立體幾何(5)12019·廣東潮州期末如圖，在四棱錐EABCD中，ABCD，ABC90°，CD2AB2CE4，DE2，點F為棱DE的中點(1)證明：AF平面BCE；(2)若BC4，BCE120°，求三棱錐BCEF的體積解析：(1)取CE中點M，連接MF，MB.因為F為DE中點，所以MFCD，且MFCD.因為ABCD，且ABCD，所以ABMF且ABMF，所以四邊形ABMF是平行四邊形，所以AFBM.又BM平面BCE，AF平面BCE，所以AF平面BCE.(2)因為ABCD，ABC90°，所以CDBC.因為CD4，CE2，DE2，所以CD2CE2DE2，所以CDCE.因為BCCEC，BC平面BCE，CE平面BCE，所以CD平面BCE，則易知點F到平面BCE的距離為2.SBCEBC·CEsinBCE×4×2sin 120°2，所以三棱錐BCEF的體積VBCEFVFBCESBCE×2×2×2.22019·清華自招如圖，EA平面ABC，AECD，ABACCD2AE4，BC2，M為BD的中點(1)求證：平面AEM平面BCD；(2)求三棱錐EABM的體積解析：(1)如圖所示，取BC的中點N，連接MN，AN，則MNDCAE，MNCDAE，所以四邊形AEMN為平行四邊形因為EA平面ABC，AN平面ABC，所以EAAN，所以四邊形AEMN是矩形，所以EMMN.由題意可得EDEB2，因為M為BD的中點，所以EMBD.又EMMN，BDMNM，所以EM平面BCD.因為EM平面AEM，所以平面AEM平面BCD.(2)由題可知，V三棱錐EABMV三棱錐MABE，因為MNAE，AE平面ABE，MN平面ABE，所以MN平面ABE，連接NE，則V三棱錐MABEV三棱錐NABEV三棱錐EABN×SABN×AE.易得BN，AN，所以SABN×BN×AN，所以V三棱錐EABM××2.32019·河南洛陽第一次統(tǒng)考如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABCD，PAD是等邊三角形，已知AD2，BD2，AB2CD4.(1)設(shè)M是PC上一點，求證：平面MBD平面PAD.(2)求四棱錐PABCD的體積解析：(1)在ABD中，AD2，BD2，AB4，所以AD2BD2AB2，所以ADBD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BD平面PAD.又BD平面MBD，所以平面MBD平面PAD.(2)如圖所示，設(shè)AD的中點為O，則AO1，連接PO，易知PO是四棱錐PABCD的高，PO.又易得S梯形ABCD3，所以四棱錐PABCD的體積V×3×3.42019·四川雅安中學(xué)10月月考如圖，四棱錐PABCD中，平面PAD底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，ABC45°，ADAP2，ABDP2，E為CD的中點，點F在線段PB上(1)求證：ADPC.(2)當滿足V三棱錐BEFCV四棱錐PABCD時，求的值解析：(1)連接AC.在ABC中，AB2，BC2，ABC45°，由余弦定理可得AC2842×2×2×cos 45°4，所以AC2.易知ACB90°，即BCAC，又ADBC，所以ADAC.在ADP中，ADAP2，DP2，易知PAAD.又APACA，所以AD平面PAC.因為PC平面PAC，所以ADPC.(2)因為E為CD的中點，所以SBECS平行四邊形ABCD，因為平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCDAD，PAAD，所以PA底面ABCD，設(shè)F到底面ABCD的距離為h.因為V三棱錐FBECV三棱錐BEFCV四棱錐PABCD，所以×SBEC×h××S平行四邊形ABCD×PA，所以h，則易得.52019·重慶10月月考如圖1，在等腰梯形ABCD中，M為AB邊的中點，ADBC，ABBCCD1，AD2，現(xiàn)在沿AC將ABC折起使點B落到點P處，得到如圖2的三棱錐PACD.(1)在棱AD上是否存在一點N，使得PD平行于平面MNC？請證明你的結(jié)論；(2)當平面PAC平面ACD時，求點A到平面PCD的距離解析：(1)當N為AD的中點時，滿足題意，證明如下：由M，N分別為AP，AD的中點，可得MN為APD的中位線，所以MNPD，又MN平面MNC，PD平面MNC，所以PD平行于平面MNC.(2)在等腰梯形ABCD中，由ADBC，ABBCCD1，AD2，易得D，AC，ACCD.因為ACCD，平面PAC平面ACD，AC為兩平面交線，CD平面ACD，所以CD平面PAC，又PC平面PAC，所以CDPC，所以SPCD×PC×CD×1×1.方法一取AC的中點H，連接PH.由APPC，可知PHAC.又平面PAC平面ACD，AC為平面PAC與平面ACD的交線，所以PH平面ACD.由CHAC，PCBC1，利用勾股定理求得PH，所以V三棱錐PACDSACD×PH×××1×.設(shè)點A到平面PCD的距離為d，由V三棱錐APCDV三棱錐PACD可知，d.所以點A到平面PCD的距離為.方法二設(shè)點A到平面PCD的距離為d，則由V三棱錐DPACV三棱錐APCD，可得·SPAC·CD·SPCD·d.在等腰三角形PAC中，SPAC·AB·BC·sin，所以d，所以點A到平面PCD的距離為.62019·安徽合肥六中二模九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)專著，它在幾何方面的研究比較深入例如：塹堵是指底面為直角三角形的直三棱柱；陽馬是指底面為矩形，且一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐；鱉臑是指四個面都是直角三角形的三棱錐在如圖所示的塹堵ABCA1B1C1中，ACBC.(1)求證：四棱錐BA1ACC1為陽馬并判斷三棱錐A1CBC1是否為鱉臑，若是，請寫出各個面中的直角(只寫出結(jié)論)(2)若A1AAB2，當陽馬BA1ACC1的體積最大時，求塹堵ABCA1B1C1的體積；求點C到平面A1BC1的距離解析：(1)由塹堵的定義知，A1A底面ABC，所以BCA1A，又BCAC，A1AACA，所以BC平面A1ACC1.由塹堵的定義知，四邊形A1ACC1為矩形綜上，可知四棱錐BA1ACC1為陽馬三棱錐A1CBC1為鱉臑，四個面中的直角分別是A1CB，A1C1C，BCC1，A1C1B.(2)A1AAB2，由(1)易知陽馬BA1ACC1的體積V陽馬BA1ACC1S矩形A1ACC1×BC×A1A×AC×BCAC×BC(AC2BC2)×AB2，當且僅當ACBC時，陽馬BA1ACC1的體積最大，最大值為.塹堵ABCA1B1C1的體積VSABC×AA1×××22.由題意知，V三棱錐CA1BC1V三棱錐BA1C1CV陽馬BA1ACC1.設(shè)點C到平面A1BC1的距離為d，則SA1BC1×d，又A1C1，BC1，所以××××d，解得d.故點C到平面A1BC1的距離為.6