2015-2016學(xué)年北京十三中分校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分下列各題均有四個選項(xiàng)，其中只有一個是符合題意的）1拋物線y=（x1）2+2的對稱軸是（）A直線x=1B直線x=1C直線x=2D直線x=22若將拋物線y=2x2先向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到一個新的拋物線，則新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）3如圖，在ABC中，DEBC，AD：AB=1：3，若ADE的面積等于4，則ABC的面積等于（）A12B16C24D364如圖，在44的正方形網(wǎng)格中，tan的值等于（）ABCD5如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以P（4，6）為位似中心，把ABC縮小得到DEF，若變換后，點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)F的坐標(biāo)應(yīng)為（）A（4，2）B（4，4）C（4，5）D（5，4）6為了測量被池塘隔開的A，B兩點(diǎn)之間的距離，根據(jù)實(shí)際情況，作出如圖所示圖形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于D，C在BD上有四位同學(xué)分別測量出以下四組數(shù)據(jù)，根據(jù)所測數(shù)據(jù)不能求出A，B間距離的是（）ABC，ACBBDE，DC，BCCEF，DE，BDDCD，ACB，ADB7將拋物線y=2x2+1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為（）Ay=2x2By=2x2+1Cy=2x21Dy=2x218圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面2m，水面寬4m如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是（）Ay=2x2By=2x2Cy=x2Dy=x29二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分對應(yīng)值如下表：x210123y503430當(dāng)函數(shù)值y0時，x的取值范圍是（）A2x0B1x0C1x3D0x210如圖，正ABC的邊長為3cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度，沿ABC的方向運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C時停止，設(shè)運(yùn)動時間為x（秒），y=PC2，則y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為（）ABCD二、填空題（每小題3分，共18分）11已知ABCA1B1C1，AB：A1B1=2：3，則SABC與SA1B1C1之比為12在RtABC中，C=90，BC：AC=3：4，則cosA=13點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函數(shù)y=x24x1的圖象上，若當(dāng)1x12，3x24時，則y1與y2的大小關(guān)系是y1y2（用“”、“”、“=”填空）14二次函數(shù)y=m2x2+（2m+1）x+1的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，則m取值范圍是15在研究了平行四邊形的相關(guān)內(nèi)容后，老師提出這樣一個問題：“四邊形ABCD 中，ADBC，請?zhí)砑右粋€條件，使得四邊形ABCD是平行四邊形”經(jīng)過思考，小明說“添加AD=BC”，小紅說“添加AB=DC”你同意的觀點(diǎn)，理由是16如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x22x圖象位于x軸上方的部分記作F1，與x軸交于點(diǎn)P1和O；F2與F1關(guān)于點(diǎn)O對稱，與x軸另一個交點(diǎn)為P2；F3與F2關(guān)于點(diǎn)P2對稱，與x軸另一個交點(diǎn)為P3；這樣依次得到F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)n，則其中F1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，F(xiàn)8的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，F(xiàn)n的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（n為正整數(shù)，用含n的代數(shù)式表示）三、解答題（本題共72分，第17-21題，每小題6分，第22-25題，每小題6分，第26題7分，第27題7分，第28題8分）17計(jì)算：3tan30+2cos45sin602sin3018已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（3，0）、（1，0）、（0，3）三點(diǎn)，（1）求：二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求：二次函數(shù)的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出此二次函數(shù)的圖象19如圖，ABCD中，點(diǎn)E在BA的延長線上，連接CE，與AD相交于點(diǎn)F（1）求證：EBCCDF；（2）若BC=8，CD=3，AE=1，求AF的長20已知：如圖，在ABC中，CDAB，sinA=，AB=13，CD=12，求AD的長和tanB的值21如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面AB的寬為20米，如果水位上升3米，則水面CD的寬是10米（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)水位在正常水位時，有一艘寬為6米的貨船經(jīng)過這里，船艙上有高出水面3.6米的長方體貨物（貨物與貨船同寬）問：此船能否順利通過這座拱橋？