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2016-2017學年江蘇省蘇州市吳江區(qū)九年級（上）期中數學試卷 一、選擇題：（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．） 1．下列方程中，一元二次方程有（　?。? ①3x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③；④x2=1；⑤ A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 2．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的兩根，則α+β=（　?。? A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 3．關于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一個根是0，則a的值為（　?。? A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 4．2﹣4（x2+y2）﹣5=0，則x2+y2的值為（　?。? A．5 B．﹣1 C．5或﹣1 D．無法確定 5．某商品兩次價格上調后，單位價格從4元變?yōu)?.84元，則平均每次調價的百分率是（　?。? A．9% B．10% C．11% D．12% 6．如圖，?ABCD的一邊AB為直徑的⊙O過點C，若∠AOC=70，則∠BAD等于（　?。? A．145 B．140 C．135 D．130 7．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么⊙O的半徑是（　?。? A． cm B． cm C． cm D． cm 8．等邊三角形的內切圓半徑、外接圓半徑和一邊上的高的比為（　?。? A．1：： B．1：：2 C．1：2：3 D．1：2： 9．如圖，過⊙O外一點P引⊙O的兩條切線PA、PB，切點分別是A、B，OP交⊙O于點C，點D是優(yōu)弧上不與點A、點C重合的一個動點，連接AD、CD，若∠APB=80，則∠ADC的度數是（　?。? A．15 B．20 C．25 D．30 10．如圖，以AB為直徑的半圓繞A點，逆時針旋轉60，點B旋轉到點B′的位置，已知AB=6，則圖中陰影部分的面積為（　?。? A．6π B．5π C．4π D．3π 　 二、填空題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分．） 11．方程x2=3x的根是　?。? 12．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的兩個實數根，則m2+3mn+n2=　　． 13．已知關于x的一元二次方程m2x2+（2m﹣1）x+1=0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是　?。? 14．甲、乙兩同學解方程x2+px+q=0，甲看錯了一次項系數，得根為2和7；乙看錯了常數項，得根為1和﹣10，則原方程為　　． 15．已知⊙O的周長為12π，若點P到點O的距離為5，則點P在⊙O　　． 16．已知3是關于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一個實數根，并且這個方程的兩個實數根恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長為　?。? 17．如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，∠A=70，∠OBC=60，則∠ODC=　?。? 18．如圖，點D為AC上一點，點O為邊AB上一點，AD=DO．以O為圓心，OD長為半徑作圓，交AC于另一點E，交AB于點F，G，連接EF．若∠BAC=22，則∠EFG=　?。? 19．如圖，以原點O為圓心的圓交x軸于A、B兩點，交y軸的正半軸于點C，D為第一象限內⊙O上的一點，若∠DAB=20，則∠OCD=　?。? 20．如圖，海邊立有兩座燈塔A、B，暗礁分布在經過A、B兩點的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）區(qū)域內，∠AOB=80．為了避免觸礁，輪船P與A、B的張角∠APB的最大值為　　． 　 三、解答題：（本大題共8小題，共70分，） 21．解方程 （1）x2﹣6x﹣18=0（配方法） （2）3（x﹣2）2=x（x﹣2） （3）x2+2x﹣5=0 （4）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3=0． 22．關于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的兩實數根之積為正，求實數m的取值范圍？ 23．