第7講三角恒等變換與解三角形考情分析三角恒等變換是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，主要考查利用各種三角函數(shù)公式進(jìn)行求值與化簡(jiǎn)，其中降冪公式、輔助角公式是考查的重點(diǎn)，切化弦、角的變換是?？嫉膬?nèi)容正弦定理、余弦定理以及解三角形問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：(1)邊和角的計(jì)算；(2)三角形形狀的判斷；(3)面積的計(jì)算；(4)有關(guān)邊、角的范圍問(wèn)題；(5)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題熱點(diǎn)題型分析熱點(diǎn)1三角恒等變換及求值三角恒等變換“四大策略”：(1)常值代換：特別是“1”的代換，1sin2cos2tan45°等；(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊，如：sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦1.若sin，則cos的值為()A. B C. D.答案B解析sincoscos，cos2cos212×21.2.若，都是銳角，且cos，sin()，則cos()A. B.C.或 D.或答案A解析，都是銳角，<<，又cos，sin()，sin，cos()，coscos()coscos()sinsin()××.故選A.研究三角函數(shù)式的求值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找出條件中的角與所求角的聯(lián)系，依據(jù)函數(shù)名稱(chēng)的變換特點(diǎn)，選擇合適的公式求解第1題易錯(cuò)點(diǎn)有二：一是不善于發(fā)現(xiàn)與兩角的互余關(guān)系；二是二倍角公式的正確記憶及應(yīng)用第2題易忽略角的配湊技巧，而利用兩角和與差公式直接展開(kāi)，結(jié)合同角基本關(guān)系式1sin2cos2而錯(cuò)選C.熱點(diǎn)2正弦定理、余弦定理1.利用正、余弦定理解三角形的思路(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則考慮兩個(gè)定理都有可能用到；(2)關(guān)于解三角形問(wèn)題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見(jiàn)的三角恒等變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”2.利用正、余弦定理判斷三角形形狀的兩種常用途徑(1)角化邊：通過(guò)正弦、余弦定理化角為邊，通過(guò)代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；(2)邊化角：通過(guò)正弦、余弦定理化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷3.與三角形面積有關(guān)問(wèn)題的解題思路(1)先轉(zhuǎn)化：根據(jù)條件，利用三角變換公式化簡(jiǎn)已知條件等式，再利用正、余弦定理化邊或化角；(2)再選面積公式：根據(jù)條件選擇面積公式，多用三角形的面積SabsinCacsinBbcsinA；(3)后求值：若求值可根據(jù)條件直接求出，若求最值，注意根據(jù)條件常利用基本不等式求最值1.(2018·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若ABC的面積為，則C()A. B. C. D.答案C解析由題可知SABCabsinC，所以a2b2c22absinC.由余弦定理a2b2c22abcosC，所以sinCcosC.因?yàn)镃(0，)，所以C，故選C.2.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若cacosB(2ab)cosA，則ABC的形狀為()A.等腰三角形 B直角三角形C.等腰直角三角形 D等腰或直角三角形答案D解析cacosB(2ab)cosA，C(AB)，由正弦定理得，sinCsinAcosB2sinAcosAsinBcosA，sin(AB)sinAcosB2sinAcosAsinBcosA，得2cosAsinB2sinAcosA，cosA0或sinBsinA，A或BA或BA(舍去)，ABC為等腰或直角三角形故選D.3.(2018·浙江高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b2，A60°，則sinB_，c_.答案3解析由正弦定理，得，所以sinB.由余弦定理，cosA，得，所以c3.1.第1題易錯(cuò)在三角形面積公式的選擇和余弦定理的正確運(yùn)用上2.應(yīng)用正、余弦定理求角時(shí)容易出現(xiàn)增解或漏解的錯(cuò)誤，如第2題易忽略cosA0的情況而錯(cuò)選A.3.第3題在求邊c時(shí)，如果選用正弦定理易由于運(yùn)算量過(guò)大而導(dǎo)致出錯(cuò)，恰當(dāng)?shù)倪x擇余弦定理可簡(jiǎn)便求解.熱點(diǎn)3正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用解正弦、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟：(1)分析：理解題意，分清已知與所求，畫(huà)出示意圖尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型；(3)求解：利用正弦定理和余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的三角形是否具有實(shí)際意義，對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍，得出實(shí)際問(wèn)題的解1如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為_(kāi)米答案50解析連接OC，由題意知CD150米，OD100米，CDO60°.