課下層級(jí)訓(xùn)練(八)函數(shù)的奇偶性與周期性A級(jí)基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練1(2019·山東濰坊月考)下列函數(shù)中，即是單調(diào)函數(shù)又是奇函數(shù)的是()Aysin xBy2|x|C Dyx3【答案】D由題意可知，A中，函數(shù)ysin x不是單調(diào)函數(shù)，所以不符合題意；B中，函數(shù)y2|x|是偶函數(shù)，所以不符合題意；C中，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，所以不符合題意；D中，函數(shù)yx3為定義域上的單調(diào)增函數(shù)，且為奇函數(shù)，符合題意2(2019·山東濰坊模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)f(x)3xm(m為常數(shù))，則f(log35)的值為()A4 B4C6 D6【答案】B當(dāng)x0時(shí)f(x)3xm(m為常數(shù))，則f(0)30m0，則m1.f(x)3x1.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(log35)f(log35)(3log351)4.3(2019·遼寧撫順模擬)已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，當(dāng)x(0，2)時(shí)，f(x)2x2，則f(7)()A2 B2C98 D98【答案】B因?yàn)閒(x4)f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期T4，又f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(7)f(1)f(1)2.4(2019·甘肅天水月考)已知f(x)，則下列正確的是()A奇函數(shù)，在R上為增函數(shù)B偶函數(shù)，在R上為增函數(shù)C奇函數(shù)，在R上為減函數(shù)D偶函數(shù)，在R上為減函數(shù)【答案】A定義域?yàn)镽，f(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)，ex是R上的增函數(shù)，ex也是R上的增函數(shù)，是R上的增函數(shù)，5定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對(duì)任意x1，x20，)(x1x2)，有<0，則()Af(3)<f(2)<f(1) Bf(1)<f(2)<f(3)Cf(2)<f(1)<f(3) Df(3)<f(1)<f(2)【答案】A由題意知f(x)為偶函數(shù)，所以f(2)f(2)，又x0，)時(shí)，f(x)為減函數(shù)，且3>2>1，f(3)<f(2)<f(1)，即f(3)<f(2)<f(1)6已知函數(shù)f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，則f(a)()A3 B0C1 D2【答案】B設(shè)F(x)f(x)1x3sin x，顯然F(x)為奇函數(shù)，又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，從而f(a)0.7(2019·貴州適應(yīng)性考試)已知f(x)是奇函數(shù)，g(x). 若g(2)3，則g(2)_.【答案】1由題意可得g(2)3，則f(2)1，又f(x)是奇函數(shù)，則f(2)1，所以g(2)1.8設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下條件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；當(dāng)0x<1時(shí)，f(x)2x1，則ff(1)ff(2)f_.【答案】1依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2，則f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f(1)0.ff(1)ff(2)ff0ff(0)ffff(0)fff(0)212011.9已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】解(1)設(shè)x<0，則x>0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，于是x<0時(shí)，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)知所以1<a3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，310設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的周期函數(shù)，最小正周期為2，且f(1x)f(1x)，當(dāng)1x0時(shí)，f(x)x.(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間1，2上的表達(dá)式【答案】解(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)又f(x2)f(x)，f(x)f(x)又f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)是偶函數(shù)(2)當(dāng)x0，1時(shí)，x1，0，則f(x)f(x)x；從而當(dāng)1x2時(shí)，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)B級(jí)能力提升訓(xùn)練11(2019·河北邢臺(tái)月考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x1)f(x)，若f(x)在1，0上單調(diào)遞減，則f(x)在1，3上是()A增函數(shù) B減函數(shù)C先增后減的函數(shù) D先減后增的函數(shù)【答案】D根據(jù)題意， f(x1)f(x)，f(x2)f(x1) f(x)，函數(shù)的周期是2；又f(x)在定義域R上是偶函數(shù)，在1，0上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在0，1上是增函數(shù)，函數(shù)f(x)在1，2上是減函數(shù)，在2，3上是增函數(shù)，f(x)在1，3上是先減后增的函數(shù)12(2019·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞減，且f(x2)的圖象關(guān)于x2對(duì)稱，若f(2)1，則滿足f(x2) 1的x取值范圍是()A2，2 B(，22，)C(，04，) D0，4【答案】D因?yàn)閥f(x2)的圖象向左平移2個(gè)單位可得到y(tǒng)f(x)的圖象，所以由f(x2)的圖象關(guān)于x2對(duì)稱可知yf(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，所以(，0上為增函數(shù)，且f(2)f(2)1，所以f(x2) 1只需2x22，解得0x4.13(2019·山東泰安階段檢測(cè))偶函數(shù)f(x)在0，)單調(diào)遞減，f(1)0，不等式f(x)0的解集為_.【答案】(1，1)f(x)在0，)上單調(diào)遞減，且f(1)0，則可知x0，1)時(shí)f(x)0.由偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可知x(1，0時(shí)f(x)0.綜上可得x(1，1)14(2019·山東淄博月考)已知f(x)是定義域(1，1)的奇函數(shù)，而且f(x)是減函數(shù)，如果f(m2)f(2m3)0，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.【答案】f(x)是定義域(1，1)的奇函數(shù)，1x1，f(x)f(x)f(x)是減函數(shù)，f(m2)f(2m3)0可轉(zhuǎn)化為f(m2)f(2m3)，f(m2)f(2m3)，1m.15設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有ff成立(1)證明yf(x)是周期函數(shù)，并指出其周期；(2)若f(1)2，求f(2)f(3)的值；(3)若g(x)x2ax3，且y|f(x)|·g(x)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值【答案】(1)證明由ff，且f(x)f(x)，知f(3x)fff(x)f(x)，所以yf(x)是周期函數(shù)，且T3是其一個(gè)周期(2)解因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)0，且f(1)f(1)2，又T3是yf(x)的一個(gè)周期，所以f(2)f(3)f(1)f(0)202.(3)解因?yàn)閥|f(x)|·g(x)是偶函數(shù)，且|f(x)|f(x)|f(x)|，所以|f(x)|為偶函數(shù)故g(x)x2ax3為偶函數(shù)，即g(x)g(x)恒成立，于是(x)2a(x)3x2ax3恒成立于是2ax0恒成立，所以a0.5