已知關于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2=0（k為常數）． （1）求證：方程有兩個不相等的實數根； （2）設x1，x2為方程的兩個實數根，且x1+2x2=14，試求出方程的兩個實數根和k的值． 24．某市百貨商店服裝部在銷售中發(fā)現“米奇”童裝平均每天可售出20件，每件獲利40元．為了擴大銷售，減少庫存，增加利潤，商場決定采取適當的降價措施，經過市場調查，發(fā)現如果每件童裝每降價1元，則平均每天可多售出2件，要想平均每天在銷售這種童裝上獲利1200元，那么每件童裝應降價多少元？ 25．某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）請你補全這個輸水管道的圓形截面； （2）若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水面最深地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑． 26．如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD丄PA，垂足為D． （1）求證：CD為⊙O的切線； （2）若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長度． 27．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D為圓上兩點，且弧CB=弧CD，CF⊥AB于點F，CE⊥AD的延長線于點E． （1）試說明：DE=BF； （2）若∠DAB=60，AB=6，求△ACD的面積． 28．如圖，△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3．半徑為1的圓的圓心P以1個單位/S的速度由點A沿AC方向在AC上移動，設移動時間為t（單位：s）． （1）當t為何值時，⊙P與AB相切； （2）作PD⊥AC交AB于點D，如果⊙P和線段BC交于點E．求當t為何值時，四邊形PDBE為平行四邊形． 　  2016-2017學年江蘇省蘇州市吳江區(qū)九年級（上）期中數學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．） 1．下列方程中，一元二次方程有（　?。? ①3x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③；④x2=1；⑤ A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【考點】一元二次方程的定義． 【分析】本題根據一元二次方程的定義解答． 一元二次方程必須滿足四個條件： （1）未知數的最高次數是2； （2）二次項系數不為0； （3）是整式方程； （4）含有一個未知數．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案． 【解答】解：①符合一元二次方程定義，正確； ②方程含有兩個未知數，錯誤； ③不是整式方程，錯誤； ④符合一元二次方程定義，正確； ⑤符合一元二次方程定義，正確． 故選B． 【點評】判斷一個方程是否是一元二次方程時，首先判斷方程是整式方程，若是整式方程，再把方程進行化簡，化簡后是含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2，在判斷時，一定要注意二次項系數不是0． 　 2．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的兩根，則α+β=（　?。? A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【考點】根與系數的關系． 【分析】根據根與系數的關系可得出α+β=﹣2，此題得解． 【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的兩根， ∴α+β=﹣2． 故選B． 【點評】本題考查了根與系數的關系，牢記兩根之和為﹣是解題的關鍵． 　 3．關于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一個根是0，則a的值為（　?。? A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 【考點】一元二次方程的解． 【分析】根據方程的解的定義，把x=0代入方程，即可得到關于a的方程，再根據一元二次方程的定義即可求解． 【解答】解：根據題意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0， 解得：a=﹣1． 故選B． 【點評】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，特別需要注意的條件是二次項系數不等于0． 　 4．（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣5=0，則x2+y2的值為（　?。? A．5 B．﹣1 C．5或﹣1 D．無法確定 【考點】換元法解一元二次方程． 