第1講選填題的解法研究一 選擇題、填空題在高考中的地位選擇題、填空題在當(dāng)今數(shù)學(xué)高考(全國卷)中，題目數(shù)量多且占分比例高(選擇12題，填空4題，共16題，共計80分，其中選擇題60分，填空題20分，占全卷總分的53.3%)二 選擇題、填空題難度及排序規(guī)律就一套試卷而言，選擇題110題相對較簡單，考查知識點明顯，學(xué)生比較容易入手，11,12題對思維要求較高，重視對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查，學(xué)生需要綜合運用多種數(shù)學(xué)思想方法才能解決填空題1315題難度比較低，很常規(guī)，主要考查基礎(chǔ)知識，解題思路清晰，16題難度相對較大，同樣重視對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查今年的高考題設(shè)置了組合型選擇題，為實現(xiàn)設(shè)置多選題過渡，填空題出現(xiàn)了一題雙空，難度增加，思維量加大三 選擇題、填空題特點及考查功能從解答形式上看，選擇題、填空題都不要過程，形式靈活，選擇題還有選項可以提供額外的信息；從考查知識點上看，選擇題、填空題都能在較大的知識范圍內(nèi)，實現(xiàn)對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法的考查；從運算因素上看，選擇題、填空題都對運算要求較低，呈現(xiàn)多想少算的特點四 選擇題、填空題解答策略選擇題、填空題的結(jié)構(gòu)特點決定了解答選擇題、填空題的方法，除常規(guī)方法外，還有一些特殊的方法解答選擇題、填空題的基本原則是：“小題不大做”，要充分利用題目中(包括題干和選項)提供的各種信息，排除干擾，利用矛盾，作出正確的判斷 數(shù)學(xué)選擇題的求解，一般有兩種思路：一是從題干出發(fā)考慮，探求結(jié)果；二是從題干和選項聯(lián)合考慮，或從選項出發(fā)探求是否滿足題干條件，由此得到做選擇題的幾種常用方法：直接法、排除法、構(gòu)造法、特例法、代入驗證法、數(shù)形結(jié)合法等填空題雖然沒有選項提供參考，但依然可以根據(jù)其特點，考慮直接法、構(gòu)造法、特例法等五 選擇題、填空題答題禁忌選擇題、填空題答題時，一定要注意認(rèn)真審題，理解清楚題意后再作答選擇題確定選項后，其余選項也應(yīng)該看一看，弄清楚它們錯在哪里不要一味圖快，還是要以保證正確率為主如果某題不太好解答，應(yīng)及時調(diào)整策略，去解答下一題切忌在某一道題上花費過多時間這樣很容易影響答題的心理狀態(tài)，產(chǎn)生緊張、焦慮等負(fù)面情緒另外涂答題卡時，要注意題號排列規(guī)律，不要出現(xiàn)答串行等低級失誤選擇題要修改的話，一定要先把原有選項擦除干凈，再用2B鉛筆涂黑新選項方法匯總選填通用方法一 直接法直接法是指直接從題目條件出發(fā)，利用已知的條件、相關(guān)概念、性質(zhì)、公式、公理、定理、法則等基礎(chǔ)知識，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?、?zhǔn)確的運算、合理的驗證，從而直接得出正確結(jié)論的解題方法解答選擇題、填空題時，此方法一般都會是考生最先考慮的方法，也是解題最常用的方法之一但是此種方法并沒有充分利用選擇題、填空題的題型特點，因此多用于解答一些比較容易的選、填題題型一(2018·全國卷)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為()A. B. C. D.思維啟迪首先利用正方體的棱是3組且每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成的角相等，只需與從同一個頂點出發(fā)的3條棱所成的角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個正六邊形，且邊長是面的對角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果解析根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1與線AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1與正方體的每條棱所在的直線所成的角都是相等的，同理，平面C1BD也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成的角都是相等的，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面AB1D1與C1BD中間的，且過棱的中點的正六邊形，邊長為，所以其面積為S6×××2，故選A.