22如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45方向，距離燈塔100海里的A處，它計(jì)劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東30方向上的B處（1）B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（2）圓形暗礁區(qū)域的圓心位于PB的延長線上，距離燈塔200海里的O處已知圓形暗礁區(qū)域的半徑為50海里，進(jìn)入圓形暗礁區(qū)域就有觸礁的危險(xiǎn)請判斷若海輪到達(dá)B處是否有觸礁的危險(xiǎn)，并說明理由23如圖，在四邊形ABCD中，C=60，B=D=90，AD=2AB，CD=3，求BC的長24在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（x，y）經(jīng)過變換得到點(diǎn)P（x，y），該變換記作（x，y）=（x，y），其中（a，b為常數(shù)）例如，當(dāng)a=1，且b=1時，（2，3）=（1，5）（1）當(dāng)a=1，且b=2時，（0，1）=；（2）若（1，2）=（0，2），則a=，b=；（3）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是直線y=2x上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P經(jīng)過變換得到點(diǎn)P（x，y）若點(diǎn)P與點(diǎn)P重合，求a和b的值25動手操作：小明利用等距平行線解決了二等分線段的問題作法：（1）在e上任取一點(diǎn)C，以點(diǎn)C為圓心，AB長為半徑畫弧交c于點(diǎn)D，交d于點(diǎn)E；（2）以點(diǎn)A為圓心，CE長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)M；點(diǎn)M為線段AB的二等分點(diǎn)解決下列問題：（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）（1）仿照小明的作法，在圖2中作出線段AB的三等分點(diǎn)；（2）點(diǎn)P是AOB內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PMOA于M，PNOB于N，請找出一個滿足下列條件的點(diǎn)P（可以利用圖1中的等距平行線） 在圖3中作出點(diǎn)P，使得PM=PN；在圖4中作出點(diǎn)P，使得PM=2PN26小東同學(xué)在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)圖象以后，自己提出了這樣一個問題：探究：函數(shù)的圖象與性質(zhì)小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了如下探究：下面是小東的探究過程，請補(bǔ)充完成：（1）函數(shù)的自變量x的取值范圍是；（2）下表是y與x的幾組對應(yīng)值x210234ym則m的值是；（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象；（4）小東進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是，結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的其他性質(zhì)（一條即可）：27如圖1，在等腰直角ABC中，BAC=90，AB=AC=2，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，DEF=45且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點(diǎn)P，Q（1）如圖2，若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，將DEF繞著點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)，DE與邊AB交于點(diǎn)P，EF與CA的延長線交于點(diǎn)Q設(shè)BP為x，CQ為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）如圖3，點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動（不與B，C重合），且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與邊AC交于Q點(diǎn)探究：在DEF運(yùn)動過程中，AEQ能否構(gòu)成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由28已知：如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），根據(jù)對稱性AMB恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當(dāng)AMB為直角三角形時，就稱AMB為該拋物線的“完美三角形”（1）如圖2，求出拋物線y=x2的“完美三角形”斜邊AB的長；拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是；（2）若拋物線y=ax2+4的“完美三角形”的斜邊長為4，求a的值；（3）若拋物線y=mx2+2x+n5的“完美三角形”斜邊長為n，且y=mx2+2x+n5的最大值為1，求m，n的值2015-2016學(xué)年北京十三中分校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分下列各題均有四個選項(xiàng)，其中只有一個是符合題意的）1拋物線y=（x1）2+2的對稱軸是（）A直線x=1B直線x=1C直線x=2D直線x=2【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)【分析】由拋物線的頂點(diǎn)式y(tǒng)=（xh）2+k直接看出對稱軸是x=h【解答】解：拋物線的頂點(diǎn)式為y=（x1）2+2，對稱軸是x=1故選B【點(diǎn)評】要求熟練掌握拋物線解析式的各種形式的運(yùn)用2若將拋物線y=2x2先向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到一個新的拋物線，則新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換【分析】先確定出原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向左平移橫坐標(biāo)減，向下平移，縱坐標(biāo)減解答即可【解答】解：拋物線y=2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），向左平移2個單位，向下平移1個單位，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