【分析】先設x2+y2=t，則方程即可變形為t2﹣4t﹣5=0，解方程即可求得t即x2+y2的值． 【解答】解：設=tx2+y2，則原方程可化為：（t﹣5）（t+1）=0， 所以t=5或t=﹣1（舍去），即x2+y2=5． 故選：A． 【點評】本題主要考查了換元法解一元二次方程，即把某個式子看作一個整體，用一個字母去代替它，實行等量替換． 　 5．某商品兩次價格上調后，單位價格從4元變?yōu)?.84元，則平均每次調價的百分率是（　　） A．9% B．10% C．11% D．12% 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】增長率問題． 【分析】等量關系為：原來的價格（1+增長率）2=變化后的價格，把相關數值代入即可求解． 【解答】解：設平均每次調價的百分率為x，依題意有 4（1+x）2=4.84， 解得x1=10%，x2=﹣2.1（不合題意，舍去）． 故平均每次調價的百分率是10%． 故選：B． 【點評】考查一元二次方程在增長率問題中的應用；求平均變化率的方法為：若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數量關系為a（1x）2=b． 　 6．如圖，?ABCD的一邊AB為直徑的⊙O過點C，若∠AOC=70，則∠BAD等于（　?。? A．145 B．140 C．135 D．130 【考點】圓周角定理；平行四邊形的性質． 【分析】根據圓周角定理可得∠B=∠AOC=35，再根據平行四邊形的性質可得AD∥BC，進而可得∠BAD+∠ABC=180，進而可得答案． 【解答】解：∵∠AOC=70， ∴∠B=∠AOC=35， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180， ∴∠BAD=145， 故選：A． 【點評】此題主要考查了圓周角定理和平行四邊形的性質，關鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 　 7．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么⊙O的半徑是（　?。? A． cm B． cm C． cm D． cm 【考點】垂徑定理；勾股定理． 【分析】利用相交弦定理列出方程求解即可． 【解答】解：設AP=x，則PB=5x，那么⊙O的半徑是（x+5x）=3x ∵弦CD⊥AB于點P，CD=10cm ∴PC=PD=CD=10=5cm 由相交弦定理得CP?PD=AP?PB 即55=x?5x 解得x=或x=﹣（舍去） 故⊙O的半徑是3x=3cm， 故選C． 【點評】本題考查的是垂徑定理、相交弦定理，即圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等． 　 8．等邊三角形的內切圓半徑、外接圓半徑和一邊上的高的比為（　?。? A．1：： B．1：：2 C．1：2：3 D．1：2： 【考點】三角形的內切圓與內心；等邊三角形的性質；三角形的外接圓與外心． 【分析】根據等邊三角形的內切圓和外接圓是同心圓，設圓心為O，根據30角所對的直角邊是斜邊的一半得：R=2r；等邊三角形的高是R與r的和，所以r：R：h的值為1：2：3． 【解答】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形， ∴△ABC的內切圓和外接圓是同心圓，圓心為O， 設OE=r，AO=R，AD=h， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC=∠BAC=60=30， 在Rt△AOE中， ∴R=2r， OD=OE=r， ∴AD=AO+OD=2r+r=3r， ∴r：R：h=r：2r：3r=1：2：3， 故選C． 【點評】本題考查了等邊三角形及它的內切圓和外接圓的關系，等邊三角形的內心與外心重合，是三條角平分線的交點；由等腰三角形三線合一的特殊性得出30角和60，利用直角三角形30的性質或三角函數得出R、r、h的關系． 　 9．如圖，過⊙O外一點P引⊙O的兩條切線PA、PB，切點分別是A、B，OP交⊙O于點C，點D是優(yōu)弧上不與點A、點C重合的一個動點，連接AD、CD，若∠APB=80，則∠ADC的度數是（　?。? A．15 B．20 C．25 D．30 【考點】切線的性質． 【分析】根據四邊形的內角和，可得∠BOA，根據等弧所對的圓周角相等，根據圓周角定理，可得答案． 【解答】解；如圖， 由四邊形的內角和定理，得 ∠BOA=360﹣90﹣90﹣80=100， 由=，得 ∠AOC=∠BOC=50． 由圓周角定理，得 ∠ADC=∠AOC=25， 故選：C． 【點評】本題考查了切線的性質，切線的性質得出=是解題關鍵，又利用了圓周角定理． 　 10．如圖，以AB為直徑的半圓繞A點，逆時針旋轉60，點B旋轉到點B′的位置，已知AB=6，則圖中陰影部分的面積為（　?。? A．6π B．5π C．4π D．3π 【考點】旋轉的性質；扇形面積的計算． 【分析】根據旋轉的性質得出陰影部分的面積為：S扇形B′AB進而利用扇形面積公式求出即可． 【解答】解：如圖所示：∵以AB為直徑的半圓繞A點，逆時針旋轉60， ∴AB=AB′=6，∠BAB′=60， ∴圖中陰影部分的面積為：S扇形B′AB==6π． 