第4講 基本不等式基礎(chǔ)題組練1下列不等式一定成立的是()Alg>lg x(x>0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.>1(xR)解析：選C.對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)x>0時(shí)，x2x0，所以lglg x；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)sin x<0時(shí)顯然不成立；對(duì)于選項(xiàng)C，x21|x|212|x|，一定成立；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)閤211，所以0<1.故選C.2(2020·廣西欽州期末)已知a，bR，a2b215ab，則ab的最大值是()A15 B12 C5 D3解析：選C.因?yàn)閍2b215ab2ab，所以3ab15，即ab5，當(dāng)且僅當(dāng)ab±時(shí)等號(hào)成立所以ab的最大值為5.故選C.3已知f(x)，則f(x)在上的最小值為()A. B C1 D0解析：選D.f(x)x2220，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時(shí)取等號(hào)又1，所以f(x)在上的最小值是0.4若實(shí)數(shù)a，b滿足，則ab的最小值為()A. B2 C2 D4解析：選C.因?yàn)?，所以a0，b0，由22，所以ab2(當(dāng)且僅當(dāng)b2a時(shí)取等號(hào))，所以ab的最小值為2.5(2020·湖南衡陽期末)已知P是面積為1的ABC內(nèi)的一點(diǎn)(不含邊界)，若PAB，PAC和PBC的面積分別為x，y，z，則的最小值是()A. BC. D3解析：選D.因?yàn)閤yz1，0<x<1，0<y<1，0<z<1，所以1213，當(dāng)且僅當(dāng)，即x時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3.故選D.6已知a>0，b>0，3ab2ab，則ab的最小值為_解析：由a>0，b>0，3ab2ab，得1，所以ab(ab)22，當(dāng)且僅當(dāng)ba時(shí)等號(hào)成立，則ab的最小值為2.答案：27(2020·江西吉安期末)已知函數(shù)f(x)，則f(x) 的最大值為_解析：設(shè)tsin x2，則t1，3，則sin2x(t2)2，則g(t)t4(1t3)，由“對(duì)勾函數(shù)”的性質(zhì)可得g(t)在1，2)上為減函數(shù)，在(2，3上為增函數(shù)，又g(1)1，g(3)，所以g(t)maxg(1)1.即f(x)的最大值為1.答案：18已知正數(shù)x，y滿足x2(xy)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_解析：依題意得x2x(x2y)2(xy)，即2(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào))，即的最大值為2.又恒成立，因此有2，即的最小值為2.答案：29(1)當(dāng)x<時(shí)，求函數(shù)yx的最大值；(2)設(shè)0<x<2，求函數(shù)y的最大值解：(1)y(2x3).當(dāng)x<時(shí)，有32x>0，所以24，當(dāng)且僅當(dāng)，即x時(shí)取等號(hào)于是y4，故函數(shù)的最大值為.(2)因?yàn)?<x<2，所以2x>0，所以y··，當(dāng)且僅當(dāng)x2x，即x1時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)y的最大值為.10已知x>0，y>0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x>0，y>0，則12 .得xy64，當(dāng)且僅當(dāng)x16，y4時(shí)，等號(hào)成立所以xy的最小值為64.(2)由2x8yxy0，得1，則xy·(xy)10102 18.當(dāng)且僅當(dāng)x12，y6時(shí)等號(hào)成立，所以xy的最小值為18.綜合題組練1已知a0，b0，若不等式恒成立，則m的最大值為()A9 B12 C18 D24解析：選B.由，得m(a3b)6.又62612，當(dāng)且僅當(dāng)，即a3b時(shí)等號(hào)成立，所以m12，所以m的最大值為12.2(2020·湖北恩施2月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知角，的頂點(diǎn)都為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合，且都為第一象限的角，終邊上分別有點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且2，則b的最小值為()A1 B C. D2解析：選C.由已知得，a>0，b>0，tan a，tan ，因?yàn)?，所以tan tan 2，所以a，所以bb2，當(dāng)且僅當(dāng)，即b時(shí)，取等號(hào)故b的最小值為.3(2020·安徽合肥第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))若ab0，則a2b2的最小值為_解析：a2b22，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)，a2b2取得最小值.答案：4當(dāng)xR時(shí)，32x(k1)3x2>0恒成立，則k的取值范圍是_解析：由32x(k1)3x2>0，解得k1<3x.因?yàn)?x2，所以3x的最小值為2.又當(dāng)xR時(shí)，32x(k1)3x2>0恒成立，所以當(dāng)xR時(shí)，k1<，即k1<2，即k<21.答案：(，21)5已知x>0，y>0，且2x5y20.求：(1)ulg xlg y的最大值；(2)的最小值解：(1)因?yàn)閤>0，y>0，所以由基本不等式，得2x5y2.因?yàn)?x5y20，所以220，xy10，當(dāng)且僅當(dāng)2x5y時(shí)，等號(hào)成立因此有解得此時(shí)xy有最大值10.所以u(píng)lg xlg ylg(xy)lg 101.所以當(dāng)x5，y2時(shí)，ulg xlg y有最大值1.(2)因?yàn)閤>0，y>0，所以·.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立由解得所以的最小值為.6某廠家擬定在2020年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m(m0)萬元滿足x3(k為常數(shù))如果不搞促銷活動(dòng)，那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件已知2020年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)(1)將2020年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家利潤最大？解：(1)由題意知，當(dāng)m0時(shí)，x1(萬件)，所以13kk2，所以x3(m0)，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×(元)，所以2020年的利潤y1.5x×816xm29(m0)(2)因?yàn)閙0時(shí)，(m1)28，所以y82921，當(dāng)且僅當(dāng)m1m3(萬元)時(shí)，ymax21(萬元)故該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大為21萬元7