1）故選：B【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用點(diǎn)的平移規(guī)律左減右加，上加下減解答是解題的關(guān)鍵3（2015秋北京校級期中）如圖，在ABC中，DEBC，AD：AB=1：3，若ADE的面積等于4，則ABC的面積等于（）A12B16C24D36【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)【分析】由條件證明ADEABC，且相似比為，再利用相似三角形的性質(zhì)可求得ABC的面積【解答】解：DEBC，ADEABC，=（）2=（）2=，SADE=2，=，解得SABC=36故選D【點(diǎn)評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵4如圖，在44的正方形網(wǎng)格中，tan的值等于（）ABCD【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義【專題】網(wǎng)格型【分析】直接根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論【解答】解：ADBC，AD=3，BD=2，tan=故選C【點(diǎn)評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵5如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以P（4，6）為位似中心，把ABC縮小得到DEF，若變換后，點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)F的坐標(biāo)應(yīng)為（）A（4，2）B（4，4）C（4，5）D（5，4）【考點(diǎn)】位似變換【專題】數(shù)形結(jié)合【分析】根據(jù)兩個圖形必須是相似形；對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)，即可得出F點(diǎn)的坐標(biāo)【解答】解：DEFABC，且F點(diǎn)在CP的連線上，可得F點(diǎn)位置如圖所示：故P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4）故選B【點(diǎn)評】本題考查位似的定義，難度不大，注意掌握兩位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)，這一點(diǎn)即是位似中心6為了測量被池塘隔開的A，B兩點(diǎn)之間的距離，根據(jù)實(shí)際情況，作出如圖所示圖形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于D，C在BD上有四位同學(xué)分別測量出以下四組數(shù)據(jù)，根據(jù)所測數(shù)據(jù)不能求出A，B間距離的是（）ABC，ACBBDE，DC，BCCEF，DE，BDDCD，ACB，ADB【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用【分析】根據(jù)三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可所以借助于相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)即可解答【解答】解：此題比較綜合，要多方面考慮，A、因?yàn)橹繟CB和BC的長，所以可利用ACB的正切來求AB的長；B、無法求出A，B間距離C、因?yàn)锳BDEFD，可利用，求出AB；D、可利用ACB和ADB的正切求出AB；據(jù)所測數(shù)據(jù)不能求出A，B間距離的是選項(xiàng)B；故選：B【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的應(yīng)用和解直角三角形的應(yīng)用；將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決問題的關(guān)鍵7將拋物線y=2x2+1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為（）Ay=2x2By=2x2+1Cy=2x21Dy=2x21【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求解則可【解答】解：根據(jù)題意，可得y=2（x）2+1，得到y(tǒng)=2x21故旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式是y=2x21故選D【點(diǎn)評】此題主要考查了根據(jù)二次函數(shù)的圖象的變換求拋物線的解析式8圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面2m，水面寬4m如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是（）Ay=2x2By=2x2Cy=x2Dy=x2【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式【專題】壓軸題【分析】由圖中可以看出，所求拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為y軸，可設(shè)此函數(shù)解析式為：y=ax2，利用待定系數(shù)法求解【解答】解：設(shè)此函數(shù)解析式為：y=ax2，a0；那么（2，2）應(yīng)在此函數(shù)解析式上則2=4a即得a=，那么y=x2故選：C【點(diǎn)評】根據(jù)題意得到函數(shù)解析式的表示方法是解決本題的關(guān)鍵，關(guān)鍵在于找到在此函數(shù)解析式上的點(diǎn)9二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分對應(yīng)值如下表：x210123y503430當(dāng)函數(shù)值y0時，x的取值范圍是（）A2x0B1x0C1x3D0x2【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)【分析】根據(jù)圖表可以得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（3，0），且圖象開口向上，結(jié)合圖象可以得出函數(shù)值y0時，x的取值范圍【解答】解：根據(jù)圖表可以得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（3，0），如右圖所示：當(dāng)函數(shù)值y0時，x的取值范圍是：1x3故選C【