故選：A． 【點評】此題主要考查了扇形面積公式以及旋轉的性質，得出陰影部分的面積=S扇形B′AB是解題關鍵． 　 二、填空題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分．） 11．方程x2=3x的根是　0或3　． 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】本題應對方程進行變形，提取公因式x，將原式化為兩式相乘的形式，再根據“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”來解題． 【解答】解：x2=3x x2﹣3x=0 即x（x﹣3）=0 ∴x=0或3 故本題的答案是0或3． 【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法．本題運用的是因式分解法． 　 12．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的兩個實數根，則m2+3mn+n2=　﹣1?。? 【考點】根與系數的關系． 【分析】根據根與系數的關系找出m+n=﹣2、mn=﹣5，將m2+3mn+n2變形為（m+n）2+mn，代入數據即可得出結論． 【解答】解：∵m，n是方程x2+2x﹣5=0的兩個實數根， ∴m+n=﹣2，mn=﹣5， ∴m2+3mn+n2=（m+n）2+mn=（﹣2）2﹣5=﹣1． 故答案為：﹣1． 【點評】本題考查了根與系數的關系，根據根與系數的關系找出m+n=﹣2、mn=﹣5是解題的關鍵． 　 13．已知關于x的一元二次方程m2x2+（2m﹣1）x+1=0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是　m＜且m≠0?。? 【考點】根的判別式． 【分析】根據一元二次方程的根的判別式，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍． 【解答】解：∵a=m，b=2m﹣1，c=1，方程有兩個不相等的實數根， ∴△=b2﹣4ac=（2m﹣1）2﹣4m2=1﹣4m＞0， ∴m＜． 又∵二次項系數不為0， ∴m≠0 即m＜且m≠0． 【點評】總結：（1）一元二次方程根的情況與判別式△的關系： ①△＞0?方程有兩個不相等的實數根； ②△=0?方程有兩個相等的實數根； ③△＜0?方程沒有實數根． （2）一元二次方程的二次項系數不為0． 　 14．甲、乙兩同學解方程x2+px+q=0，甲看錯了一次項系數，得根為2和7；乙看錯了常數項，得根為1和﹣10，則原方程為　x2+9x+14=0?。? 【考點】根與系數的關系． 【分析】根據甲得出q=27=14，根據乙得出p=﹣（1﹣10）=9，代入求出即可． 【解答】解：∵x2+px+q=0，甲看錯了一次項，得兩根2和7， ∴q=27=14， ∵x2+px+q=0，乙看錯了常數項，得兩根1和﹣10， ∴p=﹣（1﹣10）=9， ∴原一元二次方程為：x2+9x+14=0． 故答案為：x2+9x+14=0． 【點評】本題考查了根與系數關系的應用，解此題的關鍵是能靈活運用性質進行推理和計算，題目比較好． 　 15．已知⊙O的周長為12π，若點P到點O的距離為5，則點P在⊙O　的內部?。? 【考點】點與圓的位置關系． 【分析】首先根據圓的周長求得圓的半徑，然后根據圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系得到兩圓的位置關系即可． 【解答】解：∵⊙O的周長為12π， ∴⊙O的半徑為6， ∵點P到圓心O的距離為6， ∴圓心到直線的距離小于6， ∴點P在⊙O的內部． 故答案是：的內部． 【點評】本題考查了對點與圓的位置關系的判斷．關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內． 　 16．已知3是關于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一個實數根，并且這個方程的兩個實數根恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長為　10或11?。? 【考點】根與系數的關系；三角形三邊關系；等腰三角形的性質． 【分析】將x=3代入原方程求出m的值，將m的值代入原方程求出x1、x2的值，再根據等腰三角形的性質以及三角形的周長即可得出結論． 【解答】解：將x=3代入x2﹣（m+1）x+2m=0中，得：9﹣3（m+1）+2m=0， 解得：m=6， 將m=6代入原方程，得x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4）=0， 解得：x1=3，x2=4， ∴三角形的三邊為：3，3，4或3，4，4（均滿足兩邊之和大于第三邊）． ∴C△ABC=3+3+4=10或C△ABC=3+4+4=11． 故答案為：10或11． 【點評】本題考查了三角形三邊關系、解一元二次方程以及等腰三角形的性質，將x=4代入原方程求出m的值是解題的關鍵． 　 17．