2015-2016學(xué)年山東省菏澤市單縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個選項A、B、C、D中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項選出來并填在該題相應(yīng)的括號內(nèi)）1如果兩個相似三角形的相似比是1：2，那么它們的面積比是（）A1：2B1：4C1：D2：12在ABC中，C=90，sinA=，則sinB的值是（）ABCD3如圖，AB是O的直徑，ACD=15，則BAD的度數(shù)為（）A15B30C60D754如圖所示，給出下列條件：B=ACD；ADC=ACB；AC2=ADAB其中單獨能夠判定ABCACD的個數(shù)為（）A1B2C3D45在ABC中，若cosA=，tanB=，則這個三角形一定是（）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三角形6如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中ABC相似的是（）ABCD7如圖，BC是O的直徑，P是CB延長線上一點，PA切O于點A，如果PA=4，PB=2，那么線段BC的長等于（）A3B4C5D68如圖，在半徑為6cm的O中，點A是劣弧的中點，點D是優(yōu)弧上一點，且D=30，下列四個結(jié)論：OABC；BC=6；sinAOB=；四邊形ABOC是菱形其中正確結(jié)論的序號是（）ABCD二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得3分）9等腰三角形底邊長10cm，周長為36cm，則一底角的正切值為10弧長為6的弧所對的圓心角為60，則該弧所在圓的半徑是11將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是12如圖，平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點，AE交BD于點F，如果，則=13如圖，AB、AC是O的兩條切線，切點分別為B、C，D是優(yōu)弧BC上的一點，已知BAC=80，那么BDC=度14如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，頂點A、C分別在x，y軸的正半軸上點Q在對角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長CQ交邊AB于點P則點P的坐標(biāo)為三、解答題（本大題共7個小題，共78分）解答應(yīng)寫出必要的證明過程或演算步驟15計算：tan30sin60+cos230sin245tan4516如圖，ABC中，DEBC，DE=1，AD=2，DB=3，求BC的長17如圖是以ABC的邊AB為直徑的半圓O，點C恰好在半圓上，過C作CDAB交AB于D已知cosACD=，BC=4，求AC的長18如圖，ABC的三頂點分別為A（4，4），B（2，2），C（3，0）請畫出一個以原點O為位似中心，且與ABC相似比為的位似圖形A1B1C1，并寫出A1B1C1各頂點的坐標(biāo)（只需畫出一種情況，A1B1：AB=）19如圖1表示一個時鐘的鐘面垂直固定與水平桌面上，其中分針上有一點A，且當(dāng)鐘面顯示3點30分時，分針垂直與桌面，A點距桌面的高度為10公分如圖2，若此鐘面顯示3點45分時，A點距離桌面的高度為16公分，則鐘面顯示3點50分時，A點距桌面的高度為多少公分？20如圖，小明為測量某鐵塔AB的高度，他在離塔底B的10米C處測得塔頂?shù)难鼋?43，已知小明的測角儀高CD=1.5米，求鐵塔AB的高（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin43=0.6820，cos43=0.7314，tan43=0.9325）21如圖，以線段AB為直徑的O交線段AC于點E，點M是的中點，OM交AC于點D，BOE=60，cosC=，BC=2（1）求A的度數(shù)；（2）求證：BC是O的切線；（3）求MD的長度22釣魚島自古以來就是我國的神圣領(lǐng)土，為維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)利，我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島 海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理如圖，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時船C與船B的距離是多少（結(jié)果保留根號）23在矩形ABCD中，DC=2，CFBD分別交BD、AD于點E、F，連接BF（1）求證：DECFDC；（2）當(dāng)F為AD的中點時，求sinFBD的值及BC的長度24（12分）如圖，在RtABC中，斜邊BC=12，C=30，D為BC的中點，ABD的外接圓O與AC交于F點，過A作O的切線AE交DF的延長線于E點（1）求證：AEDE；（2）計算：ACAF的值2015-2016學(xué)年山東省菏澤市單縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