題型五圓的綜合題針對(duì)演練1. 如圖，AB是O的弦，AB4，過(guò)圓心O的直線垂直AB于點(diǎn)D，交O于點(diǎn)C和點(diǎn)E，連接AC、BC、OB，cosACB，延長(zhǎng)OE到點(diǎn)F，使EF2OE.(1)求證：BOEACB; (2)求O的半徑；(3)求證：BF是O的切線第1題圖2. 如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)C為圓外一點(diǎn)，連接AC、 BC，分別與O相交于點(diǎn)D、點(diǎn)E，且，過(guò)點(diǎn)D作DFBC于點(diǎn)F，連接BD、DE、AE.(1)求證：DF是O的切線；(2)試判斷DEC的形狀，并說(shuō)明理由；(3)若O的半徑為5，AC12，求sinEAB的值第2題圖3. (2016長(zhǎng)沙9分)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，對(duì)角線AC為O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接DB，DC，DF.(1)求CDE的度數(shù)；(2)求證：DF是O的切線；(3)若AC2DE，求tanABD的值第3題圖4. (2016德州10分)如圖，O是ABC的外接圓，AE平分BAC交O于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作直線lBC.(1)判斷直線l與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F，求證：BEEF; (3)在(2)的條件下，若DE4，DF3，求AF的長(zhǎng)第4題圖 5. (2015永州)如圖，已知ABC內(nèi)接于O，且ABAC，直徑AD交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)是OE上的一點(diǎn)，使CFBD.(1)求證：BECE；(2)試判斷四邊形BFCD的形狀，并說(shuō)明理由；(3)若BC8，AD10，求CD的長(zhǎng)第5題圖6. (2015省卷24，9分)O是ABC的外接圓，AB是直徑，過(guò)的中點(diǎn)P作O的直徑PG交弦BC于點(diǎn)D，連接AG，CP，PB.(1)如圖，若D是線段OP的中點(diǎn)，求BAC的度數(shù)；(2)如圖，在DG上取一點(diǎn)K，使DKDP，連接CK，求證：四邊形AGKC是平行四邊形；(3)如圖，取CP的中點(diǎn)E，連接ED并延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)H，連接PH，求證：PHAB.第6題圖 7. (2017原創(chuàng))如圖，AB切O于點(diǎn)B，AD交O于點(diǎn)C和點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接OE交CD于點(diǎn)F，連接BE交CD于點(diǎn)G.(1)求證：ABAG；(2)若DGDE，求證：GB2GCGA；(3)在(2)的條件下，若tanD，EG，求O的半徑第7題圖8. (2015達(dá)州)在ABC的外接圓O中，ABC的外角平分線CD交O于點(diǎn)D，F(xiàn)為上一點(diǎn)，且，連接DF，并延長(zhǎng)DF交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)判斷DB與DA的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求證：BCDAFD；(3)若ACM120，O的半徑為5，DC6，求DE的長(zhǎng)第8題圖 9. 如圖，AB為O的直徑，P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切O于點(diǎn)C，CG是O的弦，CGAB，垂足為點(diǎn)D.(1)求證：ACDABC；(2)求證：PCAABC；(3)過(guò)點(diǎn)A作AEPC交O于點(diǎn)E，交CG于點(diǎn)F，連接BE，若sinP，CF5，求BE的長(zhǎng)第9題圖10. (2016大慶9分)如圖，在RtABC中，C90，以BC為直徑的O交斜邊AB于點(diǎn)M，若H是AC的中點(diǎn)，連接MH.(1)求證：MH為O的切線；(2)若MH，tanABC，求O的半徑；(3)在(2)的條件下分別過(guò)點(diǎn)A、B作O的切線，兩切線交于點(diǎn)D，AD與O相切于N點(diǎn)，過(guò)N點(diǎn)作NQBC，垂足為E，且交O于Q點(diǎn)，求線段NQ的長(zhǎng)度第10題圖 11. 如圖，ABC為O的內(nèi)接三角形，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PACB，AD為O的直徑，過(guò)C作CGAD交AD于E，交AB于F，交O于G.