,第9章 彎曲內(nèi)力,第二篇 材料力學(xué),工程力學(xué), 彎曲內(nèi)力, 剪力方程和彎矩方程 剪力圖與彎矩圖, 剪力、彎矩與荷載集度之間關(guān)系, 用疊加法畫(huà)彎矩圖,第9章 彎曲內(nèi)力, 概述, 9.1 概述,第9章 彎曲內(nèi)力, 概述,工程上有許多桿件，在外力作用下，其主要變形為彎曲。,簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁, 概述,簡(jiǎn)化為外伸梁, 概述,簡(jiǎn)化為懸臂梁, 概述,彎曲變形桿件受力特點(diǎn)：,外力（集中力或分布力）作用垂直于桿軸線； 外力偶作用在桿軸線所在的縱向?qū)ΨQ(chēng)面。, 概述,彎曲變形桿件變形特點(diǎn)：,桿的軸線彎成曲線，桿的橫截面作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。,有這樣受力和變形特點(diǎn)的桿件稱(chēng)為梁(beam), 概述,梁的平面彎曲定義：,有一個(gè)縱向?qū)ΨQ(chēng)面，外力作用在此平面上，梁的軸線在此平面上彎成一平面曲線。稱(chēng)為平面彎曲。, 9.2 彎曲內(nèi)力, 彎曲內(nèi)力,確定外力作用下桿件橫截面上的內(nèi)力分量，重要的是正確應(yīng)用平衡的概念和平衡的方法。這一點(diǎn)與靜力分析中的概念和方法相似，但又不完全相同。主要區(qū)別在于，在靜力分析中只涉及共同系統(tǒng)或單個(gè)剛體的平衡，而在確定時(shí)，不僅要涉及單個(gè)構(gòu)件以及構(gòu)件系統(tǒng)的平衡，而且還要涉及構(gòu)件的局部的平衡。因此，需要將平衡的概念加以擴(kuò)展和延伸。, 彎曲內(nèi)力, 內(nèi)力與外力的相互關(guān)系, 控制面, 桿件內(nèi)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)則, 指定截面上內(nèi)力分量的確定, 彎曲內(nèi)力, 內(nèi)力與外力的相互關(guān)系, 彎曲內(nèi)力,應(yīng)用截面法可以證明，當(dāng)桿件上的外力（包括載荷與約 束力）沿桿的軸線方向發(fā)生突變時(shí)，內(nèi)力的變化規(guī)律也 將發(fā)生變化。, 內(nèi)力與外力的相依關(guān)系,所謂外力突變，是指有集中力、集中力偶作用的 情形；分布載荷間斷或分布載荷集度發(fā)生突變的情形。, 彎曲內(nèi)力, 內(nèi)力與外力的相依關(guān)系,所謂內(nèi)力變化規(guī)律是指表示內(nèi)力變化的函數(shù)或變化的圖線。即，如果在兩個(gè)外力作用點(diǎn)之間的桿件上沒(méi)有其他外力作用，則這一段桿件所有橫截面上的內(nèi)力可以用同一個(gè)數(shù)學(xué)方程或者同一圖線描述。, 彎曲內(nèi)力, 控制面, 彎曲內(nèi)力,根據(jù)以上分析，在一段桿上，內(nèi)力按某一種函數(shù)規(guī)律變化，這一段桿的兩個(gè)端截面稱(chēng)為控制面。據(jù)此，下列截面均可為控制面：, 集中力作用點(diǎn)的兩側(cè)截面； 集中力偶作用點(diǎn)的兩側(cè)截面； 均布載荷起點(diǎn)和終點(diǎn)處的截面。, 控制面, 彎曲內(nèi)力,外力規(guī)律發(fā)生變化截面集中力、集中力偶作用點(diǎn)、分布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的橫截面。, 控制面, 彎曲內(nèi)力, 彎曲內(nèi)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)則, 彎曲內(nèi)力,同一位置處左、右側(cè)截面上內(nèi)力分量必須具有相同的正負(fù)號(hào)。