第09講 操作問題（上） 教學目標： 1、通過對操作類問題的學習，使學生掌握解操作問題的一般方法； 2、能夠把數(shù)學的思想和方法運用到具體實踐當中去，嘗試將具體內(nèi)容抽象化； 3、通過動手操作培養(yǎng)學生對數(shù)學學習的興趣。 教學重點： 掌握和數(shù)字、染色、計數(shù)相關(guān)的操作問題的一般思路和方法。 教學難點： 將具體內(nèi)容抽象成數(shù)學問題，換言之，對數(shù)學思維和方法的靈活運用。 教學過程： 【環(huán)節(jié)一：預(yù)習討論，案例分析】 【知識回顧——溫故知新】（參考時間-2分鐘） 1、牛吃草問題是一類特殊的問題，它的難點在于草的總量有變化，要注意單位“1”的選取。 2、涉及這樣幾類可以轉(zhuǎn)化成牛吃草的問題類型：排隊、進出水、排隊、工程等幾類問題。 【知識回顧——上期鞏固】（參考時間-3分鐘） 甲、乙、丙三個倉庫各存放著數(shù)量相同的面粉。甲倉庫用一臺皮帶輪輸送機和12個工人，5小時可將甲倉庫里的面粉搬完；乙倉庫用一臺皮帶輪輸送機和28個工人，3小時可將倉庫內(nèi)面粉搬完；丙倉庫現(xiàn)有2臺皮帶輪輸送機，如果要用2小時把丙倉庫內(nèi)面粉搬完，同時還需要多少個工人？（工人的工作效率相同，皮帶輪的工作效率相同） 解析部分：總的工作量可以看成是總的草量，一臺皮帶輪輸機的工作效率相當于草的減少速度，工人相當于牛，把工人的工作效率看成1份，先求出一臺皮帶輪輸送機的工作效率。再根據(jù)工人和機器的工作效率求出丙倉庫內(nèi)總共有多少面粉，然后求出需要多少工人。 給予新學員的建議：明確工作效率的意義和概念，然后求出工作效率，找到問題突破口。 哈佛案例教學法：引導學員進行問題的小組內(nèi)積極活躍的討論，并表達出自己的思考和觀點。 參考答案： 設(shè)工人的工作效率是“1”份 皮帶輪輸送機的工作效率：（28×3－12×5）÷（5－3）=12（份） 丙倉庫面粉量：（12＋12×1）×5=120（份） (120÷2－2×12）÷1=36（人） 答：同時還需要36人。 【預(yù)習題分析——本期預(yù)習】（參考時間-7分鐘） 對于任意一個自然數(shù) n，當 n為奇數(shù)時，加上121；當n為偶數(shù)時，除以2。這算一次操作?，F(xiàn)在對231連續(xù)進行這種操作，在操作過程中是否可能出現(xiàn)100？為什么？ 解析部分：對231按照之前約定的規(guī)則做操作： ① 觀察發(fā)現(xiàn)，操作的結(jié)果都是11的倍數(shù)，因為231和121都是11的倍數(shù)，而2不是11的倍數(shù)，所以在操作過程中產(chǎn)生的數(shù)也應(yīng)當是11的倍數(shù)。100不是11的倍數(shù)，所以不可能出現(xiàn)。 ② 另一個角度，操作過程中第17次的操作結(jié)果176與第2次操作結(jié)果相同，所以從176開始就進入了一個循環(huán)，在循環(huán)中沒有100，所以在操作過程中也不可能出現(xiàn)100。 給予新學員的建議：首先對于問題的要求進行具體的操作，從數(shù)字的變化中找出規(guī)律。 哈佛案例教學法：引導學員自己進行紙上計算，鼓勵學員積極參與小組內(nèi)的討論。 參考答案：現(xiàn)在對231連續(xù)進行這種操作，在操作過程中不可能出現(xiàn)100。 因為231和121都是11的倍數(shù)，2不是11的倍數(shù)，所以在操作過程中產(chǎn)生的數(shù)也應(yīng)當是11的倍數(shù)。100不是11的倍數(shù)，所以不可能出現(xiàn)。 