. 第二十八章 銳角三角函數(shù) 28．1 銳角三角函數(shù)（1） 教學(xué)目標(biāo)： 1、知識與技能：通過探究使學(xué)生知道當(dāng)直角三角形的銳角固定時，它的對邊與斜邊的比值都固定（即正弦值不變）這一事實(shí)。 能根據(jù)正弦概念正確進(jìn)行計算。 2、過程與方法：通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)，體會函數(shù)的變化與對應(yīng)的思想，逐步培養(yǎng)學(xué)生會觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力． 3、情感態(tài)度與價值觀：引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)，以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣． 教學(xué)重點(diǎn)： 理解認(rèn)識正弦（sinA）概念，通過探究使學(xué)生知道當(dāng)銳角固定時，它的對邊與斜邊的比值是固定值這一事實(shí)． 教學(xué)難點(diǎn)： 引導(dǎo)學(xué)生比較、分析并得出：對任意銳角，它的對邊與斜邊的比值是固定值的事實(shí)． 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)舊知、引入新課 1米 10米 ? 【引入】操場里有一個旗桿，老師讓小明去測量旗桿高度。 小明站在離旗桿底部10米遠(yuǎn)處，目測旗桿的頂部，視線與水平線的夾角為34度，并已知目高為1米．然后他很快就算出旗桿的高度了。 下面我們大家一起來學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)中的第一種：銳角的正弦 二、探索新知 【活動一】問題的引入 【問題一】為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對坡面的綠地進(jìn)行灌溉?，F(xiàn)測得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30°,為使出水口的高度為35m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？ 分析：問題轉(zhuǎn)化為，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB 根據(jù)“在直角三角形中，30o角所對的邊等于斜邊的一半”，即 可得AB=2BC=70m.即需要準(zhǔn)備70m長的水管 結(jié)論：在一個直角三角形中，如果一個銳角等于30o，那么不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值都等于 【問題二】如圖，任意畫一個Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o，計算∠A的對邊與斜邊的比，能得到什么結(jié)論？（學(xué)生思考） 結(jié)論：在一個直角三角形中，如果一個銳角等于45o，那么不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值都等于。 【問題三】一般地，當(dāng)∠A取其他一定度數(shù)的銳角時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值？ 如圖：Rt△ABC與Rt△A1B1C1中，∠C=∠C1=90o， ∠A=∠A1=α，那么與有什么關(guān)系 分析：由于∠C=∠C1 =90o，∠A=∠A1=α，所以Rt△ABC∽Rt△A1B1C1， ，即 結(jié)論：在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比也是一個固定值。 【活動二】認(rèn)識正弦 如圖，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別記為a、b、c。 在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦。記作sinA。 板書：sinA＝ （舉例說明：若a=1,c=3,則sinA=） 【注意】：1、sinA不是 sin與A的乘積，而是一個整體； 2、正弦的三種表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF 3、sinA 是線段之間的一個比值；sinA 沒有單位。 提問：∠B的正弦怎么表示？要求一個銳角的正弦值，我們需要知道直角三角形中的哪些邊？ 三、例題講解 例 （教材P63-例1）如課本圖28．1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值． 教師對題目進(jìn)行分析：求sinA就是要確定∠A的對邊與斜邊的比；求sinB就是要確定∠B的對邊與斜邊的比．我們已經(jīng)知道了∠A對邊的值，所以解題時應(yīng)先求斜邊的高． 如圖（2）在Rt△ABC中， 四、課堂練習(xí) 教材P64-練習(xí)第1、2題 五、課時小結(jié) 在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比都是一個固定值． 在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA。 六、布置作業(yè) 教材P68-習(xí)題28.1第1題 28．1 銳角三角函數(shù)（2） 教學(xué)目標(biāo)： 1、知識與技能：了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確應(yīng)用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比．逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括的思維能力． 2、過程與方法：通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)，體會函數(shù)的變化與對應(yīng)的思想，逐步培養(yǎng)學(xué)生會觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力． 3、情感態(tài)度與價值觀：引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)，以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣． 教學(xué)重點(diǎn)： 理解余弦、正切的概念． 