第六章 第41煉 指對數(shù)比較大小 不等式 第41煉 指對數(shù)比較大小 在填空選擇題中我們會遇到一類比較大小的問題，通常是三個指數(shù)和對數(shù)混在一起，進(jìn)行排序。這類問題如果兩兩進(jìn)行比較，則花費的時間較多，所以本講介紹處理此類問題的方法與技巧 一、一些技巧和方法 1、如何快速判斷對數(shù)的符號？八字真言“同區(qū)間正，異區(qū)間負(fù)”，容我慢慢道來： 判斷對數(shù)的符號，關(guān)鍵看底數(shù)和真數(shù)，區(qū)間分為和 （1）如果底數(shù)和真數(shù)均在中，或者均在中，那么對數(shù)的值為正數(shù) （2）如果底數(shù)和真數(shù)一個在中，一個在中，那么對數(shù)的值為負(fù)數(shù) 例如：等 2、要善于利用指對數(shù)圖像觀察指對數(shù)與特殊常數(shù)（如0,1）的大小關(guān)系，一作圖，自明了 3、比較大小的兩個理念： （1）求同存異：如果兩個指數(shù)（或?qū)?shù)）的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出指數(shù)（或?qū)?shù)）的關(guān)系，所以要熟練運用公式，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況 例如：，比較時可進(jìn)行轉(zhuǎn)化，盡管底數(shù)難以轉(zhuǎn)化為同底，但指數(shù)可以變?yōu)橄嗤? ，從而只需比較底數(shù)的大小即可 （2）利用特殊值作“中間量”：在指對數(shù)中通常可優(yōu)先選擇“0,1”對所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較，有時可以簡化比較的步驟（在兵法上可稱為“分割包圍，各個擊破”，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計，例如，可知，進(jìn)而可估計是一個1點幾的數(shù)，從而便于比較 4、常用的指對數(shù)變換公式： （1） （2） （3） （4）換底公式： 進(jìn)而有兩個推論： （令） 二、典型例題： 例1：設(shè)，則的大小關(guān)系是______________ 思路：可先進(jìn)行分堆，可判斷出，從而肯定最大，只需比較即可，觀察到有相同的結(jié)構(gòu)：真數(shù)均帶有根號，抓住這個特點，利用對數(shù)公式進(jìn)行變換：，從而可比較出，所以 答案： 例2：設(shè)，則的大小關(guān)系是___________ 思路：觀察發(fā)現(xiàn)均在內(nèi)，的真數(shù)相同，進(jìn)而可通過比較底數(shù)得到大小關(guān)系：，在比較和的大小，由于是指數(shù)，很難直接與對數(shù)找到聯(lián)系，考慮估計值得大?。海煽紤]以為中間量，則，進(jìn)而，所以大小順序為 答案： 例3：設(shè) 則的大小關(guān)系為（ ） A. B. C. D. 思路：觀察到都是以為底的對數(shù)，所以將其系數(shù)“放”進(jìn)對數(shù)之中，再進(jìn)行真數(shù)的比較。發(fā)現(xiàn)真數(shù)的底與指數(shù)也不相同，所以依然考慮“求同存異”，讓三個真數(shù)的指數(shù)一致： ，通過比較底數(shù)的大小可得： 答案：C 小煉有話說：（1）本題的核心處理方式就是“求同存異”，將三個數(shù)變形為具備某相同的部分，從而轉(zhuǎn)換比較的對象，將“無法比較”轉(zhuǎn)變?yōu)椤翱梢员容^” （2）本題在比較指數(shù)冪時，底數(shù)的次數(shù)較高，計算起來比較麻煩。所以也可以考慮將這三個數(shù)兩兩進(jìn)行比較，從而減少底數(shù)的指數(shù)便于計算。例如可以先比較，從而，同理再比較或即可 例4：設(shè)，，，則（ ） A. B. C. D. 思路：觀察可發(fā)現(xiàn)： ，所以可得： 答案：D 例5：設(shè) 則的大小關(guān)系為（ ） A. B. C. D. 思路：觀察可發(fā)現(xiàn)的底數(shù)相同，的指數(shù)相同，進(jìn)而考慮先進(jìn)行這兩輪的比較。對于，兩者底數(shù)在，則指數(shù)越大，指數(shù)冪越小，所以可得，再比較，兩者指數(shù)相同，所以底數(shù)越大，則指數(shù)冪越大，所以，綜上： 答案：B 例6：已知三個數(shù)，則它們之間的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 思路：可先進(jìn)行分組，，，所以只需比較大小，兩者都介于之間且一個是對數(shù)，一個是三角函數(shù)，無法找到之間的聯(lián)系。所以考慮尋找中間值作為橋梁。以作為入手點。利用特殊角的余弦值估計其大小。，而，從而，大小順序為 答案：A 小煉有話說：在尋找中間量時可以以其中一個為入手點，由于非特殊角的三角函數(shù)值可用特殊角三角函數(shù)值估計值的大小，所以本題優(yōu)先選擇作為研究對象。 例7：（2015甘肅河西三校第一次聯(lián)考）設(shè)，則（ ） A. B. C. D. 思路：首先進(jìn)行分組，可得，下面比較的大小，可以考慮以作為中間量，，所以，從而 答案：D 例8：設(shè)且，則的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 思路：由可得：，先用將分堆，，，則為最大，只需要比較即可，由于的底數(shù)與真數(shù)不同，考慮進(jìn)行適當(dāng)變形并尋找中間量。，而，因為，所以，所以順序為 答案：C 例9：下列四個數(shù)：的大小順序為________ 思路：觀察發(fā)現(xiàn)，其余均為正。所以只需比較，考慮，所以，而，所以下一步比較：，所以，綜上所述，大小順序為 答案： 例10：已知均為正數(shù)，且，則（ ） A. B. C. D. 思路：本題要通過左右相等的條件，以某一側(cè)的值作為突破口，去推斷的范圍。首先觀察等式左側(cè)，左側(cè)的數(shù)值均大于0，所以可得：均大于0，由對數(shù)的符號特點可得：，只需比較大小即可。觀察到，從而，所以順序為 答案：A 小煉有話說：本題也可用數(shù)形結(jié)合的方式比較大小，觀察發(fā)現(xiàn)前兩個等式右側(cè)為的形式，而第三個等式也可變形為，從而可以考慮視分別為兩個函數(shù)的交點。先作出圖像，再在這個坐標(biāo)系中作出，比較交點的位置即可。