答案A該題考查的是有關(guān)正方體被平面所截得的截面多邊形的面積問題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過六條棱的中點的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果題型二設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_思維啟迪本題以數(shù)列為背景，綜合考查等比數(shù)列的通項公式，冪的運算性質(zhì)，等比數(shù)列求和公式等多個知識點數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一個重要模塊，對數(shù)列的考查，在歷年全國卷中都能見到此類問題，多直接利用題目條件，結(jié)合數(shù)列的相關(guān)公式計算解決本題中首先根據(jù)題目的兩個條件，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，可以列出方程，解出首項及公比，進(jìn)而可以將a1a2an表示為關(guān)于n的函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識求解其最大值解析解法一：由題可得兩式相除，解得q，a18，則ann4，所以a1a2an3×2××n4由于指數(shù)函數(shù)yx單調(diào)遞減，因此當(dāng)最小時，a1a2an最大，即n3或n4時，a1a2an有最大值2664.解法二：同解法一，解得ann4.設(shè)bna1a2an，由得解得3n4.所以當(dāng)n3或4時，bn有最大值b3b464.答案64本題是根據(jù)題目條件，利用數(shù)列的相關(guān)公式，直接解決數(shù)列的最值問題解法一是從數(shù)列是特殊函數(shù)這個角度予以求解的，解法二是利用數(shù)列本身的一些特性予以求解這兩種都是直接解決數(shù)列最值問題的常用方法針對訓(xùn)練1.(2019·河南鄭州一模)張丘建算經(jīng)卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾初日織五尺，今一月織九匹三丈”其意思為今有女子善織布，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個月(按30天計)共織390尺布則該女最后一天織多少尺布？()A.18B20C.21D25答案C解析由題意知該女每天所織布的尺數(shù)可構(gòu)成一個等差數(shù)列an，且a15，S30390，設(shè)該女最后一天織布尺數(shù)為a30，則有390，解得a3021.故選C.2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且ABF2的周長為16，那么C的方程為_答案1解析設(shè)橢圓方程為1，由e知，故.由于ABF2的周長為|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，故a4.b28.橢圓C的方程為1.二 特例法特例法的原理：如果結(jié)論對一般情況成立，那么對特殊情況一定也成立因此解選擇、填空題時，可以考慮對題目條件特殊化，用特殊化后的條件解出問題的答案這種方法主要用來解決選擇和填空題中結(jié)論唯一或其值為“定值”的問題，常常取一個(或一些)特殊數(shù)值(或特殊位置，特殊函數(shù)、特殊點、特殊方程、特殊數(shù)列、特殊圖形等等)來確定其結(jié)果，從而節(jié)省推理、論證、演算的過程，加快解題速度特例法是解決選填題的一種很好用的方法大多數(shù)時候，都能化繁為簡，快速找到問題的答案但是，需要指出的是，特例法本身存在一定風(fēng)險，即如果某題答案不唯一，那么用特例法有可能漏解此時最好多舉幾個特例驗證題型一已知函數(shù)f(x)xxln x，若kZ，且k(x1)<f(x)對任意的x>1恒成立，則k的最大值為()A.2B3 C4D5思維啟迪本題是以函數(shù)和導(dǎo)數(shù)為背景的恒成立問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系等知識點直接做的話，可以轉(zhuǎn)化為y的最小值大于k；或者yf(x)k(x1)的最小值大于0等，步驟繁瑣，運算量較大；使用特例法更快捷，即原式對x>1恒成立，那么對類似x2,3等這些特值也成立，從而可以縮小k的范圍解析解法一：(直接法)設(shè)g(x)xln x2，可得g(x)1>0，故g(x)在(1，)上單調(diào)遞增，而g(3)1ln 3<0，g(4)2ln 4>0，所以g(x)存在唯一一個零點x0(3,4)，且當(dāng)x(1，x0)時，g(x)<g(x0)0；當(dāng)x(x0，)時，g(x)>g(x0)0，由題意得x>1時，>k恒成立，設(shè)h(x)，則h(x).