,彎矩M(My或Mz)一作用在左側(cè)面上使截開(kāi)部分逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)；或者作用在右側(cè)截面上使截開(kāi)部分順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)者為正；反之為負(fù)。, 桿件內(nèi)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)則, 彎曲內(nèi)力, 桿件內(nèi)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)則, 彎曲內(nèi)力, 指定截面上內(nèi)力分量的確定, 彎曲內(nèi)力,應(yīng)用截面法可以確定桿件任意指定橫截面上的內(nèi)力分量, 用假想截面從所要求的截面處將桿截為兩部分, 考察其中任意一部分的平衡, 由平衡方程求得橫截面的內(nèi)力分量,C, 指定橫截面上內(nèi)力分量的確定, 彎曲內(nèi)力, 指定橫截面上內(nèi)力分量的確定,例題9-1,一端固定另一端自由的梁，稱(chēng)為懸臂梁。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用。,試確定:截面C及截面D上的剪力和彎矩。C、D截面與加力點(diǎn)無(wú)限接近。, 彎曲內(nèi)力, 指定橫截面上內(nèi)力分量的確定-例題,解：1. 應(yīng)用靜力學(xué)平衡方程確定固定端的約束力。,2. 應(yīng)用截面法確定C截面上的內(nèi)力分量,用假想截面將梁C截面處截開(kāi)，以左邊部分為平衡對(duì)象。,因?yàn)橥饬εc梁軸線都在同一平面內(nèi)，而且沒(méi)有沿桿件軸線方向的外力作用，所以橫截面上沒(méi)有軸力和扭矩，只有剪力和彎矩兩種內(nèi)力分量。, 彎曲內(nèi)力, 指定橫截面上內(nèi)力分量的確定-例題,解：,假設(shè)截開(kāi)橫截面上的剪力和彎矩均為正方向。根據(jù)截開(kāi)的局部平衡建立平衡方程：,所得結(jié)果均為正值，這表明所假設(shè)的C截面上的剪力和彎矩的正方向是正確的。, 彎曲內(nèi)力, 指定橫截面上內(nèi)力分量的確定-例題,解： 3. 應(yīng)用截面法確定D截面上的內(nèi)力分量,用假想截面將梁D截面處截開(kāi)，以左邊部分為平衡對(duì)象。, 彎曲內(nèi)力, 指定橫截面上內(nèi)力分量的確定-例題,解：,假設(shè)截開(kāi)橫截面上的剪力和彎矩均為正方向。根據(jù)截開(kāi)的局部平衡建立平衡方程：,因?yàn)镈截面無(wú)限接近B截面，所以式中, 彎曲內(nèi)力, 指定橫截面上內(nèi)力分量的確定-例題,解： 4. 討論,本例中所選擇的研究對(duì)象都是C、 D截面以左部分梁，因而需要首先確定左端的約束力。如果以C、 D截面以右部分梁作為平衡對(duì)象，則無(wú)需確定約束力。計(jì)算過(guò)程會(huì)更簡(jiǎn)單些。, 彎曲內(nèi)力, 剪力圖與彎矩圖,第9章 彎曲內(nèi)力, 剪力方程與彎矩方程, 載荷集度、剪力、彎矩之間 的微分關(guān)系, 剪力圖與彎矩圖, 剪力圖與彎矩圖, 剪力方程與彎矩方程, 剪力圖與彎矩圖, 剪力方程與彎矩方程, 剪力圖與彎矩圖,一般受力情形下，梁內(nèi)剪力和彎矩將隨橫截面位置的改變而發(fā)生變化。描述梁的剪力和彎矩沿長(zhǎng)度方向變化的代數(shù)方程，分別稱(chēng)為剪力方程和彎矩方程。,為了建立剪力方程和彎矩方程，首先建立Oxy坐標(biāo)系，其中O坐標(biāo)原點(diǎn)，x坐標(biāo)軸與梁的軸線一致，坐標(biāo)原點(diǎn)O一般取在梁的左端，x坐標(biāo)軸的正方向自左至右，y坐標(biāo)軸鉛垂向上。