第十周周清 簡單的線性規(guī)劃問題及基本不等式1.某工廠用兩種不同原料均可生產(chǎn)同一產(chǎn)品，若采用甲種原料，每噸成本1000元，運(yùn)費(fèi)500元，可得產(chǎn)品90千克；若采用乙種原料，每噸成本為1500元，運(yùn)費(fèi)400元，可得產(chǎn)品100千克，如果每月原料的總成本不超過6000元，運(yùn)費(fèi)不超過2000元，那么此工廠每月最多可生產(chǎn)多少千克產(chǎn)品？分析：將已知數(shù)據(jù)列成下表甲原料（噸）乙原料（噸）費(fèi)用限額成本100015006000運(yùn)費(fèi)5004002000產(chǎn)品90100解：設(shè)此工廠每月甲、乙兩種原料各x噸、y噸，生產(chǎn)z千克產(chǎn)品，則：z=90x+100y作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域：由令90x+100y=t，作直線:90x+100y=0即9x+10y=0的平行線90x+100y=t，當(dāng)90x+100y=t過點(diǎn)M（）時(shí)，直線90x+100y=t中的截距最大，由此得出t的值也最大，最大值zmax=90=440.答：工廠每月生產(chǎn)440千克產(chǎn)品.2.某工廠家具車間造A、B型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張A、B型桌子分別需要1小時(shí)和2小時(shí)，漆工油漆一張A、B型桌子分別需要3小時(shí)和1小時(shí)；又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時(shí)和9小時(shí)，而工廠造一張A、B型桌子分別獲利潤2千元和3千元，試問工廠每天應(yīng)生產(chǎn)A、B型桌子各多少張，才能獲得利潤最大？解：設(shè)每天生產(chǎn)A型桌子x張，B型桌子y張.則目標(biāo)函數(shù)為：z=2x+3y作出可行域：把直線l：2x+3y=0向右上方平移至l的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M，且與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)z=2x+3y取最大值.解方程得M的坐標(biāo)為（2，3）.答：每天應(yīng)生產(chǎn)A型桌子2張，B型桌子3張才能獲得最大利潤.評(píng)述：簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實(shí)際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.二、基本不等式基本不等式不等式成立的條件等號(hào)成立的條件a>0，b>0ab三、常用的幾個(gè)重要不等式(1)a2b22ab(a，bR) (2)ab()2(a，bR)(3)()2(a，bR) (4)2(a，b同號(hào)且不為零)上述四個(gè)不等式等號(hào)成立的條件都是ab.四、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)四個(gè)“平均數(shù)”的大小關(guān)系；a，bR+：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào).五、利用基本不等式求最值：設(shè)x，y都是正數(shù)(1)如果積xy是定值P，那么當(dāng)xy時(shí)和xy有最小值2.(2)如果和xy是定值S，那么當(dāng)xy時(shí)積xy有最大值S2.強(qiáng)調(diào)：1、在使用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常數(shù)，和有最小值”這兩個(gè)結(jié)論時(shí)，應(yīng)把握三點(diǎn)：“一正、二定、三相等、四最值”.當(dāng)條件不完全具備時(shí)，應(yīng)創(chuàng)造條件. 正：兩項(xiàng)必須都是正數(shù)； 定：求兩項(xiàng)和的最小值，它們的積應(yīng)為定值；求兩項(xiàng)積的最大值，它們的和應(yīng)為定值。等：等號(hào)成立的條件必須存在.2、當(dāng)利用基本不等式求最大(小)值等號(hào)取不到時(shí)，如何處理？3）已知a>0，b>0，ab1，求證：4.【證明】(1)a>0，b>0，ab1，2224(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)4.原不等式成立例4： (1)設(shè)0<x<2，求函數(shù)的最大值【分析】由和或積為定值從而利用基本不等式求最值，然后確定取得最值的條件【解】(1)0<x<2，2x>0，y，當(dāng)且僅當(dāng)x2x即x1時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)y的最大值是.(2) x>0，求f(x)3x的最小值；