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用圖表得出二次函數(shù)的圖象即可得出函數(shù)值的取值范圍數(shù)形結(jié)合是這部分考查重點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握10如圖，正ABC的邊長為3cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度，沿ABC的方向運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C時停止，設(shè)運(yùn)動時間為x（秒），y=PC2，則y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為（）ABCD【考點(diǎn)】動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象【專題】壓軸題【分析】需要分類討論：當(dāng)0x3，即點(diǎn)P在線段AB上時，根據(jù)余弦定理知cosA=，所以將相關(guān)線段的長度代入該等式，即可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式確定該函數(shù)的圖象當(dāng)3x6，即點(diǎn)P在線段BC上時，y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=（6x）2=（x6）2（3x6），根據(jù)該函數(shù)關(guān)系式可以確定該函數(shù)的圖象【解答】解：正ABC的邊長為3cm，A=B=C=60，AC=3cm當(dāng)0x3時，即點(diǎn)P在線段AB上時，AP=xcm（0x3）；根據(jù)余弦定理知cosA=，即=，解得，y=x23x+9（0x3）；該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線；解法二：過C作CDAB，則AD=1.5cm，CD=cm，點(diǎn)P在AB上時，AP=x cm，PD=|1.5x|cm，y=PC2=（）2+（1.5x）2=x23x+9（0x3）該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線；當(dāng)3x6時，即點(diǎn)P在線段BC上時，PC=（6x）cm（3x6）；則y=（6x）2=（x6）2（3x6），該函數(shù)的圖象是在3x6上的拋物線；故選：C【點(diǎn)評】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象解答該題時，需要對點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論，以防錯選二、填空題（每小題3分，共18分）11已知ABCA1B1C1，AB：A1B1=2：3，則SABC與SA1B1C1之比為4：9【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得到答案【解答】解：ABCA1B1C1，AB：A1B1=2：3，【點(diǎn)評】本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解：（1）相似三角形周長的比等于相似比；（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方；（3）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比12（2007眉山）在RtABC中，C=90，BC：AC=3：4，則cosA=【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義【專題】壓軸題【分析】根據(jù)BC：AC=3：4，設(shè)BC：AC的長，再根據(jù)勾股定理及直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義求解【解答】解：RtABC中，C=90，BC：AC=3：4，設(shè)BC=3x，則AC=4x，AB=5x，cosA=【點(diǎn)評】本題利用了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，比較簡單13點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函數(shù)y=x24x1的圖象上，若當(dāng)1x12，3x24時，則y1與y2的大小關(guān)系是y1y2（用“”、“”、“=”填空）【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的解析式判斷出拋物線的開口方向及對稱軸，根據(jù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)距離對稱軸的遠(yuǎn)近來判斷縱坐標(biāo)的大小【解答】解：由二次函數(shù)y=x24x1=（x2）25可知，其圖象開口向上，且對稱軸為x=2，1x12，3x24，A點(diǎn)橫坐標(biāo)離對稱軸的距離小于B點(diǎn)橫坐標(biāo)離對稱軸的距離，y1y2故答案為：【點(diǎn)評】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能求出對稱軸和根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出正確答案是解此題的關(guān)鍵14二次函數(shù)y=m2x2+（2m+1）x+1的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，則m取值范圍是m且m0【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)【分析】題目考查二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，當(dāng)圖象與x軸有兩個交點(diǎn)時，0，當(dāng)圖象與x軸有一個交點(diǎn)時，=0，當(dāng)圖象與x軸沒有交點(diǎn)時，0，同時不要遺漏二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)不為零【解答】解：二次函數(shù)y=m2x2+（2m+1）x+1的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，0即b24ac0代入得：（2m+1）24m210解得：m二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)大于零，m20m0綜上所述：【點(diǎn)評】題目考查二次函數(shù)定義及二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)個數(shù)與的關(guān)系，在計(jì)算0取值范圍后，不要忘記二次函數(shù)不為零的前提題目較簡單15在研究了平行四邊形的相關(guān)內(nèi)容后，老師提出這樣一個問題：“四邊形ABCD 