所以h(x)與g(x)同號，即x(1，x0)時，h(x)<0；x(x0，)時，h(x)>0，所以h(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，所以h(x)minh(x0)x0.故k<h(x)minx0，又kZ，則k的最大值為3，故選B.解法二：(特例法)由題意可知，當(dāng)x2時，k(x1)<f(x)恒成立，即k(21)<f(2)，解得k<22ln 2<224，因此k的最大整數(shù)值為3，而當(dāng)k3時，令g(x)f(x)k(x1)xln x2x3，g(x)ln x1，當(dāng)x(1，e)時，g(x)<0；當(dāng)x(e，)時，g(x)>0，所以g(x)在(1，e)上單調(diào)遞減，在(e，)上單調(diào)遞增，所以g(x)ming(e)3e>0，于是g(x)>0恒成立，即k3滿足題意，故選B.答案B解法一是直接法計算量較大，對數(shù)學(xué)能力要求較高；解法二巧妙的利用x2時的特殊情況，成功得到k3.當(dāng)然，從嚴(yán)謹(jǐn)性的角度出發(fā)，還需要檢驗一下k3是否成立就算如此，其計算量、思維量也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于直接法解選擇、填空題，用好特例法往往能起到事半功倍的作用題型二(2019·河北一模)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P為雙曲線右支上一點，M為PF1F2的內(nèi)心，滿足SMPF1SMPF2SMF1F2，若該雙曲線的離心率為3，則_(注：SMPF1，SMPF2，SMF1F2分別為MPF1，MPF2，MF1F2的面積)思維啟迪本題以雙曲線為背景，綜合考查了雙曲線定義，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，三角形面積計算公式等多個知識點，綜合性較強本題涉及雙曲線焦點，一般需要考慮雙曲線定義，由于M是內(nèi)心，因此涉及的三個三角形如果分別以PF1，PF2，F(xiàn)1F2為底，則高相等，離心率提供了雙曲線a，b的關(guān)系綜合利用這些條件，可以完成本題求解另一方面，本題屬于結(jié)論為定值，且題干中未對雙曲線方程及P點位置作過多限制，因此可以考慮特例法，能更高效快捷地解答此題解析解法一：(直接法)設(shè)PF1F2內(nèi)切圓半徑為r，由SMPF1SMPF2SMF1F2得：|PF1|·r|PF2|·r·|F1F2|·r，|PF1|PF2|F1F2|，|PF1|PF2|F1F2|，點P為雙曲線右支上一點，2a·2c，3，.解法二：(特例法)設(shè)雙曲線為x21，則F1(3，0)，F(xiàn)2(3,0)，取P(3,8)，如圖，則此時PF1F2為直角三角形，由勾股定理得|PF1|10；所以SPMF15r，SPMF24r，SMF1F23r，易得.答案解法一是直接法需要用雙曲線定義得到2a2c，對數(shù)學(xué)能力有一定要求；解法二巧妙的利用特殊雙曲線和特殊點，能快捷的得出的值，思維量小于直接法解選擇、填空題，用好特例法常常能化難為易 針對訓(xùn)練1.(2019·長春一模)已知點O為坐標(biāo)原點，點M在雙曲線C：x2y2(為正常數(shù))上，過點M作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為N，則|ON|·|MN|的值為()A. B.C. D無法確定答案B解析因為點M為雙曲線上任一點，所以可取點M為雙曲線的右頂點，由漸近線yx知OMN為等腰直角三角形，此時|OM|，|ON|MN|，所以|ON|·|MN|.2.(2019·佛山調(diào)研)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c2(ab)26，C，則ABC的面積是_答案解析解法一：當(dāng)ABC為等邊三角形時，滿足題設(shè)條件，則c，C且ab.ABC的面積SABCabsinC.