教學(xué)難點(diǎn)： 熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的概念進(jìn)行有關(guān)計算． 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)舊知、引入新課 【復(fù)習(xí)】 1、口述正弦的定義 2、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D。已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ） A． B． C． D． 二、探索新知 余弦、正切的定義 一般地，當(dāng)∠A取其他一定度數(shù)的銳角時，它的鄰邊與斜邊的比是否也是一個固定值？ 如圖：Rt△ABC與Rt△A1B1C1，∠C=∠C1 =90o，∠B=∠B1=α，那么與有什么關(guān)系？ 分析：由于∠C=∠C1 =90o，∠B=∠B1=α，所以Rt△ABC∽Rt△A1B1C1， 即 結(jié)論：在直角三角形中，當(dāng)銳角B的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，∠B的鄰邊與斜邊的比也是一個固定值。 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90o，把銳角B的鄰邊與斜邊的比叫做∠B的余弦，記作cosB，即 把∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切.記作tanA，即 銳角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù). 三、例題講解 例 （教材P65-例2）如課本圖28．1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6，sinA=，求sinA、cosA、tanA的值． 教師對解題方法進(jìn)行分析：我們已經(jīng)知道了直角三角形中一 條邊的值，要求余弦，正切值，就要求斜邊與另一個直角邊的值．我們可以通過已知角的正弦值與對邊值及勾股定理來求． 教師分析完后要求學(xué)生自己解題．學(xué)生解后教師總結(jié)并板書． 解：略 四、課堂練習(xí) 教材P64-練習(xí)第1、2題 五、課時小結(jié) 在直角三角形中，當(dāng)銳角A的大小確定時，∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，把∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正切，記作tanA． 六、布置作業(yè) 教材P68-習(xí)題28.1第1題 28．1 銳角三角函數(shù)（3） 教學(xué)目標(biāo)： 1、知識與技能：能推導(dǎo)并熟記30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并能根據(jù)這些值說出對應(yīng)的銳角度數(shù)．能熟練計算含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)的運(yùn)算式． 2、過程與方法：讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等過程，知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值，并且進(jìn)行運(yùn)算． 3、情感態(tài)度與價值觀：通過銳角三角函數(shù)基本性質(zhì)的探索活動，進(jìn)一步發(fā)展空間觀察，增強(qiáng)審美意識． 教學(xué)重點(diǎn)： 熟記30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，能熟練計算含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)的運(yùn)算式． 教學(xué)難點(diǎn)： 30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的推導(dǎo)過程． 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)舊知、引入新課 【引入】還記得我們推導(dǎo)正弦關(guān)系的時候所得結(jié)論嗎？即， 你還能推導(dǎo)出的值及30°、45°、60°角的其它三角函數(shù)值嗎？ 二、探索新知 【活動】30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的推導(dǎo) 【探索】1.讓學(xué)生畫30°、45°、60°的直角三角形,分別求出它們的三角函數(shù)值。 歸納結(jié)果 30° 45° 60° siaA cosA tanA 三、例題講解 例1 （教材P66-例3）求下列各式的值： （1）cos260°+sin260°． （2）-tan45°． 教師以提問方式一步一步解上面兩題．學(xué)生回答，教師板書． 例2 （教材P66-例2） （1） 如圖28．1-9（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=， 求∠A的度數(shù)． （2）如圖28．1-9（2），已知圓錐的高AO等于圓錐的底面半徑OB的倍，求a． 圖28.1-9（1） 圖28.1-9（2） 教師分析解題方法：要求一個直角三角形中一個銳角的度數(shù)，可以先求它的某一個三角函數(shù)的值，如果這個值是一個特殊解，那么我們就可以求出這個角的度數(shù)． 四、課堂練習(xí) 教材P67-練習(xí)第1、2題 五、課時小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握：30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并且進(jìn)行計算； 六、布置作業(yè) 教材P68-習(xí)題28.1第3題 28．1 銳角三角函數(shù)（4） 教學(xué)目標(biāo)： 1、知識與技能：讓學(xué)生熟識計算器一些功能鍵的使用，會熟練運(yùn)用計算器求銳角的三角函數(shù)值和由三角函數(shù)值來求角． 2、過程與方法：自己熟悉計算器，在老師的知道下求一般銳角三角函數(shù)值． 3、情感態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生通過獨(dú)立思考，自主探究和合作交流進(jìn)一步體會函數(shù)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，獲得知識，體驗(yàn)成功，享受學(xué)習(xí)樂趣． 教學(xué)重點(diǎn)： 運(yùn)用計算器處理三角函數(shù)中的值或角的問題． 