中檔題型訓(xùn)練(五)圓的有關(guān)計算、證明與探究命題規(guī)律圓的有關(guān)計算與證明是懷化中考的必考內(nèi)容之一，占有較大的比重，通常結(jié)合三角形、四邊形等知識綜合考查，以計算題、證明題的形式出現(xiàn)，解答此類問題要熟練掌握圓的基本性質(zhì)，特別是切線的性質(zhì)和判定，同時要注意已知條件之間的相互聯(lián)系命題預(yù)測預(yù)計2017年懷化中考將以切線的判定與性質(zhì)、求陰影的面積或弧長綜合呈現(xiàn)，也可能設(shè)置考查某一個點的形式呈現(xiàn).與圓有關(guān)的性質(zhì)【例1】(2015黔西南中考)如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于點E，點P在O上，1C.(1)求證：CBPD；(2)若BC3，sinP，求O的直徑【解析】(1)通過圓周角轉(zhuǎn)換找出一組內(nèi)錯角相等；(2)通過連接直徑所對圓周角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)解決直徑問題【學(xué)生解答】解：(1)CP，1C，1P，CBPD；(2)連接AC，AB為O的直徑，ACB90.又CDAB，.PCAB.sinCABsinP，即.又BC3，AB5.O的直徑為5.1(2016蘇州中考)如圖，AB是O的直徑，D，E為O上位于AB異側(cè)的兩點，連接BD并延長至點C，使得CDBD，連接AC交O于點F，連接AE，DE，DF.(1)證明：EC；(2)若E55，求BDF的度數(shù)；(3)設(shè)DE交AB于點G，若DF4，cosB，E是的中點，求EGED的值解：(1)連接AD，AB是O的直徑，ADB90，即ADBC.CDBD，AD垂直平分BC，ABAC，BC.又BE，EC；(2)四邊形AEDF是O的內(nèi)接四邊形，AFD180E.又CFD180AFD，CFDE55.又EC55，BDFCCFD110；(3)連接OE，CFDEC，F(xiàn)DCDBD4.在RtABD中，cosB，BD4，AB6.E是的中點，AB是O的直徑，AOE90.AOOE3，AE3.E是的中點，ADEEAB，AEGDEA，即EGEDAE218.圓的切線的性質(zhì)與判定【例2】(2015雅安中考)如圖，AB是O的直徑，BC為O的切線，D為O上的一點，CDCB，延長CD交BA的延長線于點E.(1)求證：CD為O的切線；(2)若BD的弦心距OF1，ABD30，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留)【解析】(1)證ODCABC90；(2)在RtOBF中，ABD30，OF1，可求得BD的長，BOD的度數(shù)，又由S陰影S扇形OBDSBOD，即可求解【學(xué)生解答】解：(1)連接OD，BC是O的切線，ABC90.CDCB，CBDCDB.OBOD，OBDODB.ODCABC90，即ODCD.點D在O上，CD為O的切線；(2)在RtOBF中，ABD30，OF1，BOF60，OB2，BF.OFBD，BD2BF2，BOD2BOF120.S陰影S扇形OBDSBOD21.2(2016黃石中考)如圖，O的直徑為AB，點C在圓周上(異于A，B)，ADCD.(1)若BC3，AB5，求AC的值；(2)若AC是DAB的平分線，求證：直線CD是O的切線解：(1)AB是O直徑，點C在O上，ACB90.BC3，AB5，AC4；(2)連接OC，AC是DAB的平分線，DACBAC.又ADDC，ADCACB90，ADCACB，DCACBA.又OAOC，OACOCA，OACOBC90，OCAACDOCD90，DC是O的切線3(2015臨沂中考)如圖，點O為RtABC斜邊AB上一點，以O(shè)A為半徑的O與BC切于點D，與AC交于點E，連接AD.(1)求證：AD平分BAC；(2)若BAC60，OA2，求陰影部分的面積(結(jié)果保留)解：(1)O切BC于點D，ODBC，ACBC，ACOD，CADADO，OAOD，OADADO，OADCAD，即AD平分CAB；(2)設(shè)EO與AD交于點M，連接ED.BAC60，OAOE，AEO是等邊三角形，AEOA，AOE60，AEAOOD，又由(1)知，ACOD即AEOD，四邊形AEDO是菱形，則AEMDOM，EOD60，SAEMSDMO，S陰影S扇形EOD.4(2016白銀中考)如圖，在ABC中，ABAC，點D在BC上，BDDC，過點D作DEAC，垂足為點E，O經(jīng)過A，B，D三點(1)求證：AB是O的直徑；(2)判斷DE與O的位置關(guān)系，并加以證明；(3)若O的半徑為3，BAC60，求DE的長解：(1)連接AD，在ABC中，ABAC，BDDC，ADBC，ADB90，AB為O的直徑；(2)DE與O相切證明：連接OD，AOBO，BDDC，OD為ABC的中位線，ODAC.又DEAC，DEOD，DE是O的切線；(3)AO3，AB6.又ABAC，BAC60，ABC為等邊三角形，AD3.ACDECDAD，6DE33，DE.圓與相似及三角函數(shù)的綜合【例3】(2015資陽中考)如圖，AB是O的直徑，過點A作O的切線并在其上取一點C，連接OC交O于點D，BD的延長線交AC于點E，連接AD.(1)求證：CDECAD；(2)若AB2，AC2，求AE的長【解析】(1)利用圓的知識證角相等得出相似；(2)利用勾股定理及相似知識解決線段長度的計算【學(xué)生解答】解：(1)AB是O的直徑，ADB90，ABDBAD90.又AC是O的切線，ABAC，即BAC90，CADBAD90，ABDCAD.ABDBDOCDE，CADCDE.又CC，CDECAD；(2)在RtOAC中，OAC90，OA2AC2OC2，即12(2)2OC2，OC3，CD2.又由CDECAD，得，即，CE.AEACCE2.5(2016涼山中考)如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于O，A是的中點，AEAC于點A，與O及CB的延長線交于點F，E，且.(1)求證：ADCEBA；(2)如果AB8，CD5，求tanCAD的值解：(1)四邊形ABCD內(nèi)接于O，CDAABE.，DCABAE.ADCEBA；(2)A是的中點，ABAC8.ADCEBA，CADAEC，AE，tanCADtanAEC.