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湖北省恩施州建始縣第一中學(xué)2017屆高三年級上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)（理科）試題 ★ 祝考試順利 ★ 時間：120分鐘 分值150分_ 第I卷（選擇題共60分） 一、選擇題（本大題12小題，每小題5分，共60分） 1．下列命題正確的有( ) ①的展開式中所有項的系數(shù)和為 0； ② 命題:“”的否定:“”； ③ 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(0, 1),若，則； ④ 回歸直線一定過樣本點的中心（）。 A．1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 2．若sin>0，cos<0，則角的終邊在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知,且在第三象限，則 A. B. C. D. 4．若a是從區(qū)間[0，2]中任取的一個實數(shù)，b是從區(qū)間[0，3]中任取的一個實數(shù)，則a＜b的概率是（ ） A． B． C． D． 5．設(shè)是空間兩條直線，,是空間兩個平面，則下列選項中不正確的是（ ） A．當(dāng)時，“”是“”的必要不充分條件 B．當(dāng)時，“”是“”的充分不必要條件 C．當(dāng)時， “”是“∥”成立的充要條件 D．當(dāng)時，“”是“”的充分不必要條件 6．定義域是R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時， 若時，有解，則實數(shù)t的取值范圍是 A. B. C. D. 7．已知集合A={0，1，2}，B={x|1＜x＜4}，則A∩B=（　?。? A．{0} B．{1} C．{2} D．{1，2} 8．直線x+-2=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點，則弦AB的長度等于 A、 B、. C、 D、1 9．已知，且，則為（ ） A． B． C．2 D． 10．設(shè)S,T,是R的兩個非空子集,如果存在一個從S到T的函數(shù)滿足: 對任意當(dāng)時,恒有,那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”．以下集合對不是“保序同構(gòu)”的是（ ） A、 B、 C、 D、 11．定義在R上的函數(shù)滿足：的圖像關(guān)于軸對稱，并且對任意的有，則當(dāng)時，有( ) A． B． C． D． 12．已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為，且雙曲線右支上一點到右焦點的距離的最小值為2，則雙曲線的離心率為（ ） （A） （B）3 （C）2 （D） 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共4個小題，每題5分，滿分20分） 13．已知點在曲線上，為曲線在點處的切線的傾斜角，則的取值范圍是 。 14．隨機(jī)變量X等可能取值為1,2,3，……，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________. 15．若關(guān)于的方程有實根，則實數(shù)的取值范圍是 16．已知數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，從a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意三項，則剩下四項依然構(gòu)成單調(diào)遞增的等差數(shù)列的概率是________． 三、解答題（70分） 17．（本題10分）雙曲線與橢圓有相同焦點，且經(jīng)過點，求雙曲線的方程 18．（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且 （1）求的值； （2）若，求向量方向上的投影． 19．（本小題滿分14分） 已知函數(shù)． (Ⅰ) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若函數(shù)的圖像在點處的切線的傾斜角為，問：在什么范圍取值時，對于任意的，函數(shù)g(x)=x3 + x2在區(qū)間上總存在極值？ （Ⅲ）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上至少存在一個， 使得成立，試求實數(shù)的取值范圍． 20．（本題12分）扶余市為“市中學(xué)生知識競賽”進(jìn)行選拔性測試，且規(guī)定：成績大于或等于分的有參賽資格，分以下（不包括分）的則被淘汰。若現(xiàn)有人參加測試，學(xué)生成績的頻率分布直方圖如下： （1）求獲得參賽資格的人數(shù)； （2）根據(jù)頻率分布直方圖，估算這名學(xué)生測試的平均成績． 21．（本題12分）已知橢圓：的一個焦點為，左右頂點分別為，，經(jīng)過點的直線與橢圓交于，兩點． （1）求橢圓方程； （2）記與的面積分別為和，求的最大值． 22．（本題12分）（本小題滿分10分）已知函數(shù)，且當(dāng)時，的最小值為2， （1）求的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）先將函數(shù)的圖象上的點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的，再把所得的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求方程在區(qū)間上所有根之和 答案 1．D 【解析】 試題分析：①對，令，則=0，故展開式所有項的系數(shù)為0，②對，對于③， 易知，,所以 ，所以正確. 由回歸方程可知回歸直線一定經(jīng)過，故正確.故選D. 考點：命題的真假判斷與應(yīng)用；命題的否定；對數(shù)值大小的比較；線性回歸方程． 