x）2=x2+x，y最大值=，即y最大值=PEF面積最大值是，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了二次函數(shù)的最值、三角形的面積、梯形的面積以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)及用含x的代數(shù)式表示出三角形的面積是解題的關(guān)鍵二、填空題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）9計(jì)算： =22【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【專題】計(jì)算題【分析】先利用二次根式的除法法則和分母有理化計(jì)算，然后化簡后合并即可【解答】解：原式=22（+1）=422=22故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍10規(guī)定用符號(hào)m表示一個(gè)實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分，例如：=0，3.14=3按此規(guī)定的值為3【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小【分析】先據(jù)算出的大小，然后求得7的范圍，從而可求得的值【解答】解：91316，334473故的值為3故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是無算無理數(shù)的大小，估算出的范圍是解題的關(guān)鍵11定義：在直角三角形ABC中，銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫做角的余切，記作ctan，即ctan=，根據(jù)上述角的余切概念，則ctan30=【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義【專題】新定義【分析】根據(jù)在直角三角形ABC中，銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫做角的余切，可得答案【解答】解：ctan30=，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形ABC中，銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫做角的余切12如圖，一次函數(shù)y1=ax+b（a0）與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，4）、B（4，1）兩點(diǎn)，若使y1y2，則x的取值范圍是x0或1x4【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合【分析】根據(jù)圖形，找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的x的取值范圍即可【解答】解：根據(jù)圖形，當(dāng)x0或1x4時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，y1y2故答案為：x0或1x4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，要注意y軸左邊的部分，一次函數(shù)圖象在第二象限，反比例函數(shù)圖象在第三象限，這也是本題容易忽視而導(dǎo)致出錯(cuò)的地方13已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅為1，2，3，若m，n為整數(shù)，則代數(shù)式的值是【考點(diǎn)】分式的化簡求值；一元一次不等式組的整數(shù)解【專題】計(jì)算題；分式【分析】表示出不等式組的解集，根據(jù)不等式組的整數(shù)解確定出m與n的值，原式第二項(xiàng)利用除法法則變形，約分后兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算得到最簡結(jié)果，把m與n的值代入計(jì)算即可求出值【解答】解：不等式整理得：，即nxm，由不等式組的整數(shù)解僅有1，2，3，得到m=4，n=1，則原式=1=1=，當(dāng)m=4，n=1時(shí)，原式=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的化簡求值，以及一元一次不等式的整數(shù)解，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵14若一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)3x1時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值為1y9，則一次函數(shù)的解析式為y=2x+7或y=2x+3【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式【分析】根據(jù)一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，因?yàn)橹篮瘮?shù)定義域?yàn)?x1，值域?yàn)?y9，進(jìn)行分類討論k大于0還是小于0，列出二元一次方程組求出k和b的值【解答】解：（）當(dāng)k0時(shí)，解得：，此時(shí)y=2x+7，（）當(dāng)k0時(shí)，解得：，此時(shí)y=2x+3，綜上，所求的函數(shù)解析式為：y=2x+7或y=2x+3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)：在定義域上是單調(diào)函數(shù)，本題難度不大15如圖，平面直角坐標(biāo)系中有四個(gè)點(diǎn)，它們的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)若在此平面直角坐標(biāo)系內(nèi)移動(dòng)點(diǎn)A，使得這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是軸對(duì)稱圖形，并且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)仍是整數(shù)，則移動(dòng)后點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），（2，2），（0，2），（2，3）【考點(diǎn)】利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案【專題】壓軸題【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，把A進(jìn)行移動(dòng)可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，注意考慮全面【解答】解：如圖所示：A1（1，1），A2（2，2），A3（0，2），A4（2，3），（3，2）（此時(shí)不是四邊形，舍去），故答案為：（1，1），（2，2），（0，2），（2，3）【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的定義，根據(jù)3個(gè)定點(diǎn)所在位置，找出A的位置16在正方形ABCD中，N是DC的中點(diǎn)，M是AD上異于D的點(diǎn)，且NMB=MBC，則tanABM=【考點(diǎn)】解直角三角形；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)【專題】計(jì)算題【分析】根據(jù)NMB=MBC，延長MN，BC相交于T，得到等腰TBM，連接點(diǎn)T和MB的中點(diǎn)，得到相似三角形，然后由相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，求出ABM的正切【解答】解：如圖：延長MN交BC的延長線于T，設(shè)MB的中點(diǎn)為O，連TO，則OTBM，ABM+MBT=90，OTB+MBT=90，ABM=OTB，則BAMTOB，=，即=，即MB2=2AMBT 