解法二：c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcosa2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsinC×6×.三 構(gòu)造法構(gòu)造法是指當(dāng)解決某些數(shù)學(xué)問題使用通常方法按照定向思維難以解決問題時，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)，從新的角度，用新的觀點去觀察、分析、理解對象，牢牢抓住反映問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，運用問題的數(shù)據(jù)、形式、坐標(biāo)等特征，使用題中的已知條件為原材料，運用已知數(shù)學(xué)關(guān)系式和理論為工具，在思維中構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對象，從而，使原問題中隱含的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學(xué)對象中清晰地展現(xiàn)出來，并借助該數(shù)學(xué)對象方便快捷地解決數(shù)學(xué)問題題型一(2019·惠州市高三第一次調(diào)研考試)已知函數(shù)yf(x)對于任意的x滿足f(x)cosxf(x)sinx1ln x(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是()A.f<f B.f>fC.f>f D.f<f思維啟迪本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，以及利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小等知識點難點是f(x)解析式未知，抽象性較強，可以根據(jù)所給條件特點，構(gòu)造函數(shù)，然后利用其單調(diào)性解決問題解析(構(gòu)造法)設(shè)g(x)，則g(x)，因為f(x)cosxf(x)sinx1ln x，所以g(x)，當(dāng)x時，g(x)<0，x時，g(x)>0；所以g(x)在遞減，在遞增因為<<<<，所以<<，即f>f，選B.答案B本題解法即利用積商函數(shù)求導(dǎo)法則以及三角函數(shù)求導(dǎo)的特點構(gòu)造出函數(shù)g(x)，然后利用其單調(diào)性比較大小題型二已知實數(shù)，x，y滿足221，則zxy的最大值是_思維啟迪本題中第一個方程可以聯(lián)想到圓或同角三角函數(shù)等，第二個不等式組可以轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域，而z從形式上看，可以看成直線方程或者向量的數(shù)量積等根據(jù)形式上的特點，可以考慮構(gòu)造直線、向量等解決本題另外，本題也可以直接使用柯西不等式求解解析解法一：(構(gòu)造向量數(shù)量積)設(shè)a(，)，b(x，y)，則za·b|a|b|cos|b|，結(jié)合圖象知，當(dāng)x2，y2時，|b|max2，因此zmax2，此時a，b同向，即.解法二：(柯西不等式)(xy)2(22)(x2y2)x2y2；又因為則結(jié)合圖形知當(dāng)x2，y2時，2，因此所求最大值為2，此時.解法三：(構(gòu)造幾何圖形)zxy可以看作一條直線，原點到此直線的距離d|z|，因此|z|的幾何意義是原點到此直線的距離，所以問題轉(zhuǎn)化為何時原點到直線zxy的距離最大，結(jié)合圖形知，當(dāng)直線過(2,2)點，且斜率為1時，|z|最大，此時z|z|2.答案2解法一根據(jù)題目所求式子的形式，構(gòu)造向量的數(shù)量積，成功將問題簡化為兩個向量何時數(shù)量積最大，結(jié)合圖形，一目了然；如果學(xué)習(xí)過柯西不等式，那么解法二直接利用柯西不等式求解，也比較簡潔解法三考慮到z的幾何意義，構(gòu)造幾何圖形解決問題恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造，可以使原問題中隱含的關(guān)系、性質(zhì)等，清晰的展現(xiàn)出來，從而幫助我們簡潔的處理原問題針對訓(xùn)練 1.