點評：本題考查了命題的真假判斷，綜合考查了相關(guān)問題的概念，如：回歸直線方程與線性相關(guān)性，特稱命題與全稱命題，對數(shù)與指數(shù)的應(yīng)用． 2．B 【解析】 試題分析：根據(jù)題意,由于sin>0，則角在第一和第二象限，對于cos<0，角在第二和第三象限，故同時成立時，則角的終邊在第二象限，故選B. 考點：三角函數(shù)的象限的符號 點評：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的象限的符號，考查不等式的解法，送分題． 3．D 【解析】 試題分析：因為，且x在第三象限，所以并且，解得，，故答案選D. 考點：三角函數(shù)定義；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；象限三角函數(shù)的符號. 4．A 【解析】 試題分析：由題意知本題是一個幾何概型，根據(jù)所給的條件作出試驗發(fā)生是包含的所有事件是一個矩形區(qū)域，做出面積，看出滿足條件的事件對應(yīng)的面積，根據(jù)幾何概型公式得到結(jié)果． 解：如圖，所有的基本事件對應(yīng)集合Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}， 所構(gòu)成的區(qū)域為矩形及其內(nèi)部，其面積為S=32=6， 事件A對應(yīng)的集合A={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，且a＜b}， 且在直線a=b的右上方部分，其面積S=6﹣22=4， 故事件A發(fā)生的概率P（A）==， 故選：A． 考點：幾何概型． 5．A 【解析】 試題分析：當(dāng)時，若可得或異面；若可得或，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，答案選A. 考點：本小題主要考查充分必要條件. 6．B 【解析】當(dāng)時，的取值范圍為，當(dāng)時，的取值范圍為，則當(dāng)時，的值域為；由， 得，當(dāng)時，；則當(dāng)時，的值域為；若時，有解，則，即，解得. 考點：函數(shù)的圖像與性質(zhì). 7．C. 【解析】 試題分析：由題意所給的集合及交集定義易知，既在集合A又在集合B中的元素僅有元素2，故A∩B={2}. 考點：集合的基本運(yùn)算. 8．B 【考點定位】該題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查計算求解能力 【解析】B正確. 9．B 【解析】 試題分析： 考點：向量的運(yùn)算 10．D 【解析】 試題分析：由題意（1）可知，S為函數(shù)y＝f（x）的定義域，T為函數(shù)y＝f（x）的值域，由（2）可知，函數(shù)y＝f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，對于A，可構(gòu)造函數(shù)y＝x－1，x∈N*，y∈N，滿足條件；對于B，構(gòu)造函數(shù)滿足條件；對于C，構(gòu)造函數(shù)，x∈（0,1），滿足條件；對于D，無法構(gòu)造其定義域為Z，值域為Q且遞增的函數(shù)，故選D． 考點：（1）這是信息給予題，要理解題中的信息，（2）構(gòu)造函數(shù)思想的應(yīng)用。 11．A 【解析】 試題分析：由的圖像關(guān)于軸對稱可知函數(shù)為偶函數(shù)故，由對任意的有可知函數(shù)在單調(diào)增，在單調(diào)減，，綜上可知. 考點：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值，函數(shù)的奇偶性、周期性. 12．C 【解析】 考點：雙曲線的簡單性質(zhì)． 分析：根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知雙曲線右支上一點P到右焦點的距離的最小時，p在右頂點上，進(jìn)而求得c-a的值，然后利用點到直線的距離表示出焦點到漸近線的距離，求得a和c的關(guān)系式，最后兩關(guān)系式聯(lián)立求得a和c，則離心率可得． 解：依題意可知雙曲線右支上一點P到右焦點的距離的最小時，P在右頂點上，即c-a=2① ∵焦點到漸近線的距離為2， 即=2，② ①②聯(lián)立求得a=2，c=4 ∴e==2 故選C． 13． 【解析】解：根據(jù)題意得f′（x）= ， ∵k= 且k＜0 則曲線y=f（x）上切點處的切線的斜率k≥-1， 又∵k=tanα，結(jié)合正切函數(shù)的圖象 由圖可得α∈ 故答案為： 14．10 【解析】略 15． 【解析】 試題分析：由得，因為，所以． 考點：方程有解問題，三角函數(shù)的性質(zhì)． 【名師點睛】本題考查方程根的問題（函數(shù)零點），解題關(guān)鍵是進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化，肥方程有解問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域，即求函數(shù)的值域，對此函數(shù)只要注意具有范圍限制：，因此三角函數(shù)值域又可通過換元法變?yōu)榍笤诮o定區(qū)間上的二次函數(shù)的值域．在變換過程中注意參數(shù)的聯(lián)歡會范圍的變化，否則易出錯． 16． 【解析】從a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意三項，有＝35種不同方法，剩下四項依然構(gòu)成單調(diào)遞增的等差數(shù)列的取法有3種，即取走a1，a2，a3；a5，a6，a7；a2，a4，a6．所以所求概率P＝． 17．． 【解析】 試題分析：由橢圓方程可求得其焦點，即雙曲線的焦點，則可設(shè)出雙曲線方程，將點代入即可求得雙曲線方程． 試題解析：解：由題意知雙曲線的焦點為，可設(shè)雙曲線方程為， 點在曲線上，代入得或（舍） 所以雙曲線的方程為． 