熱點(diǎn)(九)球1(四棱柱外接球體積)已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為()A. B4C2 D.答案：D解析：因?yàn)樵撜睦庵耐饨忧虻陌霃绞撬睦庵w對(duì)角線的一半，所以半徑r1，所以V球×13，故選D.2(三棱柱外接球)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為()A. B2C. D3答案：C解析：如圖，過球心作平面ABC的垂線，則垂足為線段BC的中點(diǎn)M.易知AMBC，OMAA16，所以球O的半徑ROA，故選C.3(球體體積)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，現(xiàn)將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3答案：A解析：設(shè)球半徑為R cm，根據(jù)已知條件知正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4 cm，球心到截面的距離為(R2) cm，所以由42(R2)2R2，得R5，所以球的體積VR3×53 cm3，故選A.4(球與三視圖)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為()A. B4C3 D以上都不對(duì)答案：A解析：由題意可知該幾何體是軸截面為正三角形的圓錐，底面圓的直徑為2，高為，外接球的半徑r，外接球的表面積為4××2，故選A.5(球與圓錐)如圖，網(wǎng)絡(luò)紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A. B.C. D.答案：A解析：該幾何體可以看成是一個(gè)半球上疊加一個(gè)圓錐，然后挖掉一個(gè)相同的圓錐所形成的組合體，所以該幾何體的體積和半球的體積相等由題圖可知，半球的半徑為2，則該幾何體的體積Vr3.故選A.6(三棱錐外接球體積)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2，則此棱錐的體積為()A. B.C. D.答案：A解析：在直角三角形ASC中，AC1，SAC90°，SC2，所以SA，同理SB.過A點(diǎn)作SC的垂線交SC于D點(diǎn)，連接DB，因?yàn)镾ACSBC，所以BDSC，又因?yàn)锽DADD，BD平面ABD，AD平面ABD，所以SC平面ABD，且ABD為等腰三角形，因?yàn)锳SC30°，所以ADSA，則ABD的面積為×1× ，可得三棱錐的體積為××2，故選A.7(三棱柱內(nèi)切球最值)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4 B.C6 D.答案：B解析：由ABBC，AB6，BC8，得AC10.要使球的體積V最大，則需球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，易知×6×8×(6810)·r，所以r2，此時(shí)2r4>3，不合題意因此當(dāng)球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大，由2R3，得R，故球的最大體積VR3，故選B.8(球體表面積)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()A17 B18C20 D28答案：A解析：由題知，該幾何體的直觀圖如圖所示，它是一個(gè)球切掉球(被過球心O且互相垂直的三個(gè)平面)所剩的組合體，其表面積是球面面積的和三個(gè)圓面積之和設(shè)球的半徑為R，則×R3R2.故幾何體的表面積S×4R2R217，故選A.9(三棱錐外接球體積)已知球的直徑SC4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，且AB，ASCBSC30°，則棱錐SABC的體積為()A3 B2C. D1答案：C解析：由題可知線段AB一定在與直徑SC所在直線垂直的小圓面上，作過線段AB的小圓面交直徑SC于點(diǎn)D，設(shè)SDx，則DC4x，此時(shí)所求棱錐即分割成兩個(gè)棱錐SABD和CABD，在SAD和SBD中，由已知條件可得ADBDx，又因?yàn)镾C為直徑，所以SBCSAC90°，所以DCBDCA60°，在BDC中，BD·(4x)，所以x·(4x)x3，所以ADBDAB，即三角形ABD為正三角形，則V×SABD×4，故選C.10(三棱錐外接球表面積)如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，將ABE，ECF，F(xiàn)DA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，若四面體PAEF的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是()A6 B12C18 D9答案：C解析：因?yàn)锳PEEPFAPF90°，所以可將四面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體(PA，PE，PF是從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱)，則四面體和補(bǔ)全的長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)其半徑為R，由題意知2R3，故該球的表面積S4R24218，故選C.11(正方體內(nèi)切球體積)設(shè)球O是正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球，若平面ACD1截球O所得的截面面積為6，則球O的半徑為()A. B3C. D.答案：B解析：如圖，易知直線B1D過球心O，且B1D平面ACD1，不妨設(shè)垂足為點(diǎn)M，正方體棱長(zhǎng)為a，則球半徑R，易知DMDB1，所以O(shè)MDB1a，所以截面圓半徑ra，由截面圓面積Sr26，得ra，即a6，所以球O的半徑R3，故選B.12(三棱錐外接球表面積)已知正三棱錐SABC的頂點(diǎn)均在球O的球面上，過側(cè)棱SA及球心O的平面截三棱錐及球面所得截面如圖所示，若三棱錐的體積為2，則球O的表面積為()A16 B18C24 D32答案：A解析：設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，外接球的半徑為R，因?yàn)檎忮F的底面為正三角形，邊長(zhǎng)為a，所以ADa，則AOADa，所以aR，即aR，又因?yàn)槿忮F的體積為2，所以×a2R××(R)2×R2，解得R2，所以球的表面積S4R216，故選A.13(三棱錐外接球表面積)已知S、A、B、C是球O表面上的點(diǎn)，SA平面ABC，ABBC，SAAB1，BC，則球O的表面積等于_答案：4解析：將三棱錐SABC補(bǔ)成以SA、AB、BC為棱的長(zhǎng)方體，易得其對(duì)角線SC為球O的直徑，即2RSC2R1，所以表面積為4R24.14(圓柱外接球體積)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為_答案：解析：畫出圓柱的軸截面ABCD，如圖，O為球心，則球半徑ROA1，球心到底面圓的距離為OM，所以底面圓半徑r，故圓柱體積V×2×1.152019·武漢市高中畢業(yè)生四月調(diào)研測(cè)試(四面體外接球半徑)在四面體ABCD中，ADDBACCB1，則當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，它的外接球半徑R_.答案：解析：當(dāng)平面ADC與平面BCD垂直時(shí)，四面體ABCD的體積最大，因?yàn)锳DAC1，所以可設(shè)等腰三角形ACD的底邊CD2x，高為h，則x2h21，此時(shí)四面體的體積V××2x×h2x(1x2)，則Vx2，令V0，得x，從而h，則CDAB，故可將四面體ABCD放入長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c的長(zhǎng)方體中，如圖，則解得a2c2，b2，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即四面體ABCD的外接球直徑，(2R)2a2b2c2，R.162019·福州四校高三年級(jí)聯(lián)考(三棱錐外接球體積)已知三棱錐ABCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB為球O的直徑，若該三棱錐的體積為，BC3，BD，CBD90°，則球O的體積為_答案：解析：設(shè)A到平面BCD的距離為h，三棱錐的體積為，BC3，BD，CBD90°，××3××h，h2，球心O到平面BCD的距離為1.設(shè)CD的中點(diǎn)為E，連接OE，則由球的截面性質(zhì)可得OE平面CBD，BCD外接圓的直徑CD2，球O的半徑OD2，球O的體積為.9