中檔題型訓練(六)直角三角形的應用命題規(guī)律解直角三角形的應用是懷化市中考的必考內(nèi)容之一，它通常以實際生活為背景，考查學生運用直角三角形知識建立數(shù)學模型的能力，解答這類問題的方法是運用“遇斜化直”的數(shù)學思想，即通過作輔助線(斜三角形的高線)把它轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，然后根據(jù)已知條件與未知元素之間的關系，利用解直角三角形的知識，列出方程來求解命題預測預計2017年懷化中考，仍會考此知識點，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)的可能性較大，也可能出現(xiàn)解答題.仰角、俯角問題【例1】(2016廣州中考)如圖，某無人機于空中A處探測到目標B，D.從A處看目標B，D的俯角分別是30，60，此時無人機的飛行高度AC為60 m，隨后無人機從A處繼續(xù)水平飛行30 m到達A處(1)求A，B之間的距離；(2)求從A處看目標D的俯角的正切值【學生解答】解：(1)BAC903060，AC60 m，在RtABC中，有AB120(m)故A，B之間的距離為120 m；(2)過點D作DEAA，交AA的延長線于點E，連接AD，DAC906030，AC60 m，在RtADC中，有CDACtanDAC60tan3020(m)AEDEACC90，四邊形ACDE是矩形EDAC60 m，EACD20 m，在RtAED中，有tanEAD.即從A處看目標D的俯角的正切值為.1(2016瀘州中考)為了測量出樓房AC的高度，從距離樓底C處60 m的點D(點D與樓底C在同一水平面上)出發(fā)，沿斜面坡度為i1的斜坡DB前進30 m到達點B，在點B處測得樓頂A的仰角為53，求樓房AC的高度(參考數(shù)據(jù)：sin530.8，cos530.6，tan53，計算結果用根號表示，不取近似值)解：AC(6015) m.2(2015達州中考)學習“利用三角函數(shù)測高”后，某綜合實踐活動小組實地測量了鳳凰山與中心廣場的相對高度AB，其測量步驟如下：(1)在中心廣場測點C處安置測傾器，測得此時山頂A的仰角AFH30；(2)在測點C與山腳B之間的D處安置測傾器(C，D與B在同一直線上，且C，D之間的距離可以直接測得)，測得此時山頂上紅軍亭頂部E的仰角EGH45；(3)測得測傾器的高度CFDG1.5 m，并測得CD之間的距離為288 m；已知紅軍亭高度EA為12 m，請根據(jù)測量數(shù)據(jù)求出鳳凰山與中心廣場的相對高度AB.(取1.732，結果保留整數(shù))解：設AHx m，在RtEHG中，EGH45，GHEHAEAHx12，GFCD288 m，HFGHGFx12288x300，在RtAHF中，AFH30，AHHFtanAFH，即x(x300)，解得x150(1)ABAHBH409.81.5411(m)答：鳳凰山與中心廣場的相對高度AB大約是411 m.方位角問題【例2】一艘觀光游船從港口A處以北偏東60的方向出港觀光，航行80海里至C處時發(fā)生了側翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號一艘在港口正東方向B處的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東37方向，馬上以40海里/h的速度前往救援，求海警船到達事故船C處所需的大約時間(參考數(shù)據(jù)：sin530.8，cos530.6)【學生解答】解：過點C作CDAB，交AB的延長線于點D.由題意得CAD30，CBD53，AC80海里，CD40海里在RtCBD中，sin53，CB50(海里)行駛時間為1.25(h)答：海警船到達C處大約需1.25 h.3(2016宿遷中考)如圖，大海中某燈塔P周圍10海里范圍內(nèi)有暗礁，一艘海輪在點A處觀察燈塔P在北偏東60方向，該海輪向正東方向航行8海里到達點B處，這時觀察燈塔P恰好在北偏東45方向如果海輪繼續(xù)向正東方向航行，會有觸礁的危險嗎？試說明理由(參考數(shù)據(jù)：1.73)解：過點P作PCAB交AB的延長線于點C.由題意知PAC30，PBC45.設PCx，在RtPBC中，BCx，在RtPCA中，ACx，8xx，x10.92.PC>10，不會觸礁坡度、坡比問題【例3】(2015內(nèi)江中考)如圖，某校綜合實踐活動小組的同學欲測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們在這棵樹正前方一座樓亭的臺階上A點處測得樹頂端D的仰角為30，朝著這棵樹的方向走到臺階下的點C處，測得樹頂端D的仰角為60.