在COD中，由余弦定理得OC2CD2OD22CD·OD·cos 60°，即OC50.2某觀測(cè)站C在目標(biāo)A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在C處測(cè)得與C相距31 km的公路B處有一個(gè)人正沿著此公路向A走去，走20 km到達(dá)D，此時(shí)測(cè)得CD距離為21 km，若此人必須在20分鐘內(nèi)從D處到達(dá)A處，則此人的最小速度為_(kāi)km/h.答案45解析由已知得CAB25°35°60°，BC31，CD21，BD20，可得cosB，那么sinB，于是在ABC中，AC24，在ABC中，BC2AC2AB22AC·ABcos60°，即312242AB224AB，解得AB35或AB11(舍去)，因此ADABBD352015.故此人在D處距A處還有15 km，若此人必須在20分鐘，即小時(shí)內(nèi)從D處到達(dá)A處，則其最小速度為15÷45(km/h).理解題中方向角的概念，第2題易概念不清楚而導(dǎo)致出錯(cuò).真題自檢感悟1.(2018·全國(guó)卷)若sin，則cos2()A. B. C D答案B解析由公式可得cos212sin21.故選B.2.(2017·山東高考)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若ABC為銳角三角形，且滿(mǎn)足sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，則下列等式成立的是()A.a2b Bb2aC.A2B DB2A答案A解析等式右邊sinAcosC(sinAcosCcosAsinC)sinAcosCsin(AC)sinAcosCsinB，等式左邊sinB2sinBcosC，sinB2sinBcosCsinAcosCsinB.由cosC0，得sinA2sinB.根據(jù)正弦定理，得a2b.故選A.3.(2019·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若b6，a2c，B，則ABC的面積為_(kāi)答案6解析由余弦定理得b2a2c22accosB.又b6，a2c，B，364c2c22×2c2×，c2，a4，SABCacsinB×4×2×6.4.(2017·浙江高考)已知ABC，ABAC4，BC2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD2，連接CD，則BDC的面積是_，cosBDC_.答案解析解法一：依題意作出圖形，如圖所示，則sinDBCsinABC.由題意知ABAC4，BCBD2，由余弦定理得cosABC，則sinDBCsinABC，所以SBDCBC·BD·sinDBC×2×2×.因?yàn)閏osDBCcosABC，所以CD.由余弦定理，得cosBDC.解法二：同解法一得cosABC，SBDC.因?yàn)锽DBC2，所以BDCABC，則cosBDC .專(zhuān)題作業(yè)一、選擇題1.下列各式中，值為的是()A.sin15°cos15° Bcos2sin2C. D.答案D解析sin15°cos15°sin30°，排除A；cos2sin2cos，排除B; ，排除C；由tan45°1知，故選D.2.(2019·山師大附中模擬)設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)(0<<)在x時(shí)取得最大值，則函數(shù)g(x)cos(2x)的圖象()A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng) D關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)答案A解析因?yàn)楫?dāng)x時(shí)，f(x)sin(2x)(0<<)取得最大值，所以，則g(x)cos，對(duì)稱(chēng)中心為，kZ，對(duì)稱(chēng)軸x，kZ，故選A.3.(2019·重慶銅梁一中月考)已知函數(shù)f(x)2sin(x)(>0)，x的圖象如圖，若f(x1)f(x2)，且x1x2，則f(x1x2)的值為()A. B. C1 D0答案C解析由圖象得，T，2，圖象過(guò)點(diǎn)，2sin2sin2，得2k(kZ)，2k(kZ)，f(x)2sin2sin，由圖象可知，函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸為x，又f(x1)f(x2)，由x1x2×2，得f(x1x2)f2sin1，故選C.4.(2019·晉城一模)若|sin|cos|，則sin4cos4()A. B. C. D.答案B解析將|sin|cos|兩邊平方得，1|sin2|，|sin2|，sin4cos412sin2cos21sin22，故選B.5.函數(shù)f(x)(1cos2x)·cos2x，xR，設(shè)f(x)的最大值是A，最小正周期為T(mén)，則f(AT)的值等于()A. B. C1 D0答案B解析f(x)(1cos2x)cos2x(1cos2x)(1cos22x)cos4x.當(dāng)cos4x1時(shí)，Af(x)max，T.f(AT)fcos.故選B.6.(2018·全國(guó)卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，則AB()A.4 B. C. D2答案A解析因?yàn)閏osC2cos212×21，所以c2a2b22abcosC1252×1×5×32，所以c4，故選A.7.