中，ADBC，請?zhí)砑右粋€條件，使得四邊形ABCD是平行四邊形”經(jīng)過思考，小明說“添加AD=BC”，小紅說“添加AB=DC”你同意小明的觀點(diǎn)，理由是一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【考點(diǎn)】平行四邊形的判定【分析】根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得小明正確【解答】解：四邊形ABCD 中，ADBC，請?zhí)砑右粋€條件，使得四邊形ABCD是平行四邊形，應(yīng)添加AD=BC，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，因此小明說的對；小紅添加的條件，也可能是等腰梯形，因此小紅錯誤，故答案為：小明；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理16如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x22x圖象位于x軸上方的部分記作F1，與x軸交于點(diǎn)P1和O；F2與F1關(guān)于點(diǎn)O對稱，與x軸另一個交點(diǎn)為P2；F3與F2關(guān)于點(diǎn)P2對稱，與x軸另一個交點(diǎn)為P3；這樣依次得到F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)n，則其中F1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），F(xiàn)8的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（13，1），F(xiàn)n的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2n3，（1）n+1（n為正整數(shù)，用含n的代數(shù)式表示）【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換【分析】根據(jù)拋物線的解析式來求F1的頂點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)該“波浪拋物線”頂點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)分別為1和1即可得出結(jié)論【解答】解：y=x22x=（x+1）2+1，F(xiàn)1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，1）又y=x22x=x（x+2），P1（2，0），根據(jù)函數(shù)的對稱性得到：F2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），P2（2，0），F(xiàn)3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），P3（4，0），F(xiàn)8的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（13，1），F(xiàn)n的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2n3，（1）n+1故答案是：（1，1）；（13，1）；2n3，（1）n+1【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換解題的關(guān)鍵是找到Fn的頂點(diǎn)坐標(biāo)變換規(guī)律三、解答題（本題共72分，第17-21題，每小題6分，第22-25題，每小題6分，第26題7分，第27題7分，第28題8分）17計(jì)算：3tan30+2cos45sin602sin30【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解【解答】解：原式=3+22=+1【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值18（2015秋北京校級期中）已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（3，0）、（1，0）、（0，3）三點(diǎn)，（1）求：二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求：二次函數(shù)的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出此二次函數(shù)的圖象【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的性質(zhì)【專題】計(jì)算題【分析】（1）設(shè)交點(diǎn)式二次函數(shù)解析式為：y=a（x1）（x+3），然后把（0，3）代入求出a即可；（2）把（1）中解析式配成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到二次函數(shù)的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象【解答】解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（3，0）、（1，0）兩點(diǎn)設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a（x1）（x+3）又圖象經(jīng)過（0，3）點(diǎn)，3=a（01）（0+3）解得a=1二次函數(shù)解析式為：y=x2+2x3；（2）y=x2+2x3=（x+1）24，二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，4）；如圖，【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解也考查了二次函數(shù)的圖象19如圖，ABCD中，點(diǎn)E在BA的延長線上，連接CE，與AD相交于點(diǎn)F（1）求證：EBCCDF；（2）若BC=8，CD=3，AE=1，求AF的長【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)：對角相等和對邊平行可得B=D和FCD=E，有兩對角相等的三角形相似可判定EBCCDF；（2）有（1）可知：EBCCDF，利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等即可求出AF的長【解答】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，B=D，ABCD，F(xiàn)CD=E，EBCCDF；（2）解：EAFEBC，即解得：AF=2【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)性題目20已知：如圖，在ABC中，CDAB，sinA=，AB=13，CD=12，求AD的長和tanB的值【考點(diǎn)】解直角三角形；銳角三角函數(shù)的定義【分析】由sinA=，CD=12，根據(jù)三角函數(shù)可得AC=15，根據(jù)勾股定理可得AD=9，則BD=4，再根據(jù)正切的定義求出tanB的值【解答】解：CDAB，CDA=90（1分）sinA=AC=15（2分）AD=9BD=4（4分）tanB=【點(diǎn)評】考查了解直角三角形和銳角三角函數(shù)的定義，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系21如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面AB的寬為20米，如果水位上升3米，則水面CD的寬是10米（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)水位在正常水位時，有一艘寬為6米的貨船經(jīng)過這里，船艙上有高出水面3.6米的長方體貨物（貨物與貨船同寬）問：此船能否順利通過這座拱橋？【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【專題】應(yīng)用題【分析】（1）以拱橋最頂端為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題目中所給的數(shù)據(jù)寫出函數(shù)解析式（2）計(jì)算出本問可用兩種方法求得，求x=3米時求出水面求出此時y的值，A、B點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去y此時的值到正常水面AB的距離與3.6相比較即可得出答案【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2，因?yàn)閽佄锞€關(guān)于y軸對稱，AB=20，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為10，設(shè)點(diǎn)B（10，n），點(diǎn)D（5，n+3），n=102a=100a，n+3=52a=25a，即，解得，；（2）貨輪經(jīng)過拱橋時的橫坐標(biāo)為x=3，當(dāng)x=3時，（4）3.6在正常水位時，此船能順利通過這座拱橋答：在正常水位時，此船能順利通過這座拱橋【點(diǎn)評】此題考查了坐標(biāo)系的建立，以及拋物線的性質(zhì)與求值22如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45方向，距離燈塔100海里的A處，它計(jì)劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東30方向上的B處（1）B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（2）圓形暗礁區(qū)域的圓心位于PB的延長線上，距離燈塔200海里的O處已知圓形暗礁區(qū)域的半徑為50海里，進(jìn)入圓形暗礁區(qū)域就有觸礁的危險(xiǎn)請判斷若海輪到達(dá)B處是否有觸礁的危險(xiǎn)，并說明理由【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】（1）首先作PCAB于C，利用CPA=9045=45，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出PC的長，即可得出答案；（2）首先求出OB的長，進(jìn)而得出OB50，即可得出答案【解答】解：（1）作PCAB于C（如圖）在RtPAC中，PCA=90，CPA=9045=45在RtPCB中，PCB=90，PBC=30答：B處距離燈塔P有海里（2）海輪到達(dá)B處沒有觸礁的危險(xiǎn)理由如下：，而，OB50B處在圓形暗礁區(qū)域外，沒有觸礁的危險(xiǎn)【點(diǎn)評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出線段PC的長是解題關(guān)鍵23如圖，在四邊形ABCD中，C=60，B=D=90，AD=2AB，CD=3，求BC的長【考點(diǎn)】解直角三角形【分析】延長DA、CB交于點(diǎn)E，解直角三角形求出DE、EC，求出E=30，解直角三角形求出EB，即可求出答案【解答】解：延長DA、CB交于點(diǎn)E，在RtCDE中，tanC=，cosC=，DE=3，EC=6，AD=2AB設(shè)AB=k，則AD=2k，C=60，B=D=90，E=30，在RtABE中，sinE=tanE=，AE=2AB=2k，EB=AB=k，DE=4k=3，解得：k=，EB=，BC=6=【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要考查學(xué)生進(jìn)行計(jì)算的能力，是一道比較好的題目，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形24在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（x，y）經(jīng)過變換得到點(diǎn)P（x，y），該變換記作（x，y）=（x，y），其中（a，b為常數(shù)）例如，當(dāng)a=1，且b=1時，（2，3）=（1，5）（1）當(dāng)a=1，且b=2時，（0，1）=（2，2）；（2）若（1，2）=（0，2），則a=1，b=；（3）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是直線y=2x上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P經(jīng)過變換得到點(diǎn)P（x，y）若點(diǎn)P與點(diǎn)P重合，求a和b的值【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題【分析】（1）將a=1，b=2，（0，1），代入，可求x，y的值，從而求解；（2）將（1，2）=（0，2），代入，可得關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組即可求解；（3）由點(diǎn