教學(xué)難點(diǎn)： 正、余弦概念隱含角度與數(shù)之間具有一一對應(yīng)的函數(shù)思想，又用含幾個字母的符號組來表示，在教學(xué)中應(yīng)作為難點(diǎn)處理． 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)舊知、引入新課 【引入】 通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)我們知道，當(dāng)銳角A是特殊角時，可以求得這些角的正弦、余弦、正切值；如果銳角A不是這些特殊角，怎樣得到它的三角函數(shù)值呢？ 我們可以用計算器來求銳角的三角函數(shù)值。 二、探索新知 【活動一】用計算器求銳角的正弦、余弦、正切值 利用計算器求下列三角函數(shù)值（這個教師可完全放手學(xué)生去完成，教師只需巡回指導(dǎo)） sin37°24′，sin37°23′， cos21°28′， cos38°12′ tan52°； tan36°20′； tan75°17′； 【活動二】熟練掌握用科學(xué)計算器由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角. 例如：sinA=0.9816.∠A＝ ； cosA＝0.8607，∠A＝ ； tanA＝0.1890，∠A= ； tanA＝56.78，∠A＝ 。 三、例題講解 例1．求下列各式的值： （1）sin42°31′ （2）cos33°18′24″ （3）tan55°10′ 例2．根據(jù)所給條件求銳角α． （1）已知sinα=0.4771，求α．（精確到1″） （2）已知cosα=0.8451，求α．（精確到1″） （3）已知tanα=1.4106，求α．（精確到1″） 例3．等腰三角形ABC中，頂角∠ACB=108°，腰AC=10m，求底邊AB的長及等腰三角形的面積．（邊長精確到1cm） 四、課堂練習(xí) 教材P68-練習(xí)第1、2題 五、課時小結(jié)： 本節(jié)課應(yīng)掌握：已知角度求正弦值用sin鍵；已知正弦值求小于90°的銳角用2ndf sin鍵，對于余弦與正切也有相類似的求法． 六、布置作業(yè) 教材P68-習(xí)題28.1第5題 28．2．1 解直角三角形   教學(xué)目標(biāo)： 1、知識與技能：使學(xué)生理解直角三角形中五個元素的關(guān)系，會運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形．通過綜合運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力． 2、過程與方法：通過綜合運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．． 3、情感態(tài)度與價值觀：滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣． 教學(xué)重點(diǎn)： 直角三角形的解法． 教學(xué)難點(diǎn)： 三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運(yùn)用． 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)舊知、引入新課 【引入】我們一起來解決關(guān)于比薩斜塔問題。 見課本在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m． sinA =≈0.0954． 所以∠A≈5°08′． 二、探索新知 【活動一】理解直角三角形的元素 【提問】 在三角形中共有幾個元素？什么叫解直角三角形？ 總結(jié)：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5個元素，既3條邊和2個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形。   【活動二】直角三角形的邊角關(guān)系 直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B這五個元素間有哪些等量關(guān)系呢？ (1)邊角之間關(guān)系 如果用表示直角三角形的一個銳角，那上述式子就可以寫成. (2)三邊之間關(guān)系   a2 +b2 =c2 (勾股定理)  (3)銳角之間關(guān)系∠A+∠B=90°．   以上三點(diǎn)正是解直角三角形的依據(jù)，通過復(fù)習(xí)，使學(xué)生便于應(yīng)用． 三、例題講解 例1：（教材P73-例1）在△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，解這個三角形． 解：略  解直角三角形的方法很多，靈活多樣，學(xué)生完全可以自己解決，但例題具有示范作用．因此，此題在處理時，首先，應(yīng)讓學(xué)生獨(dú)立完成，培養(yǎng)其分析問題、解決問題能力，同時滲透數(shù)形結(jié)合的思想．其次，教師組織學(xué)生比較各種方法中哪些較好，選一種板演． 例2：（教材P73-例2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B =35，b=20，解這個三角形（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．  引導(dǎo)學(xué)生思考分析完成后，讓學(xué)生獨(dú)立完成。  在學(xué)生獨(dú)立完成之后，選出最好方法，教師板書。 總結(jié)：完成之后引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)“已知一邊一角，如何解直角三角形？”   四、課堂練習(xí) 教材P74-練習(xí) 五、課時小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．理解直角三角形的邊角之間的關(guān)系、邊之間的關(guān)系、角的關(guān)系； 2．解決有關(guān)問題； 六、布置作業(yè) 教材P77-習(xí)題28.2第1、2題 28．2.2 應(yīng)用舉例（1） 教學(xué)目標(biāo)： 1、知識與技能：使學(xué)生會把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，從而會把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決．逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力． 2、過程與方法：通過綜合運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．