中檔題型訓(xùn)練(四)三角形、四邊形中的相關(guān)證明及計(jì)算命題規(guī)律縱觀近7年懷化市中考題，三角形常與旋轉(zhuǎn)、折疊、平移等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來考查；四邊形中要特別關(guān)注平行四邊形、矩形、菱形和正方形的性質(zhì)和判定，以及運(yùn)用其性質(zhì)解決有關(guān)計(jì)算的問題.命題預(yù)測(cè)根據(jù)懷化命題趨勢(shì)，此考點(diǎn)為必考，仍然是以大題形式呈現(xiàn)，一般設(shè)兩問，一問證明，一問解答，也可能大問都是證明.三角形的有關(guān)計(jì)算及證明【例1】如圖，在ABC中，ACB90，ACBC，E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作ADAB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.CG平分ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且ACFCBG.求證：(1)AFCG；(2)CF2DE.【解析】(1)要證明AFCG，可以利用“ASA”證明ACFCBG來得到；(2)要證明CF2DE，由(1)得CFBG，則只要證明BG2DE，又利用AEDCEG可得DG2DE，再證明DGBG即可【學(xué)生解答】證明：(1)ACB90，CG平分ACB，ACBC.BCGCAB45.又ACFCBG，ACBC，ACFCBG(ASA)，CFBG，AFCG；(2)延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)H.ACBC，CG平分ACB，CHAB，H為AB中點(diǎn)又ADAB，CHAD，又H為AB的中點(diǎn)，G為BD中點(diǎn)，BGDG，DEGC.E為AC中點(diǎn)，AEEC.又AEDCEG，AEDCEG(AAS)，DEEG，DG2DE，BGDG2DE.由(1)得CFBG，CF2DE.1(2016寧夏中考)在等邊ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，若CD2，過點(diǎn)D作DEAB，過點(diǎn)E作EFDE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求EF的長(zhǎng)解：ABC是等邊三角形，ABACB60.DEAB，EDCB60，DECA60，EDC是等邊三角形，DEDC2.EFDE，DEF90.RtDEF中，EFDEtan 602.2(2016龍巖中考)已知ABC是等腰三角形，ABAC.(1)特殊情形：如圖1，當(dāng)DEBC時(shí)，有DB_EC；(選填“>”“<”或“”)(2)發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0<<180)到圖2位置，則(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由(3)拓展運(yùn)用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，ACB90，且PB1，PC2，PA3，求BPC的度數(shù)解：(2)成立證明：由易知ADAE，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知DABEAC.又ABAC，DABEAC，DBCE；(3)如圖，將CPB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90到CEA，連接PE，則CPBCEA，CECP2，AEBP1，PCE90，CEPCPE45.在RtPCE中，PE2，在PEA中，PE2(2)28，AE2121，PA2329.PE2AE2AP2，PEA是直角三角形且PEA90，CEA135.又CPBCEA，BPCCEA135.3如圖，在ABC中，BAC90，ABAC，ADBC，垂足是點(diǎn)D，AE平分BAD，交BC于點(diǎn)E.在ABC外有一點(diǎn)F，使FAAE，F(xiàn)CBC.(1)求證：BECF；(2)在AB上取一點(diǎn)M，使BM2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME.求證：MEBC；DEDN.證明：(1)BAC90，ABAC，BACB45.FCBC，BCF90.ACF904545，BACF.BAC90，F(xiàn)AAE，BAECAE90，CAFCAE90，BAECAF.在ABE和ACF中，ABEACF(ASA)BECF；(2)過點(diǎn)E作EHAB于點(diǎn)H，則BEH是等腰直角三角形HEBH，BEH45.AE平分BAD，ADBC，DEHE，DEBHHE.BM2DE，HEHM，HEM是等腰直角三角形，MEH45，BEM454590，MEBC；由題意得CAE454567.5，CEA1804567.567.5，CAECEA67.5，ACCE.在RtACM和RtECM中，RtACMRtECM(HL)，ACMECM4522.5.又DAE4522.5，DAEECM.BAC90，ABAC，ADBC，ADCDBC.在ADE和CDN中，ADECDN(ASA)，DEDN.四邊形的有關(guān)計(jì)算及證明【例2】(2014邵陽中考)準(zhǔn)備一張矩形紙片，按如圖所示操作：將ABE沿BE翻折，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的M點(diǎn)；將CDF沿DF翻折，使點(diǎn)C落在對(duì)角線BD上的N點(diǎn)(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形；(2)若四邊形BFDE是菱形，AB2，求菱形BFDE的面積【解析】(1)由矩形及翻折的性質(zhì)可證得EDMFBN，從而證出四邊形BFDE是平行四邊形；(2)由菱形及矩形的性質(zhì)得出ABEDBEDBC30，利用銳角三角函數(shù)可求出AE，BE，進(jìn)而求出AD，DE，即可求出菱形BFDE的面積【學(xué)生解答】解：(1)四邊形ABCD是矩形，AC90，ABCD.由翻折得：BMAB，DNDC，AEMB，CDNF，BMDN，EMBDNF90，BNDM，EMDFNB90.ADBC，EDMFBN，EDMFBN(ASA)，EDBF，又EDBF，四邊形BFDE是平行四邊形；(2)四邊形BFDE是菱形，EBDFBD.ABEEBD，ABC90，ABE9030.在RtABE中，AB2，AE，BE，ED，S菱形EDAB2.4(2016哈爾濱中考)已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，AQBE于點(diǎn)Q，DPAQ于點(diǎn)P.(1)求證：APBQ；(2)在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中四對(duì)線段，使每對(duì)中較長(zhǎng)線段與較短線段長(zhǎng)度的差等于PQ的長(zhǎng)解：(1)四邊形ABCD為正方形，ABAD，DAB90，BAQDAP90.DPAQ，APD90，ADPDAP90，ADPBAQ.AQBE，AQB90，APDAQB，DAPABQ，APBQ；(2)AQ與AP，DP與AP，AQ與BQ，DP與BQ.5(2016畢節(jié)中考)如圖，已知ABC中，ABAC，把ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到ADE，連接BD，CE交于點(diǎn)F.(1)求證：AECADB；(2)若AB2，BAC45，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，求BF的長(zhǎng)解：(1)由旋轉(zhuǎn)知ABCADE且ABAC，AEAD，ACAB，BACBAEDAEBAECAEDAB，在AEC和ADB中，AECADB(SAS)；(2)四邊形ADFC是菱形且BAC45，DBABAC45，而ABAD，DBABDA45，ABD是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，BD22AB2.BD2.又四邊形ADFC是菱形，ADDFFCACAB2，BFBDDF22.6(2016棗莊中考)如圖，把EFP放置在菱形ABCD中，使得頂點(diǎn)E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上，已知EPFP6，EF6，BAD60，且AB>6.(1)求EPF的大小；(2)若AP10，求AEAF的值；(3)若EFP的三個(gè)頂點(diǎn)E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出AP長(zhǎng)的最大值和最小值解：(1)EPF120；(2)過P點(diǎn)作PMAB于點(diǎn)M，PNAD于點(diǎn)N.AC為菱形ABCD的對(duì)角線，DACBAC，AMAN，PMPN.在RtPME和RtPNF中，PMPN，PEPF，RtPMERtPNF，MENF.又AP10，PAMDAB30，AMANAPcos30105，AEAF(AMME)(ANNF)AMAN10；(3)如圖，當(dāng)EFP的三個(gè)頂點(diǎn)E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在P1P2之間運(yùn)動(dòng)，易知P1OP2O3，AO9，AP的最大值為12，AP的最小值為6.