個選項A、B、C、D中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項選出來并填在該題相應(yīng)的括號內(nèi)）1如果兩個相似三角形的相似比是1：2，那么它們的面積比是（）A1：2B1：4C1：D2：1【考點】相似三角形的性質(zhì)【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出【解答】解：兩個相似三角形的相似比是1：2，（1：2）2=1：4故選B【點評】本題是一道考查相似三角形性質(zhì)的基本題目，比較簡單2在ABC中，C=90，sinA=，則sinB的值是（）ABCD【考點】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系【分析】根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系：sin2A+sin2B=1解答【解答】解：在RtABC，C=90，A+B=90，sin2A+sin2B=1，sinB0，sinA=，sinB=故選：C【點評】本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，掌握sin2A+sin2B=1是解題的關(guān)鍵3如圖，AB是O的直徑，ACD=15，則BAD的度數(shù)為（）A15B30C60D75【考點】圓周角定理【專題】壓軸題【分析】由AB是圓的直徑，則ADB=90，由圓周角定理知，ABD=ACD=15，即可求BAD=90B=75【解答】解：連接BD，AB是圓的直徑，ADB=90，ABD=ACD=15，BAD=90ABD=75故選：D【點評】本題考查了直徑對的圓周角定理是直角和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半4如圖所示，給出下列條件：B=ACD；ADC=ACB；AC2=ADAB其中單獨能夠判定ABCACD的個數(shù)為（）A1B2C3D4【考點】相似三角形的判定【分析】由圖可知ABC與ACD中A為公共角，所以只要再找一組角相等，或一組對應(yīng)邊成比例即可解答【解答】解：有三個B=ACD，再加上A為公共角，可以根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似來判定；ADC=ACB，再加上A為公共角，可以根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似來判定；中A不是已知的比例線段的夾角，不正確可以根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似來判定；故選：C【點評】此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定方法的掌握情況5在ABC中，若cosA=，tanB=，則這個三角形一定是（）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三角形【考點】特殊角的三角函數(shù)值【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和三角形的內(nèi)角和定理求出角的度數(shù)，再進(jìn)行判斷【解答】解：cosA=，tanB=，A=45，B=60C=1804560=75ABC為銳角三角形故選A【點評】本題考查特殊角三角函數(shù)值的計算，特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主6如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中ABC相似的是（）ABCD【考點】相似三角形的判定【專題】網(wǎng)格型【分析】本題主要應(yīng)用兩三角形相似判定定理，三邊對應(yīng)成比例，分別對各選項進(jìn)行分析即可得出答案【解答】解：已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為、2、只有選項B的各邊為1、與它的各邊對應(yīng)成比例故選：B【點評】此題考查三角形相似判定定理的應(yīng)用7如圖，BC是O的直徑，P是CB延長線上一點，PA切O于點A，如果PA=4，PB=2，那么線段BC的長等于（）A3B4C5D6【考點】切線的性質(zhì)【分析】如圖，連接OA根據(jù)切線的性質(zhì)得到OAP=90，所以在直角AOP中，利用勾股定理來求該圓的半徑，則易求直徑BC的長度【解答】解：設(shè)該圓的半徑為r（r0），如圖，連接OA，PA切O于點A，OAAP，即OAP=90，又PA=4，PB=2，在直角AOP中，利用勾股定理得到：PA2+OA2=OP2，即42+r2=（r+2）2，則r=3，O的直徑BC=2r=6，故選D【點評】本題考查了切線的性質(zhì)運用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題是解答此題的關(guān)鍵8如圖，在半徑為6cm的O中，點A是劣弧的中點，點D是優(yōu)弧上一點，且D=30，下列四個結(jié)論：OABC；BC=6；sinAOB