如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，∠A=70，∠OBC=60，則∠ODC=　50?。? 【考點】圓內接四邊形的性質． 【分析】根據圓內接四邊形的對角互補求得∠C的度數，利用圓周角定理求出∠BOD的度數，再根據四邊形內角和為360度即可求出∠ODC的度數． 【解答】解：∵∠A=70 ∴∠C=180﹣∠A=110， ∴∠BOD=2∠A=140， ∵∠OBC=60， ∴∠ODC=360﹣110﹣140﹣60=50， 故答案為：50． 【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質，熟知圓內接四邊形的對角互補以及圓周角定理是解答此題的關鍵． 　 18．如圖，點D為AC上一點，點O為邊AB上一點，AD=DO．以O為圓心，OD長為半徑作圓，交AC于另一點E，交AB于點F，G，連接EF．若∠BAC=22，則∠EFG=　33?。? 【考點】圓周角定理；三角形的外角性質；等腰三角形的性質． 【分析】連接OE，利用三角形的外角性質得出∠ODC的度數，再求出∠DOC，從而求出∠EOG的度數，再利用圓周角定理求出∠EFG的度數． 【解答】解：連接EO， ∵AD=DO， ∴∠BAC=∠DOA=22， ∴∠EDO=44， ∵DO=EO， ∴∠OED=∠ODE=44， ∴∠DOE=180﹣44﹣44=92， ∴∠EOG=180﹣92﹣22=66， ∴∠EFG=∠EOG=33， 故答案為：33． 【點評】此題主要考查了圓周角定理，三角形外角的性質的綜合運用，做題的關鍵是理清角之間的關系． 　 19．如圖，以原點O為圓心的圓交x軸于A、B兩點，交y軸的正半軸于點C，D為第一象限內⊙O上的一點，若∠DAB=20，則∠OCD=　65　． 【考點】圓周角定理；坐標與圖形性質． 【專題】壓軸題． 【分析】根據∠DAB=20，得出∠DOB的度數，再利用等腰三角形的性質得出∠OCD=∠CDO，進而求出答案． 【解答】解：連接DO，∵∠DAB=20， ∴∠DOB=40， ∴∠COD=90﹣40=50， ∵CO=DO， ∴∠OCD=∠CDO， ∴∠OCD=（180﹣50）2=65． 故答案為：65． 【點評】此題主要考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質，得出∠OCD=∠CDO是解決問題的關鍵． 　 20．如圖，海邊立有兩座燈塔A、B，暗礁分布在經過A、B兩點的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）區(qū)域內，∠AOB=80．為了避免觸礁，輪船P與A、B的張角∠APB的最大值為　40?。? 【考點】圓周角定理；三角形的外角性質． 【分析】根據已知得出當P點在圓上時，輪船P與A、B的張角∠APB的最大，根據圓周角定理得出答案． 【解答】解：∵海邊立有兩座燈塔A、B，暗礁分布在經過A、B兩點的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）區(qū)域內，∠AOB=80． ∴當P點在圓上時，不進入經過A、B兩點的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）區(qū)域內，輪船P與A、B的張角∠APB的最大， 此時為∠AOB=80的一半，為40． 故答案為：40． 【點評】此題主要考查了圓周角定理的應用，根據條件得出當P點在圓上時，輪船P與A、B的張角∠APB的最大是解決問題的關鍵． 　 三、解答題：（本大題共8小題，共70分，） 21．（20分）（2016秋?吳江區(qū)期中）解方程 （1）x2﹣6x﹣18=0（配方法） （2）3（x﹣2）2=x（x﹣2） （3）x2+2x﹣5=0 （4）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3=0． 【考點】換元法解一元二次方程；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）利用配方法可得出（x﹣3）2﹣27=0，解之即可得出結論； （2）將原方程進行整理后可得出x2﹣5x+6=0，利用分解因式法解方程即可得出結論； （3）利用配方法可得出（x+1）2﹣6=0，解之即可得出結論； （4）設2x﹣3=y，則原方程變形為y2﹣2y﹣3=0，利用分解因式法解方程即可求出y的值，再將其代入2x﹣3=y即可求出x的值，此題得解． 【解答】解：（1）x2﹣6x﹣18=（x﹣3）2﹣27=0， ∴（x﹣3）2=27，x﹣3=3， ∴x1=3+3，x2=﹣3+3． （2）原方程整理為：x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）=0， 解得：x1=3，x2=2． （3）x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6=0， ∴（x+1）2=6，x+1=， ∴x1=﹣1，x2=﹣﹣1． （4）設2x﹣3=y，則原方程變形為y2﹣2y﹣3=（y+1）（y﹣3）=0， 解得：y1=﹣1，y2=3． 