若tan2tan，則()A.1 B2 C3 D4答案C解析由已知，3，故選C.8.在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，A，b1，則ABC的面積為()A. B. C. D.答案B解析由正弦定理得2R，即，a1，A，b1，ABC為等邊三角形，SabsinC.故選B.9.(2019·重慶巴蜀中學(xué)期中)已知f(x)sin(x)，f(x1)f(x2)0，|x1x2|的最小值為，f(x)f，將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得g(x)，則g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案A解析f(x)sin(x)，由f(x1)f(x2)0可得x1，x2是函數(shù)的極值點(diǎn)，|x1x2|的最小值為，T，2，f(x)sin(2x)，又f(x)f，f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x，2×k，kZ，又，f(x)sin.將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得g(x)sincos2x的圖象，令2k2x2k，kZ，kxk，kZ，則g(x)cos2x的單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ)，故選A.10.若sin2，sin()，且，則的值是()A. B. C.或 D.或答案A解析，2，sin2>0，2，cos2，且，又，sin()>0，cos()，且，cos()cos2()cos2·cos()sin2·sin()××.2，2，.故選A.11.ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosC，bcosAacosB2，則ABC的外接圓面積為()A.4 B8 C9 D36答案C解析bcosAacosB2，由余弦定理可得，b·a·2，整理得c2，又cosC，sinC，設(shè)ABC的外接圓的半徑為R，則2R6，R3.ABC的外接圓面積SR29.故選C.12(2019·南關(guān)區(qū)校級(jí)期末)意大利“美術(shù)三杰”(文藝復(fù)興后三杰)之一的達(dá)芬奇的經(jīng)典之作蒙娜麗莎舉世聞名畫(huà)中女子神秘的微笑數(shù)百年來(lái)讓無(wú)數(shù)觀賞者入迷某數(shù)學(xué)兼藝術(shù)愛(ài)好者對(duì)蒙娜麗莎的同比例影像作品進(jìn)行了測(cè)繪，將畫(huà)中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧，在嘴角A，C處作圓弧的切線，兩條切線交于B點(diǎn)，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：AB6.9 cm，BC7.1 cm，AC12.6 cm，根據(jù)測(cè)量得到的結(jié)果推算：將蒙娜麗莎中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角位于以下哪個(gè)區(qū)間()A. B. C. D.答案B解析取ABBC7，設(shè)ABC2，則sin0.9.又sin0.866，sin0.924，2.設(shè)蒙娜麗莎中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為，則2，.故選B.二、填空題13.(2019·陜西四校聯(lián)考)已知sin2cos，則cos2_.答案解析由已知得tan2，cos2cos2sin2.14.(2018·全國(guó)卷)已知sincos1，cossin0，則sin()_.答案解析解法一：因?yàn)閟incos1，cossin0，所以(1sin)2(cos)21，所以sin，cos，因此sin()sincoscossin×cos21sin21.解法二：由(sincos)2(cossin)21，得22sin()1，所以sin().15.在ABC中，AD是BC邊上的中線，ABD.若ABBD，則CAD_.若AC2AD2，則ABC的面積為_(kāi)答案解析設(shè)BDm，則ABm，BC2m，根據(jù)余弦定理，AD2AB2BD22AB·BDcosABDm2，AC2AB2BC22AB·BCcosABDm2，ADDCACm，即ACD是正三角形，CAD.記ABC的三內(nèi)角BAC，ABC，ACB所對(duì)的三條邊分別為a，b，c，則BDa，由余弦定理可得，AD2AB2BD22AB·BDcosABD，1c22ac，即44c2a22ac，又AC2AB2BC22AB·BCcosABC，4c2a2ac，于是，4c2a22acc2a2ac，ac，代入c2a2ac4可得c2，a2，SABCacsinABC.16.(2019·濰坊模擬)校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15°的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10 m(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上若國(guó)歌時(shí)長(zhǎng)為50 s，升旗手應(yīng)以_ m/s的速度勻速升旗答案0.6解析依題意可知AEC45°，ACE180°60°15°105°，EAC180°45°105°30°.由正弦定理可知，AC·sinCEA20 m在RtABC中，ABAC·sinACB20×30 m國(guó)歌時(shí)長(zhǎng)為50 s，升旗速度為0.6 m/s.- 15 -