)P（x，y）經(jīng)過變換得到的對應(yīng)點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)P重合，可得（x，y）=（x，y）根據(jù)點(diǎn)P（x，y）在直線y=2x上，可得關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組即可求解【解答】解：（1）當(dāng)a=1，且b=2時，x=10+（2）1=2，y=10（2）1=2，則（0，1）=（2，2）； （2）（1，2）=（0，2），解得a=1，b=； （3）點(diǎn)P（x，y）經(jīng)過變換得到的對應(yīng)點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)P重合，（x，y）=（x，y）點(diǎn)P（x，y）在直線y=2x上，（x，2x）=（x，2x），即x為任意的實(shí)數(shù)，解得，故答案為：（2，2）；1，【點(diǎn)評】考查了一次函數(shù)綜合題，關(guān)鍵是對題意的理解能力，具有較強(qiáng)的代數(shù)變換能力，要求學(xué)生熟練掌握解二元一次方程組25（2015秋北京校級期中）動手操作：小明利用等距平行線解決了二等分線段的問題作法：（1）在e上任取一點(diǎn)C，以點(diǎn)C為圓心，AB長為半徑畫弧交c于點(diǎn)D，交d于點(diǎn)E；（2）以點(diǎn)A為圓心，CE長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)M；點(diǎn)M為線段AB的二等分點(diǎn)解決下列問題：（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）（1）仿照小明的作法，在圖2中作出線段AB的三等分點(diǎn)；（2）點(diǎn)P是AOB內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PMOA于M，PNOB于N，請找出一個滿足下列條件的點(diǎn)P（可以利用圖1中的等距平行線） 在圖3中作出點(diǎn)P，使得PM=PN；在圖4中作出點(diǎn)P，使得PM=2PN【考點(diǎn)】作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖【分析】（1）作法：在e上任取一點(diǎn)C，以點(diǎn)C為圓心，AB長為半徑畫弧交b于點(diǎn)D，交d于點(diǎn)E，交c于點(diǎn)F；以點(diǎn)A為圓心，CE長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)P1，再以點(diǎn)B為圓心，CE長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)P2；則點(diǎn)P1、P2為線段AB的三等分點(diǎn)；（2）以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA于M，交OB于N；在d上任取一點(diǎn)C，以點(diǎn)C為圓心，MN長為半徑畫弧交b于點(diǎn)D，交c于點(diǎn)E；以點(diǎn)M為圓心，CE長為半徑畫弧交MN于點(diǎn)P；則P點(diǎn)為所求； 以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA于M，交OB于N；在d上任取一點(diǎn)C，以點(diǎn)C為圓心，MN長為半徑畫弧交a于點(diǎn)D，交c于點(diǎn)E，交b于點(diǎn)F；以點(diǎn)M為圓心，CF長為半徑畫弧交MN于點(diǎn)P；則P點(diǎn)為所求【解答】解：（1）如下圖所示，點(diǎn)P1、P2為線段AB的三等分點(diǎn)；（2）如下圖所示，點(diǎn)P即為所求；如下圖所示，點(diǎn)P即為所求【點(diǎn)評】本題考查了作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，學(xué)生的閱讀理解能力及知識的遷移能力，理解等距平行線的含義及平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵26小東同學(xué)在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)圖象以后，自己提出了這樣一個問題：探究：函數(shù)的圖象與性質(zhì)小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了如下探究：下面是小東的探究過程，請補(bǔ)充完成：（1）函數(shù)的自變量x的取值范圍是x1；（2）下表是y與x的幾組對應(yīng)值x210234ym則m的值是；（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象；（4）小東進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是，結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的其他性質(zhì)（一條即可）：當(dāng)x1時，y隨x的增大而減小【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）分式的分母不等于零；（2）根據(jù)圖表可知當(dāng)x=4時的函數(shù)值為m，把x=4代入解析式即可求得；（3）根據(jù)坐標(biāo)系中的點(diǎn)，用平滑的直線連接即可；（4）觀察圖象即可得出該函數(shù)的其他性質(zhì)【解答】解：（1）由知，x10，即x1，所以變量x的取值范圍是x1故答案是：x1；（2）把x=4代入得到：m=，即m的值是故答案是：；（3）如圖：；（4）該函數(shù)的其他性質(zhì)：當(dāng)x1時，y隨x的增大而減小；當(dāng)1x2時，y隨x的增大而減小等故答案是：當(dāng)x1時，y隨x的增大而減小【點(diǎn)評】本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖表畫出函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵27如圖1，在等腰直角ABC中，BAC=90，AB=AC=2，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，DEF=45且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點(diǎn)P，Q（1）如圖2，若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，將DEF繞著點