(2019·河北石家莊高三一模)已知函數(shù)f(x)axeln x與g(x)的圖象有三個不同的公共點，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為()A.a<e Ba>1C.a<3或a>1Da>e答案B解析(構(gòu)造方程)由f(x)g(x)得e22e(a1)1a0，令h(x)t(x>0且xe)，則h(x)，令h(x)0，得xe，h(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減，又當(dāng)x時，h(x)0，作出函數(shù)h(x)的大致圖象，如圖所示e2t2e(a1)t1a0，因為原方程有三個解，故此方程兩根滿足0<t1<，t2<0，令F(t)e2t2e(a1)t1a，a>1.故選B.2.f(x)為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)>f(x)，對任意正實數(shù)a，則下列式子成立的是()A.f(a)<eaf(0)Bf(a)>eaf(0)C.f(a)<Df(a)>答案B解析令g(x)，則g(x)>0.所以g(x)在R上為增函數(shù)又a>0，故g(a)>g(0)，即>，即f(a)>eaf(0)故選B.四 數(shù)形結(jié)合法中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”就是有些問題直接從“形”上解決起來比較困難，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等，借助代數(shù)方法研究并解決問題“以形助數(shù)”就是有些“數(shù)”的問題直接解決比較困難，這時就需要結(jié)合代數(shù)式所表達(dá)的幾何意義，從“形”上予以解決數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的題型一已知a>1，如果方程axlogbx，bxlogax，bxlogbx的根分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系為()A.x3<x1<x2Bx3<x2<x1C.x1<x3<x2Dx1<x2<x3思維啟迪本題考查指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)題目所給的三個方程都是超越方程，直接從代數(shù)上解出x1，x2，x3是難以實現(xiàn)的因此可以考慮“以形助數(shù)”，繪制出涉及函數(shù)的圖象，借助圖象解決問題解析解法一：(數(shù)形結(jié)合)由a>1，可知0<b<1，因此函數(shù)yax，ybx，ylogbx，ylogax圖象如圖所示，由圖可以看出點A，B，C對應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為x1，x3，x2，故x1<x3<x2.故選C.解法二：(直接法)不妨設(shè)ae，b，答案C本題無論哪種方法，都必須繞開解方程數(shù)形結(jié)合法巧妙的借助了指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，簡潔明了的比較出了三個數(shù)的大小第二種方法，直接從“數(shù)”的角度比較三者大小，綜合利用了指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，反證法等多種知識、方法難度較大，而且沒有第一種方法直觀題型二(2018·北京高考)在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點P(cos，sin)到直線xmy20的距離，當(dāng)，m變化時，d的最大值為_思維啟迪本題考查點到直線的距離的最值問題，由于題目涉及兩個變量和m，因此難度較大可以從代數(shù)角度，直接利用點到直線距離公式計算d，然后利用不等式放縮等代數(shù)技巧求解d的最大值也可以數(shù)形結(jié)合地分析問題，將問題轉(zhuǎn)化為圓上動點到某直線的距離的最值問題解析解法一：(直接法)d 13，當(dāng)sin()1且m0時，取等號解法二：(數(shù)形結(jié)合)如圖，dPMOPONOPOA3，當(dāng)A，N重合，且O，P，N共線時取等號答案3本題解法二，利用點到直線之間垂線段最短，及直角三角形中斜邊大于直角邊等簡單的幾何定理，很快的求出了d的最大值，運算量非常小在解決類似問題的過程中，應(yīng)該數(shù)形結(jié)合地分析問題針對訓(xùn)練1.設(shè)函數(shù)f(x)其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如1.12，3等若方程f(x)k(x1)(k>0)恰有三個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.