=；四邊形ABOC是菱形其中正確結(jié)論的序號是（）ABCD【考點】垂徑定理；菱形的判定；圓周角定理；解直角三角形【專題】幾何圖形問題【分析】分別根據(jù)垂徑定理、菱形的判定定理、銳角三角函數(shù)的定義對各選項進(jìn)行逐一判斷即可【解答】解：點A是劣弧的中點，OA過圓心，OABC，故正確；D=30，ABC=D=30，AOB=60，點A是劣弧的中點，BC=2CE，OA=OB，OA=OB=AB=6cm，BE=ABcos30=6=3cm，BC=2BE=6cm，故正確；AOB=60，sinAOB=sin60=，故正確；AOB=60，AB=OB，點A是劣弧的中點，AC=AB，AB=BO=OC=CA，四邊形ABOC是菱形，故正確故選：B【點評】本題考查了垂徑定理、菱形的判定、圓周角定理、解直角三角形，綜合性較強，是一道好題二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得3分）9等腰三角形底邊長10cm，周長為36cm，則一底角的正切值為【考點】解直角三角形【分析】易求腰長作底邊上的高，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解【解答】解：如圖，AB=AC，BC=10，AD為底邊上的高，周長為36，則AB=AC=（3610）2=13BD=5，由勾股定理得，AD=12tanABC=AD：BD=12：5【點評】本題利用了等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的概念10弧長為6的弧所對的圓心角為60，則該弧所在圓的半徑是18【考點】弧長的計算【分析】利用底面周長=展開圖的弧長可得【解答】解： =6，解得r=18【點評】解答本題的關(guān)鍵是有確定底面周長=展開圖的弧長這個等量關(guān)系，然后由扇形的弧長公式和圓的周長公式求值11將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)【分析】由BAC=ACD=90，可得ABCD，即可證得ABEDCE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得：，然后利用三角函數(shù)，用AC表示出AB與CD，即可求得答案【解答】解：BAC=ACD=90，ABCD，ABEDCE，在RtACB中B=45，AB=AC，在RtACD中，D=30，CD=AC，=故答案為：【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì)此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用12如圖，平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點，AE交BD于點F，如果，則=【考點】平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，易得BEFDAF，即可得=，然后由，求得答案【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，AD=BC，BEFDAF，=，=，=故答案為：【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用13如圖，AB、AC是O的兩條切線，切點分別為B、C，D是優(yōu)弧BC上的一點，已知BAC=80，那么BDC=50度【考點】切線的性質(zhì)；圓周角定理【分析】先用切線的性質(zhì)得出BAD=ACD=90，再用四邊形內(nèi)角和定理得出BOC，BDC可求【解答】解：連接OB、OC，則ABO=ACO=90，BAC+BOC=360（ABO+ACO）=360180=180，BOC=180BAC=18080=100，故BDC=BOC=100=50【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)及圓周角定理，四邊形內(nèi)角和定理，比較簡單14如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，頂點A、C分別在x，y軸的正半軸上點Q在對角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長CQ交邊AB于點P則點P的坐標(biāo)為（2，42）【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；正方形的性質(zhì)【分析】根據(jù)正方形的對角線等于邊長的倍求出OB，再求出BQ，然后求出BPQ和OCQ相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BP的長，再求出AP，即可得到點P的坐標(biāo)【解答】解：四邊形OABC是邊長為2的正方形，OA=OC=2，OB=2，QO=OC，BQ=OBOQ=22，正方形OABC的邊ABOC，BPQOCQ，=，即=，解得BP=22，AP=ABBP=2（22）=42，點P的坐標(biāo)為（2，42）故答案為：（2，42）【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的對角線等