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)，DE與邊AB交于點(diǎn)P，EF與CA的延長線交于點(diǎn)Q設(shè)BP為x，CQ為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）如圖3，點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動（不與B，C重合），且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與邊AC交于Q點(diǎn)探究：在DEF運(yùn)動過程中，AEQ能否構(gòu)成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由【考點(diǎn)】相似形綜合題【分析】（1）根據(jù)條件由勾股定理可以求出BC的值，再求出DEB=EQC，就可以得出BPECEQ，由相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；（2）由AEF=B=C，且AQEC可以得出AQEAEF從而有AEAQ，再分類討論，當(dāng)AE=EQ時和AQ=EQ時根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)就可以求出BE的值【解答】解：（1）BAC=90，AB=AC=2，B=C，又FEB=FED+DEB=EQC+C，DEF=C，DEB=EQC，BPECEQ，設(shè)BP為x，CQ為y，自變量x的取值范圍是0x1；（2）AEF=B=C，且AQEC，AQEAEFAEAQ當(dāng)AE=EQ時，EAQ=EQA，AEQ=45，EAQ=EQA=67.5，BAC=90，C=45，BAE=QEC=22.5在ABE和ECQ中，ABEECQ（AAS）CE=AB=2BE=BCEC=；當(dāng)AQ=EQ時，可知QAE=QEA=45，AEBC點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)BE=綜上，在DEF運(yùn)動過程中，AEQ能成等腰三角形，此時BE的長為或【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時合理利用相似三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵28已知：如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），根據(jù)對稱性AMB恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當(dāng)AMB為直角三角形時，就稱AMB為該拋物線的“完美三角形”（1）如圖2，求出拋物線y=x2的“完美三角形”斜邊AB的長；拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是相等；（2）若拋物線y=ax2+4的“完美三角形”的斜邊長為4，求a的值；（3）若拋物線y=mx2+2x+n5的“完美三角形”斜邊長為n，且y=mx2+2x+n5的最大值為1，求m，n的值【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）過點(diǎn)B作BNx軸于N，根據(jù)AMB為等腰直角三角形，ABx軸，所以BMN=ABM=45，所以BMN=MBN，得到MN=BN，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n），代入拋物線y=x2，得n=n2，解得n=1，n=0（舍去），所以B（1，1），求出BM的長度，利用勾股定理，即可解答；因?yàn)閽佄锞€y=x2+1與y=x2的形狀相同，所以拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是相等；（2）根據(jù)拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的形狀相同，所以拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的“完美三角形”全等，所以拋物線y=ax2+4的“完美三角形”斜邊的長為4，所以拋物線y=ax2的“完美三角形”斜邊的長為4，從而確定B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）或（2，2），把點(diǎn)B代入y=ax2中，得到（3）根據(jù)y=mx2+2x+n5的最大值為1，得到，化簡得mn4m1=0，拋物線y=mx2+2x+n5的“完美三角形”斜邊長為n，所以拋物線y=mx2的“完美三角形”斜邊長為n，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線y=mx2，得，mn=2或n=0（不合題意舍去），所以，所以【解答】解：（1）過點(diǎn)B作BNx軸于N，如圖2，AMB為等腰直角三角形，ABM=45，ABx軸，BMN=ABM=45，MBN=9045=45，BMN=MBN，MN=BN，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n），代入拋物線y=x2，得n=n2，n=1，n=0（舍去），B（1，1）MN=BN=1，MB=，MA=MB=，在RtAMB中，AB=2，拋物線y=x2的“完美三角形”的斜邊AB=2拋物線y=x2+1與y=x2的形狀相同，拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是相等；故答案為：相等（2）拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的形狀相同，拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的“完美三角形”全等，拋物線y=ax2+4的“完美三角形”斜邊的長為4，拋物線y=ax2的“完美三角形”斜邊的長為4，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）或（2，2），把點(diǎn)B代入y=ax2中，（3）y=mx2+2x+n5的最大值為1，mn4m1=0，拋物線y=mx2+2x+n5的“完美三角形”斜邊長為n，拋物線y=mx2的“完美三角形”斜邊長為n，B點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線y=mx2，得，mn=2或n=0（不合題意舍去），【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是理解“完美三角形”的定義，利用勾股定理，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)