, 剪力方程與彎矩方程, 剪力圖與彎矩圖,建立剪力方程和彎矩方程時(shí)，需要根據(jù)梁上的外力(包括載荷和約束力)作用狀況，確定控制面，從而確定要不要分段，以及分幾段建立剪力方程和彎矩方程。,確定了分段之后，在每一段中任意取一橫截面，這一橫截面的坐標(biāo)為x，從這一橫截面處將梁截開(kāi)，并假設(shè)所截開(kāi)的橫截面上的剪力FQ(x)和彎矩M(x)都是正方向，最后分別應(yīng)用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FQ(x)和彎矩M(x)的表達(dá)式，這就是所要求的剪力方程FQ(x)和彎矩方程M(x)。, 剪力方程與彎矩方程, 剪力圖與彎矩圖,需要特別注意的是，在剪力方程和彎矩方程中，x是變量，而FQ(x)和M(x)則是x的函數(shù)。,這一方法和過(guò)程實(shí)際上與前面所介紹的確定指定橫截面上的內(nèi)力分量的方法和過(guò)程是相似的。, 剪力方程與彎矩方程, 剪力圖與彎矩圖,一端為固定鉸鏈支座、另一端為輥軸支座的梁，稱(chēng)為簡(jiǎn)支梁。梁上承受集度為q的均布載荷作用，梁的長(zhǎng)度為2l。,試寫(xiě)出：該梁的剪力方程和彎矩方程。,例題9-2, 剪力方程與彎矩方程例題, 剪力圖與彎矩圖,解：1確定約束力,根據(jù)平衡條件不難求得：,解：2確定控制面和分段,因?yàn)榱荷现蛔饔糜羞B續(xù)分布載荷(載荷集度沒(méi)有突變)，沒(méi)有集中力和集中力偶的作用，所以，從A到B梁的橫截面上的剪力和彎矩可以分別用一個(gè)方程描述。,3建立Oxy坐標(biāo)系 以梁的左端A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立Oxy坐標(biāo)系，, 剪力方程與彎矩方程例題, 剪力圖與彎矩圖,解：4確定剪力方程和彎矩方程,由左段梁的平衡條件,以A、B之間坐標(biāo)為x的任意截面為假想截面，將梁截開(kāi)，取左段為研究對(duì)象，在截開(kāi)的截面上標(biāo)出剪力FQ(x)和彎矩M(x)的正方向。, 剪力方程與彎矩方程例題, 剪力圖與彎矩圖,解：,得到梁的剪力方程和彎矩方程分別為,這一結(jié)果表明，梁上的剪力方程是x的線性函數(shù)；彎矩方程是x的二次函數(shù)。, 剪力方程與彎矩方程例題, 剪力圖與彎矩圖,#, 剪力方程與彎矩方程, 剪力圖與彎矩圖,例題9-3,懸臂梁在B、C二處分別承受集中力FP和集中力偶M2FPl作用。梁的全長(zhǎng)為2l。,試寫(xiě)出：梁的剪力方程和彎矩方程。, 剪力方程與彎矩方程例題, 剪力圖與彎矩圖,解：1確定控制面和分段,通過(guò)考察截開(kāi)截面的右邊部分平衡來(lái)建立剪力方程和彎矩方程，因此可以不必確定左端的約束力。,2建立Oxy坐標(biāo)系 以梁的左端A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立Oxy坐標(biāo)系，,由于梁在固定端A處作用有約束力、自由端B處作用有集中力、中點(diǎn)C處作用有集中力偶，所以，截面A、B、C均為控制面。因此，需要分為AC和CB兩段建立剪力和彎矩方程。, 剪力方程與彎矩方程例題, 剪力圖與彎矩圖,解：3建立剪力方程和彎矩方程,在AC和CB兩段分別以坐標(biāo)為x1和x2的橫截面將截開(kāi)，并在截開(kāi)的橫截面上，假設(shè)剪力FQ(x1)、FQ(x2)和彎矩M(x1)、M(x2)都是正方向，然后考察截開(kāi)的右邊部分梁的平衡，由平衡方程即可確定所需要的剪力方程和彎矩方程。, 剪力方程與彎矩方程例題, 剪力圖與彎矩圖,解：3建立剪力方程和彎矩方程,對(duì)于AC段梁的剪力和彎矩方程，在x1處截開(kāi)后，考察右邊部分的平衡。,根據(jù)平衡方程, 剪力方程與彎矩方程例題, 剪力圖與彎矩圖,解：3建立剪力方程和彎矩方程,得到AC段的剪力方程與彎矩方程：, 剪力方程與彎矩方程例題, 剪力圖與彎矩圖,解：3建立剪力方程和彎矩方程,得到CB段的剪力方程與彎矩方程：,上述結(jié)果表明，AC段和CB段的剪力方程是相同的；彎矩方程不同，但都是x的線性函數(shù)。