函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(12)12019·遼寧沈陽(yáng)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)已知函數(shù)f(x)(x1)2mln x，mR.(1)當(dāng)m2時(shí)，求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,0)處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2，求的取值范圍解析：(1)當(dāng)m2時(shí)，f(x)(x1)22ln x，f(x)2(x1)，所以f(1)2，即切線斜率為2，又切點(diǎn)為(1,0)，所以切線方程為2xy20.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2(x1).因?yàn)閤1，x2為函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以x1，x2是方程2x22xm0的兩個(gè)不等實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)系知x1x21，x1x2，(*)又x1<x2，所以易知0<x1<<x2<1，將(*)式代入得1x22x2ln x2.令g(t)1t2tln t，t，則g(t)2ln t1，令g(t)0，解得t.當(dāng)t時(shí)，g(t)<0，g(t)在上單調(diào)遞減；當(dāng)t時(shí)，g(t)>0，g(t)在上單調(diào)遞增所以g(t)ming11，g(t)<max，gln 2<0g(1)，即的取值范圍是.22019·陜西省高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)已知aR，函數(shù)f(x)x2aln x.(1)討論函數(shù)f(x)的極值；(2)當(dāng)a>0時(shí)，方程f(x)ax存在唯一的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的值解析：(1)函數(shù)f(x)x2aln x的定義域?yàn)?0，)，且f(x)2x.當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，f(x)無(wú)極值；當(dāng)a>0時(shí)，若x，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；若x，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)有極小值fln，無(wú)極大值綜上，當(dāng)a0時(shí)，f(x)無(wú)極值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)有極小值ln，無(wú)極大值(2)令h(x)f(x)axx2aln xax，則h(x)2xa.因?yàn)閍>0，x>0，令h(x)0，得x0，所以h(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，所以h(x)的極小值h(x0)0，即xaln x0ax00，且2xax0a0，聯(lián)立可得2ln x0x010.令m(x)2ln xx1，得m(x)1>0，故m(x)在(0，)上單調(diào)遞增又m(1)0，所以x01，即1，解得a1.32019·東北三省四市一模已知aR，函數(shù)f(x)aln x，x(0,6)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若x2是f(x)的極值點(diǎn)，且曲線yf(x)在兩點(diǎn)P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)(x1<x2)處的切線互相平行，這兩條切線在y軸上的截距分別為b1，b2，求b1b2的取值范圍解析：(1)f(x)，x(0,6)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)<0在x(0,6)上恒成立，f(x)在(0,6)上單調(diào)遞減，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)a>0，且6，即0<a時(shí)，f(x)<0在x(0,6)上恒成立，f(x)在(0,6)上單調(diào)遞減，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)a>0，且<6，即a>時(shí)，在x上，f(x)<0，在x上，f(x)>0，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增綜上，當(dāng)a時(shí)，f(x)在(0,6)上單調(diào)遞減，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)a>時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)x2是f(x)的極值點(diǎn)，由(1)可知2，a1.則曲線yf(x)在P(x1，f(x1)處的切線方程為y(xx1)，在Q(x2，f(x2)處的切線方程為y(xx2)，這兩條切線互相平行，.，又0<x1<x2<6，<<，<<，x1(3,4)令x0，則b1ln x11，同理，b2ln x21.b1b24ln x1ln x24lnln令t，則g(t)4ln tln g(t)8<0，g(t)在區(qū)間t上遞減，得g<g(t)<g，即ln 2<g(t)<0.故b1b2的取值范圍是.42019·湖北黃石一中第二次模擬已知函數(shù)f(x)x3x2，g(x)xln x5.