當y=﹣1時，2x﹣3=﹣1， 解得：x=1； 當y=3時，2x﹣3=3， 解得：x=3． ∴方程（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3=0的解為3或1． 【點評】本題考查了換元法解一元二次方程、因式分解法以及配方法解一元二次方程，熟練掌握各種解一元二次方程的方法是解題的關鍵． 　 22．關于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的兩實數根之積為正，求實數m的取值范圍？ 【考點】根與系數的關系． 【分析】根據根與系數的關系可得1﹣2m＞0，然后此方程有兩個實數根可知△≥0，即可求得m的取值范圍． 【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的兩實數根之積為正， ∴a=1，b=2，c=1﹣2m，1﹣2m＞0， ∴m＜， ∴b2﹣4ac=4﹣4（1﹣2m）=8m≥0，即m≥0， ∴m 的取值范圍為：0≤m＜． 【點評】本題考查了根與系數的關系、根的判別式．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據根的情況結合根的判別式以及根與系數的關系得出關于m的不等式是關鍵． 　 23．已知關于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2=0（k為常數）． （1）求證：方程有兩個不相等的實數根； （2）設x1，x2為方程的兩個實數根，且x1+2x2=14，試求出方程的兩個實數根和k的值． 【考點】根與系數的關系；根的判別式． 【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式即可得出△=36+4k2≥36，由此即可證出結論； （2）根據根與系數的關系可得出x1+x2=6，結合x1+2x2=14即可求出方程的兩個根，再將其中一個根代入原方程中即可求出k的值． 【解答】解：（1）證明：∵在方程x2﹣6x﹣k2=0中，△=（﹣6）2﹣41（﹣k2）=36+4k2≥36， ∴方程有兩個不相等的實數根． （2）∵x1，x2為方程x2﹣6x﹣k2=0的兩個實數根， ∴x1+x2=6， ∵x1+2x2=14， ∴x2=8，x1=﹣2． 將x=8代入x2﹣6x﹣k2=0中，得：64﹣48﹣k2=0， 解得：k=4． 答：方程的兩個實數根為﹣2和8，k的值為4． 【點評】本題考查了根與系數的關系以及根的判別式，牢記兩根之和為﹣是解題的關鍵． 　 24．某市百貨商店服裝部在銷售中發(fā)現“米奇”童裝平均每天可售出20件，每件獲利40元．為了擴大銷售，減少庫存，增加利潤，商場決定采取適當的降價措施，經過市場調查，發(fā)現如果每件童裝每降價1元，則平均每天可多售出2件，要想平均每天在銷售這種童裝上獲利1200元，那么每件童裝應降價多少元？ 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】壓軸題． 【分析】設每件童裝應降價x元，那么就多賣出2x件，根據每天可售出20件，每件獲利40元．為了擴大銷售，減少庫存，增加利潤，商場決定采取適當的降價措施，要想平均每天在銷售這種童裝上獲利1200元，可列方程求解． 【解答】解：設每件童裝應降價x元， 由題意得：（40﹣x）（20+2x）=1200， 解得：x=10或x=20． 因為減少庫存，所以應該降價20元． 【點評】本題考查一元二次方程的應用，關鍵找到降價和賣的件數的關系，根據利潤列方程求解． 　 25．某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）請你補全這個輸水管道的圓形截面； （2）若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水面最深地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑． 【考點】垂徑定理的應用；勾股定理． 【專題】應用題． 【分析】如圖所示，根據垂徑定理得到BD=AB=16=8cm，然后根據勾股定理列出關于圓形截面半徑的方程求解． 【解答】解：（1）先作弦AB的垂直平分線；在弧AB上任取一點C連接AC，作弦AC的垂直平分線，兩線交點作為圓心O，OA作為半徑，畫圓即為所求圖形． （2）過O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，連接OB． ∵OE⊥AB ∴BD=AB=16=8cm 由題意可知，ED=4cm 設半徑為xcm，則OD=（x﹣4）cm 在Rt△BOD中，由勾股定理得： OD2+BD2=OB2 ∴（x﹣4）2+82=x2 解得x=10． 即這個圓形截面的半徑為10cm． 【點評】本題主要考查：垂徑定理、勾股定理． 　 26．如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD丄PA，垂足為D． （1）求證：CD為⊙O的切線； （2）若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長度． 【考點】切線的判定與性質；勾股定理；矩形的判定與性質；垂徑定理． 