,對(duì)于CB段梁的剪力和彎矩方程，在x2處截開(kāi)后，考察右邊部分的平衡。,根據(jù)平衡方程, 剪力圖與彎矩圖, 剪力方程與彎矩方程例題,綜合 剪力方程和彎矩方程,#, 剪力圖與彎矩圖, 剪力圖與彎矩圖,根據(jù)剪力方程和彎矩方程畫(huà)出的圖形 剪力圖和彎矩圖, 剪力圖與彎矩圖,以平行于梁軸線的坐標(biāo)軸為橫坐標(biāo)，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)表示橫截面所在位置； 以垂直于梁軸線為縱坐標(biāo)，表示橫截面上的剪力或彎矩 剪力圖和彎矩圖,規(guī)定：正剪力畫(huà)在橫坐標(biāo)之上，負(fù)剪力則畫(huà)在之下； 這樣，剪力圖的縱坐標(biāo)是向上的。 正彎矩畫(huà)在受拉一側(cè)，下緣受拉為正， 下緣受壓為負(fù)。 這樣，彎矩圖的縱坐標(biāo)是向下的。, 剪力圖與彎矩圖, 剪力方程與彎矩方程例題, 剪力方程與彎矩方程例題, 剪力圖與彎矩圖, 彎曲內(nèi)力,作業(yè)： 9-1 ( a ) ( c ) ( e ) ( f ) 9-2 ( a ) ( b ) ( e ) ( f ) ( g ) 9-3 ( a ) ( b ) ( c ) ( e ) ( f ) ( i ), 載荷集度、剪力、彎矩之間 的微分關(guān)系, 剪力圖與彎矩圖, 載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系, 剪力圖與彎矩圖,作用在梁上的平面載荷(不包含縱向力)，這時(shí)梁的橫截面上將只有彎矩和剪力。表示剪力和彎矩沿梁軸線方向變化的圖線，分別稱(chēng)為剪力圖和彎矩圖。, 載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系, 剪力圖與彎矩圖,繪制剪力圖和彎矩圖有兩種方法：第一種方法是：根據(jù)剪力方程和彎矩方程，在FQx和Mx坐標(biāo)系中首先標(biāo)出剪力方程和彎矩方程定義域兩個(gè)端點(diǎn)的剪力值和彎矩值，得到相應(yīng)的點(diǎn)；然后按照剪力和彎矩方程的類(lèi)型，繪制出相應(yīng)的圖線，便得到所需要的剪力圖與彎矩圖。, 載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系, 剪力圖與彎矩圖,繪制剪力圖和彎矩圖的第二種方法是：先在FQx和Mx坐標(biāo)系中標(biāo)出控制面上的剪力和彎矩?cái)?shù)值，然后應(yīng)用載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系，確定控制面之間的剪力和彎矩圖線的形狀，而無(wú)需首先建立剪力方程和彎矩方程。, 載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系, 剪力圖與彎矩圖,根據(jù)相距dx的兩個(gè)橫截面截處微段的平衡，可以得到載荷集度、剪力、彎矩之間存在下列的微分關(guān)系：,看以下證明, 載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系, 剪力圖與彎矩圖,將FQ(x)對(duì)x求一次導(dǎo)數(shù)，將M(x)對(duì)x求一次和二次導(dǎo)數(shù)，得到, 載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系, 剪力圖與彎矩圖,上式中等號(hào)右邊的負(fù)號(hào)，是由于作用在梁上的均布載荷是向下的。因此，規(guī)定：對(duì)于向上的均布載荷，微分關(guān)系式中的載荷集度q為正值；對(duì)于向下的均布載荷，載荷集度q為負(fù)值。