四川省綿陽市南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2017屆高三數(shù)學(xué)9月月考試題 文 本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷1至2頁(yè)，第II卷2至4頁(yè)．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘． 注意事項(xiàng)： 1．答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，同時(shí)用2B鉛筆將考號(hào)準(zhǔn)確填涂在“考號(hào)”欄目?jī)?nèi)． 2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再選涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效． 3．考試結(jié)束后將答題卡收回． 第Ⅰ卷（選擇題 共60分） 1、 選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中， 只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1、已知 則 （ ） A． B. C. D. 2、若集合，且，則集合可能是 （ ） A． B． C． D． 3、已知數(shù)列的首項(xiàng)為＝1，且滿足則此數(shù)列的第4項(xiàng)是 (　 　) A．1　　 B. C. D． 4、如果等差數(shù)列中，，那么等于 （ ） A.21 B.30 C.35 D.40 5、如果a＝(1，k)，b＝(k,4)，那么“a∥b”是“k＝－2”的 (　　) A．充分不必要條件　 B．必要不充分條件 C．充分必要條件　 D．既不充分也不必要條件 6、下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是 ( ) A.y＝sin(2x＋) B.y＝cos(2x＋) C.y＝sin2x＋cos2 D.y＝sinx＋cosx 7、在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，則△ABC的最小角為 (　 　) A. B. C. D. 8、設(shè) ，向量 （ ） A. B. C. D. 9、若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 10、為了得到，只需將作如下變換 （ ） A． 向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位 C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位 11、 已知函數(shù)是定義在上周期為3的奇函數(shù)，若，則（ ） A． B． C． D． 12、 已知是上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足恒成立，. 若曲線在點(diǎn) 處的切線為，且，則 （ ） A．-500.5 B.-501.5 C.-502.5 D.-503.5 第Ⅱ卷（非選擇題 共90分） 2、 填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13、在等差數(shù)列中，已知＝10，＝31，則公差d＝________． 14、在ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點(diǎn)，則＝________.(用a，b表示) 15、已知cos(75＋α)＝，則cos(30－2α)的值為________． 16、函數(shù)，若a,b,c,d是互不相等的實(shí)數(shù)，且 ，則a+b+c+d的取值范圍為___ 3、 解答題：本大題共6小題,共70分,解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． （一）必做題（第17-21題為必做題，每小題12分，共計(jì)60分） 17.已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a3a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前項(xiàng)和. 18.已知向量， 函數(shù) （1）求的單調(diào)增區(qū)間； (2)求在區(qū)間的最小值. 19．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列， （1）若a=1，b=，求sinC； （2）若a，b，c成等差數(shù)列，試判斷△ABC的形狀． 20.設(shè)函數(shù) , 是 的導(dǎo)函數(shù)，且1和4分別是的兩個(gè) 極值點(diǎn)． （1）求的單調(diào)減區(qū)間； (2）若對(duì)于，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 21．已知 （1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）當(dāng)a＞0時(shí)，若的最小值為1，求a的值； （3）設(shè)若g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），證明： 請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講 如圖，已知是以為直徑的⊙的一條弦，點(diǎn)是劣弧上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作于 ，交于，延長(zhǎng)線交⊙于. （1）求證：； （2）延長(zhǎng)到，使，求證：. 23. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線在直角坐標(biāo)系下的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. （1）求曲線的極坐標(biāo)方程； （2）直線的極坐標(biāo)方程是，射線：與曲線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng). 24. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知實(shí)數(shù)，，且，若恒成立. （1）求實(shí)數(shù)的最小值； （2）若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.  南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高2014級(jí)高三上期九月月考（答案） 數(shù)學(xué)（文史類） DABBB BCBAC BC 13、 -3 14、　 15、 16、（3,2018） 17、解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d＞0， 由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a2＋a5＝a3＋a4＝22， 所以a3，a4是關(guān)于x 的方程x2－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通項(xiàng)為an＝1＋(n－1)4＝4n－3.……6分 (2) ……12分 18解：（1) 由 得 的單調(diào)增區(qū)間為 ……6分 （2） 上的最小值為0……12分 19．解：（1）由A+B+C=π，2B=A+C，得B=． 由，得，得sinA=， 又0＜A＜B，∴A=，則C=． ∴sinC=1；……6分 （2）證明：由2b=a+c，得4b2=a2+2ac+c2， 又b2=a2+c2﹣ac， 得4a2+4c2﹣4ac=a2+2ac+c2， 得3（a﹣c）2=0，∴a=c， ∴A=C，又A+C=，∴A=C=B=， ∴△ABC是等邊三角形．……12分 20.解：（Ⅰ）f′（x）==（x＞0），∵1和4分別是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)， ∴1和4分別是f′（x）=0的兩根， ∴1+4=﹣，， 解得a=，b=﹣5．∴f（x）=4lnx+﹣5x． ……………………3分 由上得f′（x）=+x﹣5=（x＞0）） 由f′（x）＜0，解得1＜x＜4．故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，4） ……………………4分 （Ⅱ）對(duì)于?x1∈[1，e]，?x2∈[1，e]，使得f（x1）+λ[f′（x2）+5]＜0成立，?等價(jià)于“?x2∈[1，e]，使得λ[f′（x2）+5]＜[﹣f（x1）]min，x1∈[1，e]．由上可得：x1∈[1，e]，f（x1）單調(diào)遞減，故﹣f（x1）單調(diào)遞增，∴[﹣f（x1）]min=﹣f（1）= ； ……………………6分 又x2∈[1，e]，時(shí)，f′（x2）+5=＞0且在[1，2]上遞減，在[2，e]遞增，∴[f′（x2）]min=f′（2）=4，……………………8分 從而問題轉(zhuǎn)化為“?x2∈[1，e]，使”，即“?x2∈[1，e]，使λ＜成立”，故λ＜== ． ∴λ∈． ……………………12分 21解：（1）f（x）=x2﹣alnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x﹣=，x＞0， 當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增； 當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x＞時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增； 當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減； （2）當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）可得x=處f（x）取得極小值， 也為最小值，且為﹣ln， 由題意可得﹣ln=1， 令h（x）=x﹣xlnx，h′（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx， 當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，g（x）遞減； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，g（x）遞增． 即有x=1處h（x）取得極大值，且為最大值1， 則﹣ln=1的解為a=2； （3）證明：g（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x﹣alnx，x＞0． g′（x）=2x﹣2﹣=， 由題意可得x1，x2（x1＜x2）為2x2﹣2x﹣a=0的兩根， 即有△=4+8a＞0，解得﹣＜a＜0， x1+x2=1，x1x2=﹣， g（x1）+g（x2）=x12﹣2x1﹣alnx1+x22﹣2x2﹣alnx2 =（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）﹣aln（x1x2） =1+a﹣2﹣aln（﹣）=a﹣aln（﹣）﹣1， 令m（a）=a﹣aln（﹣）﹣1，﹣＜a＜0， 可得m′（a）=1﹣（ln（﹣）+1）=﹣ln（﹣）＞0， 即有m（a）在（﹣，0）遞增，可得m（a）＞m（﹣）， 由m（﹣）=﹣+ln﹣1=﹣﹣ln2＞﹣﹣1=﹣． 則有g(shù)（x1）+g（x2）＞﹣． 22.證明：（1）解法一：連結(jié)、. ∵，∴弧=弧，∴ 在與中，，， ∴∽，∴，∴. 解法二：由射影定理可得，易證∽， 可得，故，∴ （2）連結(jié).∵，∴， 又∵，∴， ∵在中，，∴， ∵，∴，∴，即， ∴為⊙的切線，， ∵，∴. 23.解：（1）曲線的普通方程為, 又，，∴曲線的極坐標(biāo)方程為. （2）由， 故射線與曲線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為； 由，故射線與直線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為. ∴. 24．解：（1）∵恒成立，∴. ∵，，由柯西不等式， ∴（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)） 故，∴，實(shí)數(shù)的最小值為4. （2）由（1）知. 若對(duì)任意的，恒成立，只需， 該不等式等價(jià)于或或 解得或.