考點50 橢圓 1．（北京市昌平區(qū)2019屆高三5月綜合練習二模理）嫦娥四號月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號乙運載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點43分左右，嫦娥四號順利進入了以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道，如圖中軌道③所示，其近月點與月球表面距離為公里，遠月點與月球表面距離為公里.已知月球的直徑為公里，則該橢圓形軌道的離心率約為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如下圖，F(xiàn)為月球的球心，月球半徑為：×3476＝1738， 依題意，｜AF｜＝100＋1738＝1838， 　　　?。麭F｜＝400＋1738＝2138. 2a＝1838＋2138， a＝1988， a＋c＝2138， c＝2138－1988＝150， 橢圓的離心率為：， 選B. 2．（山東省實驗中學等四校2019屆高三聯(lián)合考試理）已知橢圓：，的左、右焦點分別為，，為橢圓上異于長軸端點的一點，的內(nèi)心為，直線交軸于點，若，則橢圓的離心率是（　?。? A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：的內(nèi)心為，連接和， 可得為的平分線，即有， ， 可得， 即有， 即有， 故選：B． 3．（內(nèi)蒙古2019屆高三高考一模試卷數(shù)學理）以橢圓的兩個焦點為直徑的端點的圓與橢圓交于四個不同的點,順次連接這四個點和兩個焦點恰好組成一個正六邊形,那么這個橢圓的離心率為(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：設(shè)橢圓的兩個焦點為,,圓與橢圓交于,,,四個不同的點, 設(shè),則,． 橢圓定義,得, 所以, 故選：B． 4．（廣東省深圳市高級中學2019屆高三適應(yīng)性考試（6月)數(shù)學理）在平面直角坐標系中，已知點分別為橢圓的右頂點和右焦點，過坐標原點的直線交橢圓于兩點，線段的中點為，若三點共線，則橢圓的離心率為( ) A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】 如圖 設(shè), 又， , 三點共線, , 即, , , ,故選A. 5．（陜西省漢中市2019屆高三全真模擬考試數(shù)學理）已知、分別是橢圓的左、右焦點，點是關(guān)于直線的對稱點，且軸，則橢圓的離心率為_________. 【答案】 【解析】 、分別是橢圓的左、右焦點，點是關(guān)于直線的對稱點，且軸，可得的方程為，的方程，可得， 的中點為，代入直線，可得：，， 可得， 解得． 故選： 6．（河南省洛陽市2018-2019學年高二5月質(zhì)量檢測（期末)數(shù)學（理）已知是橢圓的右焦點，是橢圓短軸的一個端點，直線與橢圓另一交點為，且，則橢圓的離心率為______. 【答案】 【解析】 設(shè)，，作軸，垂足為，如下圖所示： 則： 由得： ，即： 由橢圓的焦半徑公式可知： ，整理可得： ，即 本題正確結(jié)果： 7．（安徽省合肥市2019屆高三第三次教學質(zhì)量檢測數(shù)學理）如圖是數(shù)學家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）；在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，設(shè)圖中球，球的半徑分別為和，球心距離,截面分別與球，球切于點，，（，是截口橢圓的焦點），則此橢圓的離心率等于______． 【答案】 【解析】 如圖，圓錐面與其內(nèi)切球，分別相切與B,A，連接則，，過作垂直于，連接， 交于點C 設(shè)圓錐母線與軸的夾角為 ，截面與軸的夾角為 在中， ， 解得 即 則橢圓的離心率 8．（吉林省長春市北京師范大學長春市附屬中學2019屆高三第四次模擬考試）已知橢圓與軸正半軸交于點，離心率為．直線經(jīng)過點和點．且與橢圖E交于A、B兩點（點A在第二象限）． （1）求橢圓E的標準方程； （2）若，當時，求的取值范圍． 【答案】（1）（2） 【解析】 解析：（1）．由題意，且，所以， 所以橢圓E的標準方程為． （2）．因為直線l經(jīng)過點和點，所以直線l的斜率為，設(shè)，將其代入橢圓方程中， 消去得， 當時，設(shè)、， 則……①，……② 因為，所以，所以……③ 聯(lián)立①②③，消去、，整理得． 當時，，解 由且， 故，所以． 9．（山東省威海市2019屆高三二?？荚嚁?shù)學理）在直角坐標系中，設(shè)橢圓的左焦點為,短軸的兩個端點分別為，且，點在上. (Ⅰ)求橢圓的方程； (Ⅱ)若直線與橢圓和圓分別相切于,兩點，當面積取得最大值時，求直線的方程. 【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) . 【解析】 (Ⅰ)由，可得，① 由橢圓經(jīng)過點，得，② 由①②得， 所以橢圓的方程為． (Ⅱ)由消去整理得（*）， 由直線與橢圓相切得， ， 整理得， 故方程（*）化為，即， 解得， 設(shè)，則，故， 因此． 