, 載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系, 剪力圖與彎矩圖,上述微分關(guān)系，說(shuō)明剪力圖和彎矩圖圖線的幾何形狀與作用在梁上的載荷集度有關(guān)。, 載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系, 剪力圖與彎矩圖, 剪力圖的斜率等于作用在梁上的均布載荷集度；彎矩圖在某一點(diǎn)處斜率等于對(duì)應(yīng)截面處剪力的數(shù)值。, 如果一段梁上沒(méi)有分布載荷作用，即q0，這一段梁上剪力的一階導(dǎo)數(shù)等于零，彎矩的一階導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)，因此，這一段梁的剪力圖為平行于x軸的水平直線；彎矩圖為斜直線。, 如果一段梁上作用有均布載荷，即q常數(shù)，這一段梁上剪力的一階導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)，彎矩的一階導(dǎo)數(shù)為x的線性函數(shù)，因此，這一段梁的剪力圖為斜直線；彎矩圖為二次拋物線。, 彎矩圖二次拋物線的凸凹性，與載荷集度q的正負(fù)有關(guān)：當(dāng)q為正(向上)時(shí)，拋物線為凹曲線，凹的方向與M坐標(biāo)正方向一致，：當(dāng)q為負(fù)(向下)時(shí)，拋物線為凸曲線，凸的方向與M坐標(biāo)正方向一致。, 剪力圖與彎矩圖, 剪力圖與彎矩圖,載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系繪制剪力圖與彎矩圖的方法，與繪制軸力圖和扭矩圖的方法大體相似，但略有差異，主要步驟如下：, 根據(jù)載荷及約束力的作用位置，確定控制面；, 應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩?cái)?shù)值；, 建立FQx和Mx坐標(biāo)系，并將控制面上的剪力和彎矩值標(biāo)在上述坐標(biāo)系中，得到若干相應(yīng)的點(diǎn)；, 應(yīng)用微分關(guān)系確定各段控制面之間的剪力圖和彎矩圖的圖線，得到所需要的剪力圖與彎矩圖。,簡(jiǎn)支梁受力的大小和方向如圖示。,例題9-4, 剪力圖與彎矩圖, 剪力圖與彎矩圖,試畫(huà)出：其剪力圖和彎矩圖,并確定剪力和彎矩絕對(duì)值的最大值。,解：1確定約束力,根據(jù)力矩平衡方程, 剪力圖與彎矩圖, 剪力圖與彎矩圖例題 6,解：2確定控制面,在集中力和集中力偶作用處的兩側(cè)截面以及支座反力內(nèi)側(cè)截面均為控制面，即A、B、C、D、E、F各截面均為控制面。,3建立坐標(biāo)系 建立FQx和Mx坐標(biāo)系, 剪力圖與彎矩圖, 剪力圖與彎矩圖例題 6,5根據(jù)微分關(guān)系連圖線 因?yàn)榱荷蠠o(wú)分布載荷作用，所以剪力FQ圖形均為平行于x軸的直線；彎矩M圖形均為斜直線。于是，順序連接FQx和Mx坐標(biāo)系中的a、b、c、d、e、f各點(diǎn)，便得到梁的剪力圖與彎矩圖。,解：4應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在FQx和Mx坐標(biāo)系中。, 剪力圖與彎矩圖, 剪力圖與彎矩圖例題 6,6確定剪力與彎矩的最大絕對(duì)值,從圖中不難得到剪力與彎矩的絕對(duì)值的最大值分別為,(發(fā)生在EF段),(發(fā)生在D、E截面上), 剪力圖與彎矩圖, 剪力圖與彎矩圖例題 6,從剪力圖和彎矩圖中不難看出AB段與CD段的剪力相等，因而這兩段內(nèi)的彎矩圖具有相同的斜率。此外，在集中力作用點(diǎn)兩側(cè)截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用處兩側(cè)截面上的彎矩是不相等的，其差值分別為集中力與集中力偶的數(shù)值，這是由于維持DE小段和BC小段梁的平衡所必需的。