(1)判斷直線PA與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求證：AG2AFAB；(3)若O的直徑為10，AC2，AB4，求AFG的面積第11題圖12. (2016鄂州10分)如圖，在RtABC中，ACB90，AO是ABC的角平分線，以O(shè)為圓心，OC為半徑作O.(1)求證：AB是O的切線；(2)已知AO交O于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AO交O于點(diǎn)D，tanD，求的值；(3)在(2)的條件下，設(shè)O的半徑為3，求AB的長(zhǎng)第12題圖【答案】1(1)證明：如解圖，連接OA，第1題解圖CEAB，ADBD2，ACEBCE，AOEBOE，又AOB2ACB，BOEACB；(2)解：cosACB，cosBOD，在RtBOD中，設(shè)ODx，則OB3x，OD2BD2OB2，x222(3x)2，解得x，OB3x，即O的半徑為；(3)證明：FE2OE，OF3OE，BOFDOB，OBFODB，OBFODB90，即OBBF，OB是O的半徑，BF是O的切線2(1)證明：如解圖，連接DO，交AE于點(diǎn)G，則DOBO，第2題解圖ABDODB，ABDEBD，ODBEBD，DOBC，ODFCFD，DFBC，CFD90，ODF90，即ODDF，又OD為O的半徑，DF是O的切線；(2)解：DEC是等腰三角形，理由如下：AB是O的直徑，ADBCDB90，又BDBD，ABDEBD，ABDCBD(ASA)，ADCD.，ADDE，CDDE，DEC是等腰三角形；(3)解：由(2)可知ADAC6，ODAE，ABDDAE，sinDAE.在RtADB中，sinABD，DG3.6，OGODDG1.4，在RtAGO中，sinEAB.3(1)解：AC為O的直徑，ADC90，CDE90；(2分)第3題解圖(2)證明：如解圖，連接OD，CDE90，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，DFCECF，F(xiàn)DCFCD.又ODOC，ODCOCD，ODCFDCOCDFCD，ODFOCF，ECAC，OCF90，ODF90，即ODDF，又OD為O的半徑，DF為O的切線；(5分)(3)解：在ACD與ECA中，ADCACE90，EACCAD，ACDAEC，AC2ADAE，又AC2DE，20DE2(AEDE)AEAE5DE，AD4DE，在RtACD中，AC2AD2CD2，CD2DE，又在O中，ABDACD，tanABDtanACD2. (9分)4(1)解：直線l與O相切理由如下：如解圖，連接OE、OB、OC.第4題解圖AE平分BAC，BAECAE，BOECOE，又OBOC，OEBC，lBC，OEl，又OE為O的半徑，直線l與O相切；(3分)(2)證明：BF平分ABC，ABFCBF，又CBECAEBAE，CBECBFBAEABF.又EBFCBECBF，EFBBAEABF，EBFEFB，BEEF；(6分)(3)解：BEEF，DE4，DF3，BEEFDEDF7，DBEBAE，DEBBEA，BEDAEB，即，解得AE，(9分)AFAEEF7.(10分)5(1)證明：AD是O的直徑，ABDACD90，在RtABD和RtACD中，RtABDRtACD(HL)，BADCAD，ABAC，AD垂直平分BC，BECE；(2)解：四邊形BFCD是菱形理由如下：AD是O的直徑，ABAC，ADBC，BECE，CFBD，F(xiàn)CEDBE，在BED和CEF中，BEDCEF(ASA)，BDCF，四邊形BFCD是平行四邊形，BADCAD，BDCD，四邊形BFCD是菱形；(3)解：AD是O的直徑，ADBC，BECE，ECDCAE，AECDEC90，RtCDERtACE，CE2DEAE，設(shè)DEx，則AEADDE10x，BC8，CEBC4，42x(10x)，解得x2或x8(舍去)，在RtCED中，CD2.6(1)解：點(diǎn)P為的中點(diǎn)，PG為O的直徑，BPPC，PGBC，CDBD，ODB90，D為OP的中點(diǎn)，ODOPOB，OBD30，AB為O的直徑，ACB90，BAC60；(3分)(2)證明：由(1)知，CDBD，在PDB和KDC中，PDBKDC(SAS)，BPCK，BPOCKD，AOGBOP，AGBP，AGCK，OPOB，OBPBPO，又GOBP，GBPOCKD，AGCK，四邊形AGKC是平行四邊形；(6分)(3)證明：CEPE，CDBD，DEPB，即DHPB，GBPO，PBAG，DHAG，OAGOHD，GODH.OAOG，OAGG，ODHOHD，ODOH，在OBD和OPH中，OBDOPH(SAS)，OHPODB90，PHAB. (9分)7(1)證明：如解圖，連接OB，第7題解圖AB為O的切線，OBAB，ABGOBG90，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，OECD，OEGFGE90，又OBOE，OBGOEG，ABGFGE，BGAFGE，ABGBGA，ABAG；(2)證明：如解圖，連接BC，DGDE，DGEDEG，由(1)得ABGBGA，又BGADGE，AGDE，GBCGDE，GBCA，BGCAGB，GBCGAB，GB2GCGA；(3)解：如解圖，連接OD，在RtDEF中，tanEDF，設(shè)EF3x，則DF4x，由勾股定理得DE5x，DGDE，DG5x，GFDGDFx.