(1)討論g(x)的單調(diào)性；(2)若m，n，f(m)g(n)20恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析：(1)g(x)ln x1(x>0)，令F(x)g(x)，則F(x)(x>0)當(dāng)a0時(shí)，F(xiàn)(x)>0，所以g(x)單調(diào)遞增當(dāng)a>0時(shí)，g(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減；在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增(2)由題意得x時(shí)，g(x)minf(x)2max恒成立因?yàn)閒(x)23x22xx(3x2)，所以當(dāng)x時(shí)，函數(shù)yf(x)2單調(diào)遞減；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)yf(x)2單調(diào)遞增又f2<f(2)26，所以當(dāng)x，f(x)2max6.所以x時(shí)，g(x)minf(x)2max恒成立，可轉(zhuǎn)化為x時(shí)，g(x)xln x56恒成立，即ax2ln xx恒成立設(shè)h(x)x2ln xx，則h(x)2xln xx1.設(shè)(x)h(x)2xln xx1，當(dāng)x時(shí)，(x)2ln x3>0，可知h(x)在上單調(diào)遞增，又h(1)0.所以當(dāng)x時(shí)，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x1,2時(shí)，h(x)>0，h(x)單調(diào)遞增所以h(x)minh(1)1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，152019·河南洛陽(yáng)市高三統(tǒng)一考試已知函數(shù)f(x)ln xx22kx(kR)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2，證明：f(x2)<.解析：(1)f(x)ln xx22kx，x(0，)，所以f(x)x2k，當(dāng)k0時(shí)，f(x)>0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)k>0時(shí)，令t(x)x22kx1，當(dāng)4k240，即0<k1時(shí)，t(x)0恒成立，即f(x)0恒成立，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，當(dāng)4k24>0，即k>1時(shí)，x22kx10，則t(x)的兩根為k±，所以當(dāng)x(0，k)時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x(k，k)時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x(k，)時(shí)，f(x)>0，故當(dāng)k(，1時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)k(1，)時(shí)，f(x)在(0，k)和(k，)上單調(diào)遞增，在(k，k)上單調(diào)遞減(2)證明：f(x)ln xx22kx(x>0)，f(x)x2k，由(1)知當(dāng)k1時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)無(wú)極值，當(dāng)k>1時(shí)，f(x)x2k，由f(x)0，得x22kx10，4(k21)>0，設(shè)x22kx10的兩根為x1，x2，則x1x22k，x1·x21，其中0<x1k<1<x2k，f(x)在(0，x1)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減，在(x2，)上單調(diào)遞增從而f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2，f(x2)ln x2x2kx2ln x2x(x1x2)x2ln x2xx2ln x2x1，令g(x)ln xx21(x>1)，則g(x)x<0，所以g(x)在(1，)上單調(diào)遞減，且g(1)，且f(x2)<.62019·重慶銅梁一中月考已知aR，函數(shù)f(x)ln(x1)x2ax2.(1)若函數(shù)f(x)在1，)上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)令a1，bR，已知函數(shù)g(x)b2bxx2，若對(duì)任意x1(1，)，總存在x21，)，使得f(x1)g(x2)成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍解析：(1)因?yàn)閒(x)ln(x1)x2ax2，x(1，)，所以f(x)2xa.要使f(x)在1，)上為減函數(shù)，則需f(x)0在1，)上恒成立，即a2x在1，)上恒成立易知2x在1，)上為增函數(shù)，所以2x在1，)上的最小值為，所以a.即a的取值范圍為.(2)因?yàn)閍1，所以f(x)ln(x1)x2x2，x(1，)f(x)2x1，當(dāng)1<x<0時(shí)，f(x)>0，f(x)在(1,0)上單調(diào)遞增，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，所以f(x)的最大值為f(0)2，所以f(x)的值域?yàn)?，2若對(duì)任意x1(1，)，總存在x21，)，使得f(x1)g(x2)成立，則函數(shù)f(x)在(1，)上的值域是g(x)在1，)上的值域的子集g(x)x22bxb(xb)2bb2，當(dāng)b1時(shí)，g(x)的最大值為g(1)1b，所以g(x)在1，)上的值域?yàn)?，1b由1b2得b3；當(dāng)b>1時(shí)，g(x)的最大值為g(b)bb2，所以g(x)在1，)上的值域?yàn)?，bb2由bb22得b1或b2(舍去)綜上所述，b的取值范圍是(，31，)7