已知A點的高度AB為3 m，臺階AC的坡度為1(即ABBC1)，且B，C，E三點在同一條直線上請根據(jù)以上條件求出樹DE的高度(測傾器的高度忽略不計)【學生解答】解：在RtABC中，tanACB，ACB30，BAC60，PAC30，ACD180ACBDCE90，DAC60.在RtABC中，ACB30，AC2AB6.在RtACD中，DCACtanDAC6tan606.在RtCDE中，DEDCsinDCE6sin609(m)答：樹DE的高為9 m.4(2016黃石中考)如圖，為測量一座山峰CF的高度，將此山的某側山坡劃分為AB和BC兩段，每一段山坡近似是“直”的，測得坡長AB800 m，BC200 m，坡角BAF30，CBE45.(1)求AB段山坡的高度EF；(2)求山峰的高度CF.(1.414，結果精確到米)解：(1)EFABsin30400.答：AB段山坡高度為400 m；(2)CEBCsin45100141，CFCEEF541(m)答：山峰CF的高度約為541 m.生活中的解直角三角形問題【例4】(2015紹興中考)如圖，傘不論張開還是收緊，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘架所成的角BAC，當傘收緊時，結點D與點M重合，且點A、E、D在同一條直線上，已知部分傘架的長度(單位：cm)如下：傘架DEDFAEAFABAC長度363636368686(1)求AM的長；(2)當BAC104時，求AD的長(精確到1 cm)(備用數(shù)據(jù)：sin520.788，cos520.615 7，tan521.279 9)【學生解答】解：(1)由題意，得AMAEDE363672(cm)故AM的長為72 cm；(2)AP平分BAC，BAC104，EADBAC52.過點E作EGAD于G，AEDE36，AGDG，AD2AG.在AEG中，AGE90，AGAEcosEAG36cos52360.615722.165 2.AD2AG222.165 244(cm)答：AD的長約為44 cm.5(2015重慶中考)某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中ABCD，大壩頂上有一瞭望臺PC，PC正前方有兩艘漁船M，N.觀察員在瞭望臺頂端P處觀測到漁船M的俯角為31，漁船N的俯角為45.已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為E，且PE長為30 m.(1)求兩漁船M，N之間的距離；(結果精確到1 m)(2)已知壩高24 m，壩長100 m，背水坡AD的坡度i10.25，為提高大壩防洪能力，請施工隊將大壩的背水坡通過填筑土石方進行加固，壩底BA加寬后變?yōu)锽H，加固后背水坡DH的坡度i11.75，施工隊施工10天后，為盡快完成加固任務，施工隊增加了機械設備，工作效率提高到原來的2倍，結果比原計劃提前20天完成加固任務，施工隊原計劃平均每天填筑土石方多少立方米？(參考數(shù)據(jù)：tan310.60，sin310.52)解：(1)在RtPEN中，ENPE30 m，ME50(m)，則MNEMEN20(m)答：兩漁船M，N之間的距離是20 m；(2)過點D作DNAH于點N.由題意得：tanDAB4，tanH.在RtDAN中，AN6(m)，在RtDHN中，HN42(m)故AHHNAN42636(m)SADHAHDN432(m2)故需要填筑的土石方是VSADH10043210043 200(m3)設原計劃平均每天填筑土石方x m3，則原計劃天完成，則增加機械設備后，現(xiàn)在平均每天填筑2x m3.根據(jù)題意，得：10x2x43 200，解得x864.經(jīng)檢驗，x864是原方程的解答：施工隊原計劃平均每天填筑土石方864 m3.相似三角形與圓【例5】(2015六盤水中考)如圖，在RtACB中，ACB90，點O是AC邊上的一點，以O為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點D，連接OD.(1)求證：ADOACB；(2)若O的半徑為1，求證：ACADBC.【學生解答】證明：(1)AB是O的切線，ODAB，ACBADO90，AA，ADOACB；(2)由(1)知：ADOACB，ADBCACOD，OD1，ACADBC.6(2015遂寧中考)如圖，AB為O的直徑，直線CD切O于點D，AMCD于點M，BNCD于點N.(1)求證：ADCABD；(2)求證：AD2AMAB；(3)若AM，sinABD，求線段BN的長解：(1)連接OD，直線CD切O于點D，CDO90，AB為O的直徑，ADB90，CDAADOADOBDO90，CDABDO，OBOD，BDOABD，ADCABD；(2)AMCD，AMDADB90，ADCABD，ADMABD，AD2AMAB；(3)sinABD，sinADM，AM，AD6，AB10，BD8，BNCD，BND90，DBNBDNADMBDN90，DBNADM，sinNBD，DN，BN.