在RtEFG中，由勾股定理得GF2EF2EG2，即x2(3x)2()2，解得x1，設(shè)O半徑為r，在RtODF中，ODr，OFr3，DF4，由勾股定理得OF2FD2OD2，即(r3)242r2，解得r，O的半徑為.8(1)解：DBDA.理由如下：CD平分ACM，MCDACD，ACD和ABD都是所對(duì)的圓周角，ACDABD，MCDABD，又MCDBAD，BADABD，DBDA； (2)證明：如解圖，連接AF，第8題解圖ADBD，AFBC，DFDC，在BCD和AFD中，BCDAFD(SSS)；(3)解：ACM120，MCDACD60，ABDBADBDA60，ABD是等邊三角形，如解圖，連接DO并延長(zhǎng)與AB交于點(diǎn)G，則ADO30，過(guò)點(diǎn)O作OHAD于點(diǎn)H，則AD2DH2ODcos305，ADFDAFAFEACD60，ADEEBAD60，DAFE，ADFEDA，ADFEDA，DE，DFDC6，DA5，DE.9(1)證明：AB是O直徑，ACB90，CGAB，ADCACB90，CADBAC，ACDABC； (2)證明：如解圖，連接OC.第9題解圖PC切O于點(diǎn)C，OCPC，PCO90，PCAOCA90，ACB90，ABCOAC90，OCOA，OCAOAC，PCAABC；(3)解：AEPC，PCACAF，ABCG，ABCACF，PCAABC，CAFABC，ACFCAF，F(xiàn)AFC，CF5，AF5，AEPC，F(xiàn)ADP，sinP，sinFAD，F(xiàn)D3，AD4，CD8，在RtCOD中，設(shè)COr，則有r2(r4)282，r10，AB2r20，AB是O的直徑，AEB90，sinEAB，BE12.10(1)證明：如解圖，連接OM、CM，第10題解圖BC為O的直徑，AMCBMC90，H是AC的中點(diǎn)，HCHMAC，HMCHCM，OMOC，OMCOCM，OMHOCH，ACB90OCH，OMH90，即OMMH，又OM為O的半徑，MH為O的切線；(3分)(2)解：MH，AC2MH3，在RtABC中，tanABC，BC4，故O的半徑為2；(5分)(3)解：如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DPAC于點(diǎn)P，連接ON，第10題解圖則DPBC4，BDPC，設(shè)DBDNx，則AP3x，ANAC3，ADx3.在RtADP中，由勾股定理得，(x3)2(3x)242，解得x，DNBD，AD，QNBC，ACBC，BDBC，ACNQDB，即，BE，OEOBBE，EN，NQ2EN.(9分)11(1)解：直線PA與O相切理由如下：AD為O的直徑， CGAD ，AD垂直且平分CG，ACAG，ACGAGC，AGCB，PACB，PACACG，PACG，CGAD，PAAD，又AD為O的直徑直線PA是O的切線；【一題多解】如解圖，連接DC，第11題解圖則BADC，AD是O的直徑，ACD90，ADCDAC90.又PACB，ADCPAC，PACDAC90，即DAPA，PA是O的切線(2)證明：由垂徑定理得，ACGB，CABFAC，ABCACF，AC2AFAB，又ACAG，AG2AFAB；【一題多解】此題還可以通過(guò)連接BG，證明GABFAG，從而證得AG2AFAB.(3)解：由(2)得AG2AFAB，AGAC2，AB4，(2)24AF，AF，如解圖，連接BD，則ABD90，第11題解圖由勾股定理得BD2，AEFABD90，EAFBAD，AEFABD，AE2，EF1，在RtACE中，由勾股定理，得CE2AC2AE2，CE 4，CEEG，EG4，F(xiàn)GEGEF 413，.12(1)證明：如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OFAB于點(diǎn)F，第12題解圖AO平分CAB，OCAC，垂足為點(diǎn)F，OFOC，即OF為O的半徑，AB是O的切線；(3分) (2)解：如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DPAC交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，ACB90，DPAC，CODP，OCOD，OCDODCCDP，tanCDO，tanOCD.連接DQ，設(shè)DQa，則CD2a，CQa，COODOE，在RtCPD中，設(shè)CPb，則DP2b，CDb，ba，則PCa ，PDa，CODP，ACOAPD，即，解得ACa，AOa，AEAOOEaa，；(7分)(3)解：由(2)知，設(shè)AEc，則AC2c，在RtACO中，(2c)232(c3)2，解得c2，AFAC2c4，在BFO和BCA中，BFOBCA，設(shè)BFx，BOy， ，解得：x，y，ABAFBF4. (10分)