考點：雙曲線方程． 18．（1）（2） 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)、二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡即可，三角函數(shù)化簡無非就是應(yīng)用二倍角公式、降冪公式以及兩角和與差公式，例如本題中出現(xiàn)，這就是一個切入點；（2）由正弦定理以及余弦定理先求出需要的值，再根據(jù)投影的定義求解 試題解析：（1）由，得 ， 即， 則，即． （2）由，，得． 由正弦定理，有，所以． 由題意知，則，故． 依余弦定理，有， 解得或（舍去）． 故向量在方向上的投影為． 考點：1．二倍角公式；2．兩角和與差的三角函數(shù)公式；3．正、余弦定理；4．投影的概念 19．（Ⅰ）當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是； 當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是. （Ⅱ）當(dāng)在內(nèi)取值時，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值. （Ⅲ） 【解析】 試題分析：(I)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)大（?。┯诹悖蟮煤瘮?shù)f(x)的增（減）區(qū)間，要注意含參時對參數(shù)進(jìn)行討論. （II）根據(jù)可得，從而可求出,進(jìn)而得到,那么本小題就轉(zhuǎn)化為有兩個不等實根且至少有一個在區(qū)間內(nèi),然后結(jié)合二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)求解即可. (III)當(dāng)a=2時，令，則 . 然后對p分和兩種情況利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可. （Ⅰ）由知 當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是； 當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是. （Ⅱ）由, ∴，. 故， ∴． ∵ 函數(shù)在區(qū)間上總存在極值， ∴有兩個不等實根且至少有一個在區(qū)間內(nèi) 又∵函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，且， ∴ 由， ∵在上單調(diào)遞減，所以； ∴，由，解得； 綜上得： 所以當(dāng)在內(nèi)取值時，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值. （Ⅲ）令，則 . ①當(dāng)時，由得，從而, 所以，在上不存在使得； ②當(dāng)時，,， 在上恒成立， 故在上單調(diào)遞增. 故只要，解得 綜上所述， 的取值范圍是 考點：本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)單調(diào)區(qū)間極值最值當(dāng)中的應(yīng)用. 點評：利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間時，要注意含參時要進(jìn)行討論，并且對于與不等式結(jié)合的綜合性比較強(qiáng)的題目，要注意解決不等式問題時，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性極值最值研究. 20．（1）75（人）；（2）67（分） 【解析】 試題分析：（1）成績大于或等于分的具有參賽資格，則參賽人數(shù)=頻率總?cè)藬?shù)（人），根據(jù)頻率分布直方圖可知，參賽的頻率為：代入上式，得到所求人數(shù)；（2）在頻率分布直方圖中，平均數(shù)為每個矩形中點橫坐標(biāo)與矩形面積的和，即. 試題解析：（Ⅰ）（人） （Ⅱ）（分） 考點：1.頻率分布直方圖；2.平均數(shù). 21．（1）；（2）． 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)條件焦點坐標(biāo)以及即可求解；（2）對直線是否存在分類討論，建立關(guān)于斜率的函數(shù)關(guān)系式，從而求解． 試題解析：（1）∵為橢圓的焦點，∴，又∵，∴，∴橢圓方程為；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，此時，，，面積相等，，當(dāng)直線斜率存在（顯然）時,設(shè)直線方程為, 設(shè)，，和橢圓方程聯(lián)立得到，消掉得， 顯然，方程有根，且，， 此時， ∵，上式，（時等號成立）， ∴的最大值為． 考點：1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．直線與橢圓的位置關(guān)系；3．橢圓中的最值問題． 22．（1）； （2） 【解析】 試題分析：第一問利用倍角公式和輔助角公式化簡解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合自變量的取值范圍，從而求得的值，當(dāng)前函數(shù)解析式已經(jīng)確定，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，利用整體角的思想求得函數(shù)的遞增區(qū)間，第二問利用圖像的變換，求得函數(shù)的的解析式，利用題中所給的函數(shù)值，從而求得，結(jié)合自變量的取值范圍，從而求得所以根之和． 試題解析：（1）函數(shù)，，，得；即，由題意得， 得， 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為． （2）由題意得，所以有， 又由得，解得 ， 即， ，故所有根之和為． 考點：倍角公式，輔助角公式，三角函數(shù)的性質(zhì)，圖像的變換．