又直線與圓相切，可得． 所以， 所以， 將式代入上式可得 ， 由得， 所以，當且僅當時等號成立，即時取得最大值． 由，得， 所以直線的方程為． 10．（山東省日照市2019屆高三5月校際聯(lián)合考試數(shù)學理）如圖，已知橢圓，是長軸的一個端點，弦過橢圓的中心，且． （1）求橢圓的方程． （2）過橢圓右焦點的直線，交橢圓于兩點，交直線于點，判定直線的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由． 【答案】（1）；（2）是，理由見詳解. 【解析】 （1）由，得，即， 所以是等腰三角形， 又，∴點的橫坐標為2； 又， 設(shè)點的縱坐標為，∴，解得， 應(yīng)取， 又點在橢圓上，∴，解得， ∴所求橢圓的方程為； （2）由題意知橢圓的右焦點為，， 由題意可知直線的斜率存在， 設(shè)直線的方程為， 代入橢圓并整理，得； 設(shè)，，直線的斜率分別為， 則有，， 可知的坐標為； ∴ ， 又； 所以， 即直線的斜率成等差數(shù)列． 11．（天津市河北區(qū)2019屆高三一模數(shù)學理）已知橢圓C：過點，且離心率為 （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）若過原點的直線與橢圓C交于P、Q兩點，且在直線上存在點M，使得為等邊三角形，求直線的方程。 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）y=0或y= 【解析】 （Ⅰ）由題解得a=,b=,c=,橢圓C的方程為 （Ⅱ）由題，當?shù)男甭蔾=0時，此時PQ=4 直線與y軸的交點（0，滿足題意； 當?shù)男甭蔾0時，設(shè)直線與橢圓聯(lián)立得=8,,設(shè)P（）,則Q（）,,又PQ的垂直平分線方程為由，解得,,, ∵為等邊三角形即解得k=0(舍去)，k=,直線的方程為y= 綜上可知，直線的方程為y=0或y=． 12．（湖南省2017屆高三高考沖刺預測卷六理）已知橢圓的右頂點為，上頂點為，下頂點為是的中點（為原點），連接并延長交橢圓于點，連接，得． （1）求橢圓的離心率； （2）若是上一點，以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點，求直線的斜率． 【答案】（1）（2） 【解析】 試題分析：（1）求出點坐標，根據(jù)可得，結(jié)合可得結(jié)果；（2）方程為，由，結(jié)合韋達定理可得 點坐標，利用列方程，進而可得結(jié)果. 試題解析：（1），直線方程為， 由得點坐標， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴離心率； （2）分析題意，易知直線的斜率存在，設(shè)方程為， 由得，由以為直徑的圓經(jīng)過右焦點得 ，∴， ∵，∴，∴． 13．（2017屆安徽省合肥市高三第一次模擬考試數(shù)學理）已知點為橢圓的左焦點，且兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成一個等邊三角形，直線與橢圓有且僅有一個交點. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)直線與軸交于，過點的直線與橢圓交于兩不同點，，若，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （Ⅰ）求橢圓標準方程，只要求出參數(shù)，由于有，因此要列出關(guān)于的兩個方程，而由條件兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成一個等邊三角形得，再利用已知直線與橢圓只有一個公共點，即判別式為0可求得橢圓方程； （Ⅱ）由（Ⅰ）得點的坐標，從而可得，要求范圍只要求得的范圍，為此可直線分類，對斜率不存在時，求得，而當直線斜率存在時，可設(shè)出直線方程為，同時設(shè)，則，由韋達定理可把表示為的函數(shù)，注意直線與橢圓相交，判別式＞0，確定的范圍，從而可得的范圍，最后可得的取值范圍. 試題解析：（Ⅰ）由題意，得，則橢圓為：， 由，得 ， 直線與橢圓有且僅有一個交點， ， 橢圓的方程為 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，直線與軸交于 , , 當直線與軸垂直時， , 由 , 當直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為， ， 由 ， 依題意得，，且 ， ， ， ， 綜上所述，的取值范圍是 . 14．（山西省晉城市2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學理）已知的周長為6，，關(guān)于原點對稱，且.點的軌跡為. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若，直線：與交于，兩點，若，，成等差數(shù)列，求的值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2. 