注意加強(qiáng)知識間的縱向聯(lián)系． 3、情感態(tài)度與價值觀：滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣． 教學(xué)重點(diǎn)： 要求學(xué)生善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形元素之間的關(guān)系，從而利用所學(xué)知識把實(shí)際問題解決． 教學(xué)難點(diǎn)： 實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)舊知、引入新課 【復(fù)習(xí)引入】 1．直角三角形中除直角外五個元素之間具有什么關(guān)系？請學(xué)生口答． 2、在Rt△ABC中已知a=12 ,c=13 求角B應(yīng)該用哪個關(guān)系？請計算出來。 二、探索新知 【活動】例：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端.梯子與地面所成的角一般要滿足， (如圖).現(xiàn)有一個長6m的梯子，問: (1)使用這個梯子最高可以安全攀上多高的墻(精確到0. 1 m)  (2)當(dāng)梯子底端距離墻面2.4 m時，梯子與地面所成的角等于多少(精確到1o) 這時人是否能夠安全使用這個梯子  引導(dǎo)學(xué)生先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型 然后分析提出的問題是數(shù)學(xué)模型中的什么量 在這個數(shù)學(xué)模型中可用學(xué)到的什么知識來求 未知量？ 幾分鐘后，讓一個完成較好的同學(xué)示范。 三、例題講解 例1 （教材P74-例3） 2012年6月18日“神舟”九號載人航天飛船與“天宮”一號目標(biāo)飛行器成功實(shí)現(xiàn)交匯對接。“神州”九號與“天宮”一號的組合體在離地球表面343km的圓形軌道上運(yùn)行.如圖，當(dāng)組合體運(yùn)行到地球表面上P點(diǎn)的正上方時，從中能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)在什么位置？最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的距離是多少?(地球半徑約為6 400 km，π取3.142，結(jié)果取整數(shù)) 分析:從組合體上能最遠(yuǎn)直接看到的地球上的點(diǎn)，是視線與地球相切時的切點(diǎn).如圖,⊙O表示地球，點(diǎn)F是飛船的位置，F(xiàn)Q是⊙O的切線，切點(diǎn)Q是從飛船 觀測地球時的最遠(yuǎn)點(diǎn). 弧PQ的長就是地面上P, Q兩點(diǎn)間的距離.為計算弧PQ的長需先求出。 解：略 例2 （教材P75-例4）熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30o，看這棟離樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120 m.這棟高樓有多高(結(jié)果結(jié)果取整數(shù))? 分析：（1）可以先把上面實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，畫出直角三角形。（2）在中，，.所以可以利用解直角三角形的知識求出BD;類似地可以求出CD，進(jìn)而求出BC. 四、課堂練習(xí) 教材P76-練習(xí)第1、2題 五、課時小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1、把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，從而會把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決． 2、歸結(jié)為直角三角形元素之間的關(guān)系，從而利用所學(xué)知識把實(shí)際問題解決． 六、布置作業(yè) 教材P77-習(xí)題28.2第3、4題 28．2.2 應(yīng)用舉例（2） 教學(xué)目標(biāo)： 1、知識與技能：使學(xué)生了解方位角的命名特點(diǎn)，能準(zhǔn)確把握所指的方位角是指哪一個角，鞏固用三角函數(shù)有關(guān)知識解決問題，學(xué)會解決方位角問題． 2、過程與方法：學(xué)會這樣分析問題．逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法． 3、情感態(tài)度與價值觀：體會用三角函數(shù)有關(guān)知識解決問題，學(xué)會解決方位角問題，提高學(xué)生的興趣。 教學(xué)重點(diǎn)： 用三角函數(shù)有關(guān)知識解決方位角問題 教學(xué)難點(diǎn)： 學(xué)會準(zhǔn)確分析問題并將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)舊知、引入新課 【復(fù)習(xí)】 1、叫同學(xué)們在練習(xí)薄上畫出方向圖（表示東南西北四個方向的）。 2、依次畫出表示東南方向、西北方向、北偏東65度、南偏東34度方向的射線 二、例題講解 例 （教材P76-例5）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65 方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈 塔P的南偏東34 方向上的B處.這時，這時，當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東340方向時，它距離燈塔P大約130.23海里.海輪 所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)(精確到0.01海里)? 解：略 三、課堂練習(xí) 教材P77-練習(xí)第1、2題 四、課時小結(jié) 利用解直角三角形的知識解決實(shí)際問題的一般過程是： 1．將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）． 2．根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形． 3．得到數(shù)學(xué)問題的答案． 4．得到實(shí)際問題的答案． 五、布置作業(yè) 教材P77-習(xí)題28.2第5、6題 致力于打造全網(wǎng)一站式需求,為大家助力 來源網(wǎng)絡(luò)僅供參考 歡迎您下載我們的文檔 致力于打造全網(wǎng)一站式需求,為大家助力 來源網(wǎng)絡(luò)僅供參考 歡迎您下載我們的文檔 20 .