答案B解析直線ykxk(k>0)恒過定點(1,0)，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)yf(x)的圖象和直線ykxk(k>0)的圖象，如圖所示，因為兩個函數(shù)圖象恰好有三個不同的交點，所以k<.2.(2019·湖北八校高三聯(lián)考)若函數(shù)yf(x)圖象上不同兩點M，N關(guān)于原點對稱，則稱點對M，N是函數(shù)yf(x)的一對“和諧點對”(點對M，N與N，M看作同一對“和諧點對”)已知函數(shù)f(x)則此函數(shù)的“和諧點對”有_對答案2解析作出f(x)的圖象，f(x)的“和諧點對”數(shù)可轉(zhuǎn)化為yex(x<0)與yx24x(x<0)的圖象的交點個數(shù)(如圖)由圖象知，函數(shù)f(x)有兩對“和諧點對”.五 極限法極限法是解選擇題、填空題的一種有效方法，它根據(jù)題干及選項的特征，考慮極端情形，有助于縮小選擇面，迅速找到答案極限法是一種基本而重要的數(shù)學(xué)方法，通過考察問題的極端狀態(tài)，靈活地借助極限思想解題，往往可以避開抽象復(fù)雜運算，探索解題思路，優(yōu)化解題過程，降低解題難度題型一(2019·鄭州一模)函數(shù)f(x)·cosx的圖象大致為()思維啟迪本題考查根據(jù)解析式尋找函數(shù)的圖象，所給函數(shù)學(xué)生較陌生，不好直接得出其圖象本題用直接法不好解答，可以考慮利用f(x)的性質(zhì)，或者特殊點的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值等，排除干擾項，從而選出正確答案觀察A，B，C，D四個選項，發(fā)現(xiàn)在原點附近的函數(shù)值，四個選項都不同，因此可以利用極限思想，估算x在原點左側(cè)，并且無限接近原點時的函數(shù)值和x在原點右側(cè)，并且無限接近原點時的函數(shù)值，利用這兩個極限值，便能一次性排除干擾項解析解法一：(極限法)當(dāng)x0時，2x>1，所以<0，又cosx>0，所以f(x)<0，排除A，D.當(dāng)x0時，2x<1，所以>0，又cosx>0，所以f(x)>0，排除B，所以選C.解法二：(排除法)觀察發(fā)現(xiàn)A，B為偶函數(shù)，C，D為奇函數(shù)，因此可以考慮利用奇偶性排除干擾項計算f(x)cos(x)cosxf(x)，因此f(x)為奇函數(shù)，排除A，B.觀察C，D發(fā)現(xiàn)二者在原點處導(dǎo)數(shù)符號不同，因此計算f(0)的值來排除干擾項，但是直接求f(x)計算過于繁瑣，設(shè)h(x)1，顯然h(x)單調(diào)遞減；設(shè)g(x)cosx，則f(x)h(x)g(x)，所以f(0)h(0)g(0)g(0)h(0)h(0)<0，排除D，故選C.答案C兩種解法都是排除法，但是第一種解法是利用極限思想，計算f(x)在原點左、右兩側(cè)的函數(shù)值，通過其符號排除干擾項；第二種解法比較常規(guī)，利用奇偶性排除兩個選項，再利用特殊點導(dǎo)數(shù)值排除一個選項兩種方法比較，明顯第一種解法更快捷題型二雙曲線x2y21的左焦點為F，點P為左支下半支上任意一點(異于頂點)，則直線PF的斜率的變化范圍是()A.(，0)B(1，)C.(，0)(1，)D(，1)(1，)思維啟迪本題以雙曲線為背景，考查雙曲線的漸近線，直線的傾斜角、斜率等知識要素，以點P在雙曲線的左支下半支上運動來解決本題解析由題意條件知雙曲線的其中一條漸近線yx的傾斜角為45°，當(dāng)點P向雙曲線左下方無限移動時，直線PF逐漸與漸近線平行，但是永不平行，所以傾斜角大于45°；當(dāng)點P逐漸靠近頂點時，傾斜角逐漸增大，但是小于180°.所以直線PF的傾斜角的范圍是(45°，180°)由此可知直線PF的斜率的變化范圍是(，0)(1，)答案C本題運用運動變化的觀點，靈活的用極限思想來思考，避免了復(fù)雜的運算，簡化了解題過程，節(jié)省了解題時間針對訓(xùn)練1.(2018·北京高考)若ABC的面積為(a2c2b2)，且C為鈍角，則B_；的取值范圍是_答案(2，)解析解法一：(直接法)由余弦定理知a2c2b22accosB，又SABCacsinB，所以acsinB×2accosB，化簡得tanB，因為0<B<，所以B，又，又因為C為鈍角，所以A，所以tanA，所以(2，)解法二：(極限法)同解法一得B.當(dāng)C時，2，固定a不變，當(dāng)C 時，所以(2，).2.