【解析】 （Ⅰ）依題意，，，故，則， 故點的軌跡是以，為焦點的橢圓（不含左、右兩頂點）， 故的方程為. （Ⅱ）依題意，，故. 聯(lián)立整理得. 設(shè)，，則，. 故 ， 則. 15．（遼寧省葫蘆島市普通高中2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學理）在平面直角坐標系中，橢圓的上頂點為A，左、右焦點分別為，，直線的斜率為，點在橢圓E上，其中P是橢圓上一動點，Q點坐標為. (1)求橢圓E的標準方程； (2)作直線l與x軸垂直，交橢圓于兩點（兩點均不與P點重合)，直線，與x軸分別交于點.求的最小值及取得最小值時點P的坐標. 【答案】（1）（2）的最小值為，此時點P的坐標為或 【解析】 (1)由直線的斜率為可知直線的傾斜角為. 在中，,于是, 橢圓,將代入得 所以，橢圓E的標準方程 (2)設(shè)點. 于是，直線,令, 所以 直線，令， 所以 又.代入上式并化簡 即， 當(即)時取得最小值， （Ⅰ）時，化簡得 根據(jù)題意：，若亦與題意不符， 所以，此時或 （Ⅱ）時，化簡得 將代入并化簡得： 根據(jù)題意：，若，而 所以 不成立，即不成立 綜上，或，點P的坐標為或 16．（內(nèi)蒙古呼倫貝爾市2019屆高三模擬統(tǒng)一考試一數(shù)學（理）已知橢圓：離心率為，直線被橢圓截得的弦長為. （1）求橢圓方程； （2）設(shè)直線交橢圓于，兩點，且線段的中點在直線上，求證：線段的中垂線恒過定點. 【答案】（1）（2）見解析 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)題意易得橢圓過點，結(jié)合，求出即可得結(jié)果；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達定理根據(jù)中點坐標公式化簡可得，求出，列出的中垂線方程即可得結(jié)果. 【詳解】 （1）由直線被橢圓截得的弦長為，得橢圓過點，即， 又，得， 所以，，即橢圓方程為. （2）由得， 由， 得. 由， 設(shè)的中點為， 得，即， ∴. ∴的中垂線方程為. 即，故的中垂線恒過點. 17．（湖南省益陽市桃江縣第一中學2019屆高三5月模擬考試理）已知橢圓：的離心率為，焦距為. （1）求的方程； （2）若斜率為的直線與橢圓交于，兩點（點，均在第一象限），為坐標原點. ①證明：直線的斜率依次成等比數(shù)列. ②若與關(guān)于軸對稱，證明：. 【答案】（1）； （2）①見解析；②見解析. 【解析】 （1）由題意可得：，解得： 橢圓的方程為： （2）證明：①設(shè)直線的方程為：，， 由消去得： 則，且， 即直線的斜率依次成等比數(shù)列 ②由題可知： 由①可知：，， 若，則兩點重合，不符合題意；可知無法取得等號 18．（安徽省泗縣第一中學2019屆高三高考最后一模數(shù)學理）已知橢圓：的離心率為，且橢圓上一點的坐標為. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點，且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點，求面積的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）由已知，又，則. 橢圓方程為，將代入方程得，， 故橢圓的方程為； （2）不妨設(shè)直線的方程， 聯(lián)立消去得. 設(shè)，，則有，① 又以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點，∴， 由，得， 將，代入上式得 ， 將①代入上式求得或（舍）， 則直線恒過點. ∴， 設(shè)，則在上單調(diào)遞增， 當時，取得最大值. 19．（廣東省潮州市2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學理）已知橢圓，是長軸的一個端點，弦過橢圓的中心，點在第一象限，且，． （1）求橢圓的標準方程； （2）設(shè)、為橢圓上不重合的兩點且異于、，若的平分線總是垂直于軸，問是否存在實數(shù)，使得？若不存在，請說明理由；若存在，求取得最大值時的的長． 【答案】(1) (2) 【解析】 （1）∵，∴， ∵．即， ∴是等腰直角三角形， ∵，∴， 而點在橢圓上，∴，，∴， ∴所求橢圓方程為． （2）對于橢圓上兩點，， ∵的平分線總是垂直于軸， ∴與所在直線關(guān)于對稱， ，則， ∵，∴的直線方程為，① 的直線方程為，② 將①代入，得，③ ∵在橢圓上，∴是方程③的一個根， ∴， 以替換，得到． ∴， ∵，，，弦過橢圓的中心， ∴，，∴， ∴，∴， ∴存在實數(shù)，使得， ， 當時，即時取等號， ， 又， ， ∴取得最大值時的的長為． 20．（安徽省合肥市2019屆高三第三次教學質(zhì)量檢測數(shù)學理）已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點，交橢圓于點，，點為橢圓的左焦點，的周長為.. （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）若直線與直線的傾斜角互補，且交橢圓于點、，，求證：直線與直線的交點在定直線上. