課后限時集訓(三十) (建議用時：60分鐘) A組　基礎達標 一、選擇題 1．(2019·成都模擬)在等比數(shù)列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，則a5＝( ) A．12 B．18 　C．36 　D．24 B　[由題意知，a5＋a7＝72，即6q2＋6q4＝72， 解得q2＝3，所以a5＝a3q2＝6×3＝18，故選B.] 2．已知{an}，{bn}都是等比數(shù)列，那么( ) A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比數(shù)列 B．{an＋bn}一定是等比數(shù)列，但{an·bn}不一定是等比數(shù)列 C．{an＋bn}不一定是等比數(shù)列，但{an·bn}一定是等比數(shù)列 D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比數(shù)列 C　[兩個等比數(shù)列的和不一定是等比數(shù)列，但兩個等比數(shù)列的積一定是等比數(shù)列，故選C.] 3．(2017·全國卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項的和為( ) A．－24 B．－3 C．3 D．8 A　[由已知條件可得a1＝1，d≠0， 由a＝a2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2. 所以S6＝6×1＋＝－24. 故選A.] 4．(2019·洛陽模擬)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，則的值為( ) A．－ B．－ C. D．－或 B　[∵{an}為等比數(shù)列，∴a2·a16＝a3·a15＝a， 由題意得∴a＝2， 由上式可知，a3＜0，a15＜0；則a9＜0， ∴＝a9＝－.] 5．(2017·全國卷Ⅱ)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( ) A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞 B　[設塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2， ∴S7＝＝＝381，解得a1＝3. 故選B.] 二、填空題 6．(2017·北京高考)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則＝________. 1　[設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q， 則由a4＝a1＋3d，得d＝＝＝3， 由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，∴q＝－2. ∴＝＝＝1.] 7．已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝________. 2n－1　[設等比數(shù)列的公比為q， 則有 解得或 又{an}為遞增數(shù)列，所以 所以Sn＝＝2n－1.] 8．(2019·惠州模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S1＋2S2＝3S3，則{an}的公比等于________． －　[由S1＋2S2＝3S3得a1＋2(a1＋a2)＝3(a1＋a2＋a3)， 所以3a3＝－a2，即＝－.] 三、解答題 9．(2016·全國卷Ⅰ)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通項公式； (2)求{bn}的前n項和． [解]　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2. 所以數(shù)列{an)是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，通項公式為an＝3n－1. (2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝， 因此{bn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列． 記{bn}的前n項和為Sn， 則Sn＝＝－. 10．(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通項公式； (2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列． [解]　(1)設{an}的公比為q.由題設可得 解得q＝－2，a1＝－2. 故{an}的通項公式為an＝(－2)n. (2)由(1)可得 Sn＝＝－＋(－1)n. 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n ＝2＝2Sn， 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列． B組　能力提升 1．設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝3，則＝( ) A．2 B. C. D．3 B　[法一：由等比數(shù)列的性質(zhì)及題意，得S3，S6－S3，S9－S6仍成等比數(shù)列，由已知得S6＝3S3，∴＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝. 法二：＝1＋＝1＋q3＝3，所以q3＝2. 則＝＝＝.] 2．在遞增的等比數(shù)列{an}中，已知a1＋an＝34，a3·an－2＝64，且前n項和Sn＝42，則n等于( ) A．3 B．4 C．5 D．6 A　[因為{an}為等比數(shù)列， 所以a3·an－2＝a1·an＝64. 又a1＋an＝34. 所以a1，an是方程x2－34x＋64＝0的兩根， 解得或 又因為{an}是遞增數(shù)列，所以 由Sn＝＝＝42， 解得q＝4. 由an＝a1qn－1＝2×4n－1＝32， 解得n＝3.故選A.] 3．在數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＋an＋1＝(n∈N*)，則a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝________. 　[由an＋an＋1＝得a1＋a2＝，a3＋a4＝，a5＋a6＝，…，a2n－1＋a2n＝，所以a1＋a2＋…＋a2n＝＋＋＋…＋＝＝.] 4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)設cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{bn}的通項公式． [解]　(1)證明：∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1，② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，即2an＋1＝an＋1， ∴2(an＋1－1)＝an－1，即2cn＋1＝cn. 由a1＋S1＝1得a1＝，∴c1＝a1－1＝－， 從而cn≠0，∴＝. ∴數(shù)列{cn}是以－為首項，為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)知cn＝－×＝－， 又cn＝an－1，∴an＝cn＋1＝1－， ∴當n≥2時， bn＝an－an－1＝1－－＝n. 又b1＝a1＝，適合上式，故bn＝. - 6 -