于邊長的倍的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，比較簡單，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出BP的長是解題的關(guān)鍵三、解答題（本大題共7個小題，共78分）解答應(yīng)寫出必要的證明過程或演算步驟15計算：tan30sin60+cos230sin245tan45【考點】特殊角的三角函數(shù)值【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入，然后化簡求值即可【解答】解：原式=+（）2（）21=+=【點評】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值16如圖，ABC中，DEBC，DE=1，AD=2，DB=3，求BC的長【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得出ADEABC，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出BC的長【解答】解：DEBC，ADEABC，DE=1，AD=2，DB=3，AB=AD+DB=5，BC=【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形對應(yīng)邊的比相等是解答此題的關(guān)鍵17如圖是以ABC的邊AB為直徑的半圓O，點C恰好在半圓上，過C作CDAB交AB于D已知cosACD=，BC=4，求AC的長【考點】圓周角定理；解直角三角形【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角等于90，得ACB=90，再由CDAB易得ACD=B，又由cosACD=，得出tanB，即可求得答案【解答】解：AB為直徑，ACB=90，ACD+BCD=90，CDAB，BCD+B=90，B=ACD，cosACD=，cosB=，tanB=，BC=4，tanB=，=AC=【點評】本題考查了圓周角定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用18如圖，ABC的三頂點分別為A（4，4），B（2，2），C（3，0）請畫出一個以原點O為位似中心，且與ABC相似比為的位似圖形A1B1C1，并寫出A1B1C1各頂點的坐標(biāo)（只需畫出一種情況，A1B1：AB=）【考點】作圖-位似變換；坐標(biāo)確定位置【分析】先以原點O為位似中心，作ABC的位似圖形，使相似比為，再根據(jù)所作三角形三點的位置寫出三點的坐標(biāo)【解答】解：如圖A1B1C1就是所求的三角形，A1（2，2），B1（1，1），C1（1.5，0）【點評】此題考查位似三角形的作法和點的坐標(biāo)的寫法，難度中等19如圖1表示一個時鐘的鐘面垂直固定與水平桌面上，其中分針上有一點A，且當(dāng)鐘面顯示3點30分時，分針垂直與桌面，A點距桌面的高度為10公分如圖2，若此鐘面顯示3點45分時，A點距離桌面的高度為16公分，則鐘面顯示3點50分時，A點距桌面的高度為多少公分？【考點】解直角三角形的應(yīng)用【分析】根據(jù)當(dāng)鐘面顯示3點30分時，分針垂直于桌面，A點距桌面的高度為10公分得出AD=10，進(jìn)而得出AC=16，從而得出AA=3，得出答案即可【解答】解：連接AA，當(dāng)鐘面顯示3點30分時，分針垂直于桌面，A點距桌面的高度為10公分AD=10，鐘面顯示3點45分時，A點距桌面的高度為16公分，AC=16，AO=AO=6，則鐘面顯示3點50分時，AOA=30，AA=3，A點距桌面的高度為：16+3=19公分【點評】此題主要考查了解直角三角形以及鐘面角，得出AOA=30，進(jìn)而得出AA=3，是解決問題的關(guān)鍵20如圖，小明為測量某鐵塔AB的高度，他在離塔底B的10米C處測得塔頂?shù)难鼋?43，已知小明的測角儀高CD=1.5米，求鐵塔AB的高（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin43=0.6820，cos43=0.7314，tan43=0.9325）【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題【專題】應(yīng)用題【分析】本題是一個直角梯形的問題，可以過點D作DEAB于點E，把求AB的問題轉(zhuǎn)化求AE的長，從而可以在ADE中利用三角函數(shù)求解【解答】解：如圖，可知四邊形DCBE是矩形EB=DC=1.5米，DE=CB=10米在RtAED中，ADE=43tan=AE=DEtan43=100.9325=9.325米；AB=AE+EB=9.325+1.5=10.82510.8（米）【點評】解直角梯形可以通過作高線轉(zhuǎn)化為解直角三角形和矩形的問題21如圖，以線段AB為直徑的O交線段AC于點E，點M是的中點，OM交AC于點D，BOE=60，cosC=，BC=2（1）求A的度數(shù)；（2）求證：BC是O的切線；（3）求MD的長度【考點】圓周角定理；切線的判定與性質(zhì)；弧長的計算；特殊角的三角函數(shù)值【專題】計算題；證明題；壓軸題【