設(shè)，且tan，則2的值是_答案解析解法一：(極限法)令 0，則tan1，所以，所以2 ，故2的值是.解法二：(直接法)tan，所以tantan，因為，所以，所以2.方法匯總選擇獨用方法一 排除法排除法是指通過快捷有效的手段將與題干相矛盾的干擾項逐一排除，從而獲得正確的結(jié)論的解答選擇題的方法適用于定性型或不易直接求解的選擇題當(dāng)題目中的條件多于一個時，先根據(jù)某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小的選項的范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步排除，直到得出正確的選項它與特例法結(jié)合使用是解答選擇題的常用方法題型一過拋物線y24x的焦點作直線與拋物線交于兩點P和Q，則PQ中點軌跡方程是()A.y22x1By22x2 Cy22x1Dy22x2思維啟迪本題是考查拋物線過焦點的弦的中點的軌跡方程，可以設(shè)出直線方程，用參數(shù)法求解，也可以考慮點差法當(dāng)然，最快捷的應(yīng)該是使用排除法解析解法一：(排除法)當(dāng)弦PQ垂直于x軸時，易知此時PQ中點為(1,0)，而選項A，C所給曲線均不過(1,0)，所以排除A，C；又考慮極限位置，當(dāng)xP0時，顯然xQ，因此線段PQ中點橫坐標(biāo)趨于無窮大，即拋物線開口必須向右，排除D，綜上選B.解法二：(直接法一)設(shè)PQ的中點M(x，y)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x，y，又y4x1，y4x2，兩式相減，得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)當(dāng)x1x2時，有y2，所以·y2，化簡得y22(x1)，x1，當(dāng)x1x2時，有y0，此時x1，綜上y22x2，故選B.解法三：(直接法二)設(shè)PQ的中點M(x，y)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的方程為xty1，與拋物線聯(lián)立得化簡得y24ty40，所以y1y24t，即y2t，所以消參得y22x2，故選B.答案B三種解法里，解法一根據(jù)題目特點，利用特殊位置排除掉干擾項，選出了正確答案由于本題涉及弦中點問題，因此如解法二那樣采用點差法也可以很好的解決問題；解法三利用參數(shù)t，先解出軌跡的參數(shù)方程，進(jìn)一步得到普通方程三者比較，就本題而言排除法更快捷題型二定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)記為f(x)，滿足f(x)f(2x)(x1)2，且當(dāng)x1時，恒有f(x)2<x.若f(m)f(1m)3m，則實數(shù)m的取值范圍是()A.(，1 B. C1，) D.思維啟迪本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識由于不知道函數(shù)f(x)的解析式，導(dǎo)致此題有一定的困難但是根據(jù)本題特點，通過m取一些特殊的值進(jìn)行排除，能回避此題難點，快速得到答案解析解法一：(直接法)f(x)2<x，即f(x)x2<0，可構(gòu)造函數(shù)g(x)f(x)2x.g(x)g(2x)f(x)f(2x)2x2(2x)3，g(x)關(guān)于中心對稱又x1時，g(x)f(x)x2<0，g(x)在R上單調(diào)遞減f(x)g(x)2x，f(m)g(m)2m.f(1m)g(1m)2(1m)，f(m)f(1m)3m等價于g(m)g(1m)0.g(m)g(1m)即m1m，m.故選D.解法二：(排除法)因為f(x)f(2x)(x1)2，所以取x1，易知f(1)0.設(shè)g(x)f(x)x22x，由題意可知當(dāng)x1時，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(1)<g(0)，即f(0)>，所以f(1)f(0)<，即m1，排除A，B，C.故選D.答案D本題的難點在于，分析出函數(shù)g(x)的中心對稱性，而排除法成功的回避了這個難點，極大的節(jié)省了解題時間在解選擇題時，用好排除法往往能取得很好的效果針對訓(xùn)練1.