建議大家自行加以驗(yàn)證。,例題9-5, 剪力圖與彎矩圖, 剪力圖與彎矩圖,梁由一個(gè)固定鉸鏈支座和一個(gè)輥軸支座所支承，但是梁的一端向外伸出，這種梁稱(chēng)為外伸梁。梁的受力以及各部分尺寸均示于圖中。,試畫(huà)出：其剪力圖和彎矩圖,并確定剪力和彎矩絕對(duì)值的最大值。,解：1確定約束力,根據(jù)梁的整體平衡，由,求得A、F 二處的約束力, 剪力圖與彎矩圖, 剪力圖與彎矩圖例題 7,解：2確定控制面,由于AB段上作用有連續(xù)分布載荷，故A、B兩個(gè)截面為控制面，約束力FBy右側(cè)的C截面，以及集中力qa左側(cè)的D截面，也都是控制面。,3建立坐標(biāo)系 建立FQx和Mx坐標(biāo)系, 剪力圖與彎矩圖, 剪力圖與彎矩圖例題 7,解：4確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在FQx和Mx坐標(biāo)系中。, 剪力圖與彎矩圖, 剪力圖與彎矩圖例題 7,5根據(jù)微分關(guān)系連圖線 對(duì)于剪力圖：在AB段，因有均布載荷作用，剪力圖為一斜直線，于是連接a、b兩點(diǎn)，即得這一段的剪力圖；在CD段，因無(wú)分布載荷作用，故剪力圖為平行于x軸的直線，由連接c、d二點(diǎn)而得，或者由其中任一點(diǎn)作平行于x軸的直線而得。, 剪力圖與彎矩圖, 剪力圖與彎矩圖例題 7,5根據(jù)微分關(guān)系連圖線 對(duì)于彎矩圖：在AB段，因有均布載荷作用，圖形為二次拋物線。又因?yàn)閝向下為負(fù)，彎矩圖為凸向M坐標(biāo)正方向的拋物線。于是，AB段內(nèi)彎矩圖的形狀便大致確定。為了確定曲線的位置，除AB段上兩個(gè)控制面上彎矩?cái)?shù)值外，還需確定在這一段內(nèi)二次拋物線有沒(méi)有極值點(diǎn)，以及極值點(diǎn)的位置和極值點(diǎn)的彎矩?cái)?shù)值。從剪力圖上可以看出，在e點(diǎn)剪力為零。, 剪力圖與彎矩圖, 剪力圖與彎矩圖例題 7,6確定彎矩圖極值點(diǎn)的位置。, 剪力圖與彎矩圖, 剪力圖與彎矩圖例題 7,7確定剪力與彎矩的最大絕對(duì)值, 剪力圖與彎矩圖, 剪力圖與彎矩圖例題 7,注意到在右邊支座處，由于約束力的作用，該處剪力圖有突變（支座兩側(cè)截面剪力不等）彎矩圖在該處出現(xiàn)折點(diǎn)（彎矩圖的曲線段在該處的切線斜率不等于斜直線cd的斜率）。, 剪力圖與彎矩圖, 載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系,小 結(jié),1、利用微分關(guān)系,2、幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征, 用疊加法畫(huà)彎矩圖,第9章 彎曲內(nèi)力, 疊加法作圖,回顧：材料力學(xué)的幾個(gè)基本假定,均勻連續(xù)性 各向同性 線彈性 小變形,由于小變形，跨長(zhǎng)的變化可以不計(jì)，內(nèi)力與荷載呈線性關(guān)系，可以疊加。, 疊加法作圖,支座反力：,梁任意截面上的彎矩：, 疊加法作圖,作法：,分別作出各個(gè)荷載單獨(dú)作用下的彎矩圖，然后將圖形對(duì)應(yīng)處的縱坐標(biāo)相加，即得荷載共同作用下的彎矩圖。,第9章 彎曲內(nèi)力,本章小結(jié),平面彎曲的定義：有一個(gè)縱向?qū)ΨQ(chēng)面，外力作用在此平面上，梁軸線在此平面上彎成一平面曲線。,彎曲內(nèi)力：截面法計(jì)算指定處剪力和彎矩。剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定,剪力方程和彎矩方程。剪力圖與彎矩圖。,荷載與剪力、彎矩的微分關(guān)系,疊加法作彎矩圖, 第9章 彎曲內(nèi)力,作業(yè)： 9-4 ( b ) ( c ) ( e ) 9-5 ( a ) ( b ) 9-6 ( b ),