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的知識即可得出A的度數(shù)（2）要證BC是O的切線，只要證明ABBC即可（3）根據(jù)切線的性質(zhì)，運用三角函數(shù)的知識求出MD的長度【解答】（1）解：BOE=60，A=BOE=30（2）證明：在ABC中，cosC=，C=60又A=30，ABC=90，ABBCBC是O的切線（3）解：點M是的中點，OMAE在RtABC中，BC=2，AB=BCtan60=2=6OA=3，OD=OA=，MD=【點評】本題綜合考查了三角函數(shù)的知識、切線的判定要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可22釣魚島自古以來就是我國的神圣領(lǐng)土，為維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)利，我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島 海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理如圖，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時船C與船B的距離是多少（結(jié)果保留根號）【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【專題】壓軸題【分析】首先過點B作BDAC于D，由題意可知，BAC=45，ABC=90+15=105，則可求得ACB的度數(shù)，然后利用三角函數(shù)的知識求解即可求得答案【解答】解：過點B作BDAC于D由題意可知，BAC=45，ABC=90+15=105，ACB=180BACABC=30，在RtABD中，BD=ABsinBAD=20=10（海里），在RtBCD中，BC=20（海里）答：此時船C與船B的距離是20海里【點評】此題考查了方向角問題此題難度適中，注意能借助于方向角構(gòu)造直角三角形，并利用解直角三角形的知識求解是解此題的關(guān)鍵23在矩形ABCD中，DC=2，CFBD分別交BD、AD于點E、F，連接BF（1）求證：DECFDC；（2）當(dāng)F為AD的中點時，求sinFBD的值及BC的長度【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形【專題】壓軸題【分析】（1）根據(jù)題意可得DEC=FDC，利用兩角法即可進(jìn)行相似的判定；（2）根據(jù)F為AD的中點，可得FB=FC，根據(jù)ADBC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sinFBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，設(shè)EF=x，則EC=2x，利用（1）的結(jié)論求出x，在RtCFD中求出FD，繼而得出BC【解答】解：（1）DEC=FDC=90，DCE=FCD，DECFDC（2）F為AD的中點，ADBC，F(xiàn)E：EC=FD：BC=1：2，F(xiàn)B=FC，F(xiàn)E：FC=1：3，sinFBD=EF：BF=EF：FC=；設(shè)EF=x，則FC=3x，DECFDC，=，即可得：6x2=12，解得：x=，則CF=3，在RtCFD中，DF=，BC=2DF=2【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例24（12分）（2009蕪湖）如圖，在RtABC中，斜邊BC=12，C=30，D為BC的中點，ABD的外接圓O與AC交于F點，過A作O的切線AE交DF的延長線于E點（1）求證：AEDE；（2）計算：ACAF的值【考點】切線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)；圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)【專題】幾何綜合題；壓軸題【分析】（1）連接OA、OB，證明ABD為等邊三角形后根據(jù)三心合一的定理求出OAC=60，求出四邊形ABDF內(nèi)接于圓O，利用切線的性質(zhì)求出AEDE；（2）由1可得ABD為等邊三角形，易證ADFACD，可得AD2=ACAF【解答】（1）證明：在RtABC中，BAC=90，C=30，D為BC的中點，ABD=60，AD=BD=DCABD為等邊三角形O點為ABD的中心（內(nèi)心，外心，垂心三心合一）連接OA，OB，BAO=OAD=30，OAC=60又AE為O的切線，OAAE，OAE=90EAF=30AEBC又四邊形ABDF內(nèi)接于圓O，F(xiàn)DC=BAC=90AEF=FDC=90，即AEDE（2）解：由（1）知，ABD為等邊三角形，ADB=60ADF=C=30，F(xiàn)AD=DACADFACD，則AD2=ACAF，又AD=BC=6ACAF=36【點評】本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識運用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題