某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表，那么各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)yx(x表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()A.yByC.yDy答案B解析解法一：(排除法)若x56，y5，排除C，D；若x57，y6，排除A，故選B.解法二：(直接法)設(shè)x10ma(0a9)，當(dāng)0a6時，m；當(dāng)6<a9時，m11，故選B.2.(2019·全國卷)函數(shù)f(x)在，的圖象大致為()答案D解析f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)，排除A.又f>1，f()>0，排除B，C.故選D.二 估算法由于選擇題提供了唯一正確的選項，解答又不需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程，因此一些計算類的題目并不需要精確的計算，只需對其數(shù)值特點和取值界限作適當(dāng)?shù)墓烙?，便能作出正確的選擇，這就是估算法估算法往往可以減少運算量，但是思維量相應(yīng)的增加了題型一(2019·石家莊新高三摸底考試)實數(shù)a0.33，blog30.3，c30.3的大小關(guān)系是()A.a<b<cBa<c<b Cb<a<cDb<c<a思維啟迪這是幾個實數(shù)比較大小的問題，可以借助指對函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合圖象進(jìn)行比較，也可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)墓浪愕贸龃鸢附馕鼋夥ㄒ唬涸谕蛔鴺?biāo)系中作出y0.3x，ylog3x，y3x的圖象，如圖，結(jié)合圖象可知c>a>b，故選C.解法二：(估算法)a0.33(0,1)，blog30.3<0，c30.3>1，所以c>a>b，故選C.答案C解法一利用指對函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象直觀的得出了a，b，c的大小關(guān)系；解法二僅僅對a，b，c的值作了一個大概的估計兩種方法都比較快捷的解決了本題題型二如圖，多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EFAB，EF，EF與面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為()A.4.5B5C.6D7.5思維啟迪本題中多面體的體積不易求得，可先求出四棱錐EABCD的體積，利用多面體ABCDEF的體積大于四棱錐EABCD的體積可得出正確選項解析解法一：(估算法)顯然VEABCD×2×96，所以多面體的體積必大于6，故選D.解法二：(直接法)如圖，作面EMN面ABCD，作面FGH面ABCD，則原多面體的體積被分割為四棱錐VEAMND，三棱柱VEMNFHG，四棱錐VFHBCG，所以原多面體的體積V×2××3×2×7.5.故選D.答案D解法一通過估算，避免了對多面體ABCDEF體積的運算，解題更為快捷針對訓(xùn)練1.(2019·山東濟(jì)南部分學(xué)校聯(lián)考)設(shè)a2，blog35，clog45，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a<b<cBa<c<b Cb<c<aDc<b<a答案B解析因為a2<1，blog35>clog45>1，所以a<c<b，故選B.2.已知過球面上A，B，C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且ABBCCA2，則球面的面積是()A. B. C4 D.答案D解析球的半徑R不小于ABC的外接圓的半徑r，又ABC是邊長為2的等邊三角形，r×2×，故S球4R24r2>5，故選D.3.(2019·全國卷)古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，著名的“斷臂維納斯”便是如此此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是()A.165 cmB175 cm C185 cmD190 cm答案B解析設(shè)某人身高為m cm，脖子下端至肚臍的長度為n cm，則由腿長為105 cm，可得>0.618，解得m>169.890.由頭頂至脖子下端的長度為26 cm，可得>0.618，解得n<42.071.由已知可得0.618，解得m<178.218.綜上，此人身高m滿足169.890<m<178.218，所以其身高可能為175 cm.故選B.- 23 -