【專題】幾何綜合題． 【分析】（1）連接OC，根據題意可證得∠CAD+∠DCA=90，再根據角平分線的性質，得∠DCO=90，則CD為⊙O的切線； （2）過O作OF⊥AB，則∠OCD=∠CDA=∠OFD=90，得四邊形OCDF為矩形，設AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5﹣x）2+（6﹣x）2=25，從而求得x的值，由勾股定理得出AB的長． 【解答】（1）證明：連接OC， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC， ∵AC平分∠PAE， ∴∠DAC=∠CAO， ∴∠DAC=∠OCA， ∴PB∥OC， ∵CD⊥PA， ∴CD⊥OC，CO為⊙O半徑， ∴CD為⊙O的切線； （2）解：過O作OF⊥AB，垂足為F， ∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90， ∴四邊形DCOF為矩形， ∴OC=FD，OF=CD． ∵DC+DA=6， 設AD=x，則OF=CD=6﹣x， ∵⊙O的直徑為10， ∴DF=OC=5， ∴AF=5﹣x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2． 即（5﹣x）2+（6﹣x）2=25， 化簡得x2﹣11x+18=0， 解得x1=2，x2=9． ∵CD=6﹣x大于0，故x=9舍去， ∴x=2， 從而AD=2，AF=5﹣2=3， ∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F為AB的中點， ∴AB=2AF=6． 【點評】本題考查了切線的判定和性質、勾股定理、矩形的判定和性質以及垂徑定理，是基礎知識要熟練掌握． 　 27．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D為圓上兩點，且弧CB=弧CD，CF⊥AB于點F，CE⊥AD的延長線于點E． （1）試說明：DE=BF； （2）若∠DAB=60，AB=6，求△ACD的面積． 【考點】圓周角定理；全等三角形的判定與性質；圓心角、弧、弦的關系． 【分析】（1）根據已知證明△CED≌△CFB，根據全等三角形的性質就可以題目的結論； （2）由于AB是直徑，可以得到∠ACB=90，而∠DAB=60，AB=6，解直角三角形ACB可以求出AC，BC，接著求出CF，BF，根據已知條件容易證明△CAE≌△CAF，所以S△ACD=S△ACE﹣S△CDE=S△ACF﹣S△CFB，根據這個等式就可以求出△ACD的面積． 【解答】（1）證明：∵弧CB=弧CD ∴CB=CD，∠CAE=∠CAB（1分） 又∵CF⊥AB，CE⊥AD ∴CE=CF（2分） ∴Rt△CED≌Rt△CFB（HL） ∴DE=BF；（4分） （2）解：∵CE=CF，∠CAE=∠CAB ∴△CAE≌△CAF ∵AB是⊙O的直徑 ∴∠ACB=90 ∵∠DAB=60 ∴∠CAB=30，AB=6 ∴BC=3 ∵CF⊥AB于點F ∴∠FCB=30 ∴， ∴S△ACD=S△ACE﹣S△CDE=S△ACF﹣S△CFB=?（AF﹣BF）?CF=（AB﹣2BF）?CF=．（8分） 【點評】此題把角平分線，全等三角形放在圓的背景中，利用圓的有關性質和角平分線的性質來證明全等三角形，然后利用全等三角形的性質解決題目的問題． 　 28．如圖，△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3．半徑為1的圓的圓心P以1個單位/S的速度由點A沿AC方向在AC上移動，設移動時間為t（單位：s）． （1）當t為何值時，⊙P與AB相切； （2）作PD⊥AC交AB于點D，如果⊙P和線段BC交于點E．求當t為何值時，四邊形PDBE為平行四邊形． 【考點】圓的綜合題． 【分析】（1）首先過P作PH⊥AB于H，由⊙P與AB相切，可得PH=1，易證得△APH∽△ABC，根據相似三角形的對應邊成比例，可得，繼而求得AP的長；即可得當t為何值時，⊙P與AB相切； （2）由PD⊥AC，∠C=90，可證得PD∥BC，繼而可得當PE∥AB時，四邊形PDBE為平行四邊形，則可得△CPE∽△CAB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得CP的長，繼而求得答案． 【解答】解：（1）∵過P作PH⊥AB于H， 又∵⊙P與AB相切， ∴PH=1， ∴∠AHP=∠C=90，∠A=∠A， ∴△APH∽△ABC，…（2分） ∴， ∵△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3， ∴AB==5， ∴， ∴AP=， ∴當t=時，⊙P與AB相切；…（5分） （2）∵PD⊥AC，∠C=90， ∴PD∥BE， ∴當PE∥AB時，四邊形PDBE為平行四邊形． ∴△CPE∽△CAB， ∴， ∴， ∴CP=， ∴AP=AC﹣CP=， ∴當t=時，四邊形PDBE為平行四邊形．…（9分） 【點評】此題考查了切線的性質、平行四邊形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．