令DN=1，CT=MD=K，則：AM=2K，BM=，BT=2+K，代入中得：4+（2K）2=2（2K）（2+K），解方程得：K1=0（舍去），K2=AM=2=tanABM=故答案是：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形，運(yùn)用正方形的性質(zhì)，根據(jù)題目中角的關(guān)系，判斷兩個(gè)三角形相似，然后用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，求出直角三角形中邊的長度，再用正切的定義求出角的正切值三、解答題（本大題共4道題，共48分）17某實(shí)驗(yàn)學(xué)校為開展研究性學(xué)習(xí)，準(zhǔn)備購買一定數(shù)量的兩人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌，如果購買3張兩人學(xué)習(xí)桌，1張三人學(xué)習(xí)桌需220元；如果購買2張兩人學(xué)習(xí)桌，3張三人學(xué)習(xí)桌需310元（1）求兩人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌的單價(jià)；（2）學(xué)校欲投入資金不超過6000元，購買兩種學(xué)習(xí)桌共98張，以至少滿足248名學(xué)生的需求，設(shè)購買兩人學(xué)習(xí)桌x張，購買兩人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌的總費(fèi)用為W 元，求出W與x的函數(shù)關(guān)系式；求出所有的購買方案【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式組的應(yīng)用【分析】（1）設(shè)每張兩人學(xué)習(xí)桌單價(jià)為a元和每張三人學(xué)習(xí)桌單價(jià)為b元，根據(jù)如果購買3張兩人學(xué)習(xí)桌，1張三人學(xué)習(xí)桌需220元；如果購買2張兩人學(xué)習(xí)桌，3張三人學(xué)習(xí)桌需310元分別得出等式方程，組成方程組求出即可；（2）根據(jù)購買兩種學(xué)習(xí)桌共98張，設(shè)購買兩人學(xué)習(xí)桌x張，則購買3人學(xué)習(xí)桌（98x）張，根據(jù)以至少滿足248名學(xué)生的需求，以及學(xué)校欲投入資金不超過6000元得出不等式，進(jìn)而求出即可【解答】解：（1）設(shè)每張兩人學(xué)習(xí)桌單價(jià)為a元和每張三人學(xué)習(xí)桌單價(jià)為b元，根據(jù)題意得出：，解得：，答：兩人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌的單價(jià)分別為50元，70元；（2）設(shè)購買兩人學(xué)習(xí)桌x張，則購買3人學(xué)習(xí)桌（98x）張，購買兩人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌的總費(fèi)用為W 元，則W與x的函數(shù)關(guān)系式為：W=50 x+70（98x）=20 x+6860；根據(jù)題意得出：，由50 x+70（98x）6000，解得：x43，由2x+3（98x）248，解得：x46，故不等式組的解集為：43x46，故所有購買方案為：當(dāng)購買兩人桌43張時(shí)，購買三人桌55張，當(dāng)購買兩人桌44張時(shí)，購買三人桌54張，當(dāng)購買兩人桌45張時(shí)，購買三人桌53張，當(dāng)購買兩人桌46張時(shí)，購買三人桌52張【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及不等式組的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系18設(shè)a，b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式axb的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為a，b對(duì)于任何一個(gè)二次函數(shù)，它在給定的閉區(qū)間上都有最小值（1）函數(shù)y=x2+4x2在區(qū)間0，5上的最小值是7（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值（3）求函數(shù)y=x24x4在區(qū)間t2，t1（t為任意實(shí)數(shù)）上的最小值ymin的解析式【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值【專題】新定義【分析】（1）先求得拋物線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后畫出拋物線的大致圖象，根據(jù)函數(shù)圖象可知當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)值最?。唬?）先畫出函數(shù)的大致圖象，然后根據(jù)函數(shù)圖象可知當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)值最??；（3）先求得拋物線的對(duì)稱軸，然后根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸在區(qū)間t2，t1的左側(cè)、區(qū)間內(nèi)、區(qū)間右側(cè)分類討論即可【解答】解：（1）y=x2+4x2其對(duì)稱軸為直線為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），函數(shù)圖象開口向下函數(shù)圖大致象如圖1所示：當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為7故答案為：7（2），其對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)，且圖象開口向上其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在區(qū)間內(nèi)，如圖2所示當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)y有最小值（3）將二次函數(shù)配方得：y=x24x4=（x2）28其對(duì)稱軸為直線：x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8），圖象開口向上若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間t2，t1左側(cè)，則2t2，即t4當(dāng)x=t2時(shí)，函數(shù)取得最小值：若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間t2，t1上，則t22t1，即3t4當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值：ymin=8若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間t2，t1右側(cè)，則t12，即t3當(dāng)x=t1時(shí)，函數(shù)取得最小值：綜上討論，得【