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宜昌市七中2017屆高三9月月考數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．已知集合M={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，則M∩N=（　?。? A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3} 2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z=2i，則z=（　?。? A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 3．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，則a1=（　?。? A． B． C． D． 4．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β．直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則（　　） A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α與β相交，且交線平行于l D．α與β相交，且交線垂直于l 5．已知（1+ax）（1+x）5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為5，則a=（　?。? A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 6．執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的N=10，那么輸出的S=（　?。? A． B． C． D． 7．一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為（　?。? A． B． C． D． 8．設(shè)a=log36，b=log510，c=log714，則（　?。? A．c＞b＞a B．a(chǎn)＞b＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．b＞c＞a 9．已知a＞0，實(shí)數(shù)x，y滿足：，若z=2x+y的最小值為1，則a=（　　） A．2 B．1 C． D． 10．已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　） A．?xα∈R，f（xα）=0 B．函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形 C．若xα是f（x）的極小值點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（﹣∞，xα）單調(diào)遞減 D．若xα是f（x）的極值點(diǎn)，則f′（xα）=0 11．設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)（0，2），則C的方程為（　　） A．y2=4x或y2=16x B．y2=2x或y2=8x C．y2=4x或y2=8x D．y2=2x或y2=16x 12．已知點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直線y=ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（　?。? A．（0，1） B． C． D． 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分． 13．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則=　　　?。? 14．從n個(gè)正整數(shù)1，2，…，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n=　　　?。? 15．設(shè)θ為第二象限角，若，則sinθ+cosθ=　　　　． 16．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為　　　?。? 　 三．解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟： 17．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB． （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值． 18．如圖，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1=AC=CB=AB． （Ⅰ）證明：BC1∥平面A1CD （Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值． 19．經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以x（單位：t，100≤x≤150）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T（單位：元）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)． （Ⅰ）將T表示為x的函數(shù)； （Ⅱ）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57000元的概率； （Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率（例如：若x∈[100，110））則取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的頻率，求T的數(shù)學(xué)期望． 20．平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓M：（a＞b＞0）右焦點(diǎn)的直線x+y﹣=0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為． （Ⅰ）求M的方程 （Ⅱ）C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值． 21．已知函數(shù)f（x）=ex﹣ln（x+m） （Ι）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性； （Ⅱ）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）＞0． 　 22． 已知，且 （1）要使不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）求證：.  宜昌市七中2017屆高三9月月考數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．B． 2．A． 3．D． 4．C． 5．D． 6．B． 7．A． 8．B． 9．C． 10．C． 11．A． 12．B． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分． 13． 2　． 14． 8 ． 15．﹣?。? 16． ﹣49?。? 三．解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟： 17．（12分）（2013?新課標(biāo)Ⅱ）△ABC在內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB． （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值． 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①， ∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②， ∴sinB=cosB，即tanB=1， ∵B為三角形的內(nèi)角， ∴B=； （Ⅱ）S△ABC=acsinB=ac， 由已知及余弦定理得：4=a2+c2﹣2accos≥2ac﹣2ac， 整理得：ac≤，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立， 則△ABC面積的最大值為=（2+）=+1． 　 18．（12分）（2013?新課標(biāo)Ⅱ）如圖，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1=AC=CB=AB． （Ⅰ）證明：BC1∥平面A1CD （Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值． 解：（Ⅰ）證明：連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)， 又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC1∥DF， 因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1?平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD． （Ⅱ）因?yàn)橹崩庵鵄BC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD， 由已知AC=CB，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB， 又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1， 設(shè)AB=2，則AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90， CD=，A1D=，DE=，A1E=3 故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC， 又A1C=2，過(guò)D作DF⊥A1C于F，∠DFE為二面角D﹣A1C﹣E的平面角， 在△A1DC中，DF==，EF==， 所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE=． 　 19．（12分）（2013?新課標(biāo)Ⅱ）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以x（單位：t，100≤x≤150）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T（單位：元）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)． （Ⅰ）將T表示為x的函數(shù)； （Ⅱ）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57000元的概率； （Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率（例如：若x∈[100，110））則取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的頻率，求T的數(shù)學(xué)期望． 解：（Ⅰ）由題意得，當(dāng)x∈[100，130）時(shí)，T=500x﹣300（130﹣x）=800x﹣39000， 當(dāng)x∈[130，150）時(shí)，T=500130=65000， ∴T=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，利潤(rùn)T不少于57000元，當(dāng)且僅當(dāng)120≤x≤150． 由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7， 所以下一個(gè)銷售季度的利潤(rùn)T不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7． （Ⅲ）依題意可得T的分布列如圖， T 45000 53000 61000 65000 p 0.1 0.2 0.3 0.4 所以ET=450000.1+530000.2+610000.3+650000.4=59400． 　 20．（12分）（2013?新課標(biāo)Ⅱ）平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓M：（a＞b＞0）右焦點(diǎn)的直線x+y﹣=0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為． （Ⅰ）求M的方程 （Ⅱ）C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值． 解：（Ⅰ）把右焦點(diǎn)（c，0）代入直線x+y﹣=0得c+0﹣=0，解得c=． 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)P（x0，y0）， 則，，相減得， ∴， ∴，又=， ∴，即a2=2b2． 聯(lián)立得，解得， ∴M的方程為． （Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可設(shè)直線CD的方程為y=x+t， 聯(lián)立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0， ∵直線CD與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， ∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）． 設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），∴，． ∴|CD|===． 聯(lián)立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或， ∴交點(diǎn)為A（0，），B， ∴|AB|==． ∴S四邊形ACBD===， ∴當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，四邊形ACBD面積的最大值為，滿足（*）． ∴四邊形ACBD面積的最大值為． 　 21．（12分）（2013?新課標(biāo)Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ln（x+m） （Ι）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性； （Ⅱ）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）＞0． （Ⅰ）解：∵，x=0是f（x）的極值點(diǎn)，∴，解得m=1． 所以函數(shù)f（x）=ex﹣ln（x+1），其定義域?yàn)椋ī?，+∞）． ∵． 設(shè)g（x）=ex（x+1）﹣1，則g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上為增函數(shù)， 又∵g（0）=0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，即f′（x）＞0；當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0． 所以f（x）在（﹣1，0）上為減函數(shù)；在（0，+∞）上為增函數(shù)； （Ⅱ）證明：當(dāng)m≤2，x∈（﹣m，+∞）時(shí)，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需證明當(dāng)m=2時(shí)f（x）＞0． 當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)在（﹣2，+∞）上為增函數(shù)，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0． 故f′（x）=0在（﹣2，+∞）上有唯一實(shí)數(shù)根x0，且x0∈（﹣1，0）． 當(dāng)x∈（﹣2，x0）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0， 從而當(dāng)x=x0時(shí)，f（x）取得最小值． 由f′（x0）=0，得，ln（x0+2）=﹣x0． 故f（x）≥=＞0． 綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）＞0． 　 22．22． 已知，且 （1）要使不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）求證：. 解（1） （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)） 要使不等式恒成立，只要即可，解上式可得 （2）由柯西不等式得，