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明 【解析】 解：（Ⅰ）由已知，得，，， 橢圓的標準方程. （Ⅱ）若直線的斜率不存在，則直線的斜率也不存在，這與直線與直線相交于點矛盾，所以直線的斜率存在. 令，，，，，. 將直線的方程代入橢圓方程得：， ，， 同理，. 由得，此時，， 直線， ，即點的定直線上. 21．（湖南省師范大學附屬中學2019屆高三下學期模擬三理）已知橢圓過點，右焦點是拋物線的焦點. （1）求橢圓的方程； （2）已知動直線過右焦點，且與橢圓分別交于，兩點.試問軸上是否存在定點，使得恒成立?若存在求出點的坐標:若不存在，說明理由. 【答案】(1) (2)見解析 【解析】 （1）因為橢圓過點，所以， 又拋物線的焦點為，所以. 所以，解得（舍去）或. 所以橢圓的方程為. （2）假設(shè)在軸上存在定點，使得. ①當直線的斜率不存在時，則，，，， 由，解得或； ②當直線的斜率為0時，則，，，， 由，解得或. 由①②可得，即點的坐標為. 下面證明當時，恒成立. 當直線的斜率不存在或斜率為0時，由①②知結(jié)論成立. 當直線的斜率存在且不為0時，設(shè)其方程為，，.直線與橢圓聯(lián)立得， 直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點，一定與橢圓有兩個交點，且，. ， 所以 恒成立 綜上所述，在軸上存在點，使得恒成立. 22．（湖北省黃岡中學2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學理）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為、，為相圓上一點，與軸交于，，. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過右焦點的直線交橢圓于、兩點若的中點為，為原點，直線交直線于點.求的最大值. 【答案】（I）；（II） 【解析】 （I）連接，由題意得，所以為的中位線， 又因為，所以，且 又，，得，， 故所求橢圓方程為. （II）聯(lián)立，可得. 設(shè)、，則，， 所以為 所以的中點坐標為， 因此直線的方程為，從而點為，， 設(shè)，令，則 ， 因此當，即時取得最大值. 23．（貴州省遵義航天高級中學2019屆高三第十一模）已知橢圓C：的離心率，左、右焦點分別為，拋物線的焦點F恰好是該橢圓的一個頂點． (1)求橢圓C的方程； (2)已知圓M：的切線與橢圓相交于A、B兩點，那么以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點？如果是，求出定點的坐標；如果不是，請說明理由， 【答案】（1）；（2）見解析 【解析】 （1）因為橢圓的離心率，所以，即． 因為拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點， 所以，所以．所以橢圓的方程為． （2）（i）當直線的斜率不存在時． 因為直線與圓相切，故其中的一條切線方程為． 由，不妨設(shè)，， 則以為直徑的圓的方程為． （ii）當直線的斜率為零時． 因為直線與圓相切，所以其中的一條切線方程為． 由，不妨設(shè)，， 則以為直徑的圓的方程為． 顯然以上兩圓都經(jīng)過點． （iii）當直線的斜率存在且不為零時． 設(shè)直線的方程為． 由消去，得， 所以設(shè)，，則，． 所以． 所以．① 因為直線和圓相切，所以圓心到直線的距離， 整理，得， ② 將②代入①，得，顯然以為直徑的圓經(jīng)過定點， 綜上可知，以為直徑的圓過定點． 24．（廣東省深圳市高級中學2019屆高三適應(yīng)性考試（6月)數(shù)學理）在平面直角坐標系中，離心率為的橢圓過點． （1）求橢圓的標準方程； （2）若直線上存在點，且過點的橢圓的兩條切線相互垂直，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】(1) (2) 【解析】 （1）由題意，解得，又，解得 所以橢圓C的標準方程為． （2）①當過點的橢圓的一條切線的斜率不存在時，另一條切線必垂直于軸，易得 ②當過點的橢圓的切線的斜率均存在時，設(shè) 切線方程為， 代入橢圓方程得， ， 化簡得：， 由此得， 設(shè)過點的橢圓的切線的斜率分別為，所以． 因為兩條切線相互垂直，所以，即， 由①②知在圓上，又點在直線上， 所以直線與圓有公共點， 所以，所以． 綜上所述，的取值范圍為． 25．（甘肅省蘭州市第一中學2019屆高三6月最后高考沖刺模擬數(shù)學理）橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）點為橢圓上一動點，連接、，設(shè)的角平分線交橢圓的長軸于點，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 （Ⅰ）將代入中，由可得， 所以弦長為， 故有，解得，所以橢圓的方程為：. （Ⅱ）設(shè)點，又，則直線的方程分別為； . 由題意可知. 由于點為橢圓上除長軸外的任一點，所以， 所以， 因為，， 所以，即 因此， . 32