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次函數(shù)的最值，根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)的圖象，然后根據(jù)對(duì)稱軸是否在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵19（10分）（2015長沙校級(jí)自主招生）如圖，P為等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA、PB、PC的長為正整數(shù)，且PA2+PB2=PC2，設(shè)PA=m，n為大于5的實(shí)數(shù)，滿m2n+30m+9n5m2+6mn+45，求ABC的面積【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；因式分解提公因式法；解一元二次方程公式法；特殊角的三角函數(shù)值【專題】計(jì)算題【分析】由已知求出PA、PB、PC的長度，設(shè)PAB=Q，等邊三角形的邊長是a，PAC=60Q，根據(jù)銳角三角函數(shù)（余弦定理）求出cosQ和cos（60Q）的值，即可求出a的長度，過A作ADBC于D，求出AD的長度，根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案【解答】解：m2n+30m+9n5m2+6mn+45，分解因式得：（n5）（m3）20，n為大于5的實(shí)數(shù)，m3=0，即：PA=m=3，PA2+PB2=PC2，PA、PB、PC的長為正整數(shù)，PB=4，PC=5，設(shè)PAB=Q，等邊三角形的邊長是a，則PAC=60Q，由余弦定理得：cosQ=，（1）cos（60Q）=，（2）而cos（60Q）=cos60cosQsin60sinQ，=，（3）將（1）代入（3）得：=，解得：sinQ=，（sinQ）2+（cosQ）2=1，+=1，令a2=t，+=1，解得：t1=25+12，t2=2512，由（1）知a0，cosQ0，即0，a27，t2=25127，不合題意舍去，t=25+12，即a2=2512，過A作ADBC于D，等邊ABC，BD=CD=a，由勾股定理得：AD=，SABC=a=9+答：ABC的面積是9+【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的逆定理，用公式法解一元二次方程，用提取公因式法分解因式，余弦定理等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用余弦定理求等邊三角形的邊長是解此題的關(guān)鍵題型較好但難度較大20已知：如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=2，BC=6，AB=3E為BC邊上一點(diǎn)，以BE為邊作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側(cè)（1）當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F恰好落在對(duì)角線AC上時(shí)，求BE的長；（2）將（1）問中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFC為正方形BEFG，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移設(shè)平移的距離為t，正方形BEFG的邊EF與AC交于點(diǎn)M，連接BD，BM，DM，是否存在這樣的t，使BDM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在（2）問的平移過程中，設(shè)正方形BEFG與ADC重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)；直角梯形【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題【分析】（1）首先設(shè)正方形BEFG的邊長為x，易得AGFABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得BE的長；（2）首先利用MECABC與勾股定理，求得BM，DM與BD的平方，然后分別從若DBM=90，則DM2=BM2+BD2，若DBM=90，則DM2=BM2+BD2，若BDM=90，則BM2=BD2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；（3）分別從當(dāng)0t時(shí)，當(dāng)t2時(shí)，當(dāng)2t時(shí)，當(dāng)t4時(shí)去分析求解即可求得答案【解答】解：（1）如圖，設(shè)正方形BEFG的邊長為x，則BE=FG=BG=x，AB=3，BC=6，AG=ABBG=3x，GFBE，AGFABC，即，解得：x=2，即BE=2；（2）存在滿足條件的t，理由：如圖，過點(diǎn)D作DHBC于H，則BH=AD=2，DH=AB=3，由題意得：BB=HE=t，HB=|t2|，EC=4t，EFAB，MECABC，即，ME=2t，在RtBME中，BM2=ME2+BE2=22+（2t）2=t22t+8，在RtDHB中，BD2=DH2+BH2=32+（t2）2=t24t+13，過點(diǎn)M作MNDH于N，則MN=HE=t，NH=ME=2t，DN=DHNH=3（2t）=t+1，在RtDMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（）若DBM=90，則DM2=BM2+BD2，即t2+t+1=（t22t+8）+（t24t+13），解得：t=，（）若BMD=90，則BD2=BM2+DM2，即t24t+13=（t22t+8）+（t2+t+1），解得：t1=3+，t2=3（舍去），t=3+；（）若BDM=90，則BM2=BD2+DM2，即： t22t+8=（t24t+13）+（t2+t+1），此方程無解，綜上所述，當(dāng)t=或3+時(shí)，BDM是直角三角形；（3）如圖，當(dāng)F在CD上時(shí)，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，CE=，t=BB=BCBEEC=62=，ME=2t，F(xiàn)M=t，當(dāng)0t時(shí)，S=SFMN=tt=t2，如圖，當(dāng)G在AC上時(shí)，t=2，EK=ECtanDCB=EC=（4t）=3t，F(xiàn)K=2EK=t1，NL=AD=，F(xiàn)L=t，當(dāng)t2時(shí)，S=SFMNSFKL=t2（t）（t1）=t2+t；如圖，當(dāng)G在CD上時(shí)，BC：CH=BG：DH，即BC：4=2：3，解得：BC=，EC=4t=BC2=，t=，BN=BC=（6t）=3t，GN=GBBN=t1，當(dāng)2t時(shí)，S=S梯形GNMFSFKL=2（t1+t）（t）（t1）=t2+2t，如圖，當(dāng)t4時(shí)，BL=BC=（6t），EK=EC=（4t），BN=BC=（6t），EM=EC=（4t），S=S梯形MNLK=S梯形BEKLS梯形BEMN=t+綜上所述：當(dāng)0t時(shí)，S=t2，當(dāng)t2時(shí)，S=t2+t；當(dāng)2t時(shí)，S=t2+2t，當(dāng)t4時(shí)，S=t+【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類討論思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法政德才能立得穩(wěn)、立得牢。要深入學(xué)習(xí)貫徹習(xí)近平新時(shí)代中國特色社會(huì)主義思想特別是習(xí)近平總書記關(guān)于“立政德”的重要論述，深刻認(rèn)識(shí)新時(shí)代立政德的重要性和緊迫性。