【環(huán)節(jié)二：知識拓展、能力提升】 【知識點分析——本期知識點】（參考時間-2分鐘） 所謂操作問題，實際上是對某個事物按一定要求進行的一種變換，這種變換可以具體執(zhí)行。操作問題往往是求連續(xù)進行這種操作后可能得到的結(jié)果。 主要介紹： ① 與數(shù)字相關(guān)的操作問題； ② 染色相關(guān)的操作問題； ③ 計數(shù)方面的操作問題。 【例題分析——講解室】（參考時間-10分鐘） 五年級一班全班有35名同學，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每個座位的前后左右四個位置都叫作它的鄰座。如果要讓這35名同學各人都恰好坐到他的鄰座上去，能辦到嗎？為什么？ Ø 如果用5×7的方格表示35名同學的座位，如何區(qū)分表示同學和他的鄰座？ Ø 如何判斷“能否讓這35名同學各人都恰好坐到他的鄰座上去”？ 解析部分：劃一個5×7的方格表，其中每一個方格表示一個座位。將方格黑白相間地染上顏色，如下圖： 可以將原題轉(zhuǎn)化為黑白染色方格的對調(diào)問題，據(jù)此可形象判斷。 給予新學員的建議：此題需要畫出相應(yīng)的方格進行問題的分析，找出問題的突破口。 哈佛案例教學法：引導學員在課堂上積極參與小組內(nèi)討論，需要給予即時的鼓勵和幫助。 參考答案： 不能。劃一個5×7的方格表，每一個方格表示一個座位。將方格黑白相間地染上顏色，如下圖： 這樣黑色座位與白色座位都成了鄰座。因此每位同學都坐到他的鄰座相當于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格。但實際上圖中有17個黑格，18個白格，黑格與白格的個數(shù)不相等，故不能辦到。 【環(huán)節(jié)三：階段復(fù)習】 【游戲環(huán)節(jié)——游樂場】（參考時間-2分鐘） 游戲名稱：一樣的松樹 游戲規(guī)則：請你增加4根火柴，把它拼成5棵大小相同的松樹。 參考答案： 【練習分析——練習場（一）】（參考時間-7分鐘） 1條直線分一個平面為2部分，2條直線最多分一個平面為4部分，設(shè)8條直線最多分一個平面為m部分，則m等于多少？ Ø 3條直線最多分一個平面幾部分，4條呢，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ Ø 如何計算8條直線最多分一個平面多少部分？ 解析部分：2條直線最多分一個平面為4部分，再加一條直線，這條直線最多和之前的2條直線有2個交點，平面分成的部分最多增加（2+1）部分，于是3條直線至多將平面分為4+3=7個部分；4條直線至多將平面分為7+4=11個部分，5條直線至多將平面分為11+5=16個部分，…，8條直線至多將平面分為16+6+7+8=37個部分。 給予新學員的建議：此題需要從簡單到復(fù)雜進行情況的逐一討論，找出問題的規(guī)律。 哈佛案例教學法：鼓勵學員進行積極的小組討論，引導積極發(fā)言，并給予即時的鼓勵和支持。 參考答案： 8條直線最多將平面分成的部分數(shù)：m=2+2+3+4+5+6+7+8=37。 【練習分析——練習場（二）】（參考時間-7分鐘） 下圖是一個圓盤，中心軸固定在黑板上。開始時，圓盤上每個數(shù)字所對應(yīng)的黑板處均寫著0。然后轉(zhuǎn)動圓盤，每次可以轉(zhuǎn)動90°的任意整數(shù)倍，圓盤上的四個數(shù)將分別正對著黑板上寫數(shù)的位置，將圓盤上的數(shù)加到黑板上對應(yīng)位置的數(shù)上。問：經(jīng)過若干次后，黑板上的四個數(shù)是否可能都是999？ Ø 每次這樣轉(zhuǎn)動之后，四個位置的數(shù)的總和有什么變化？ Ø 經(jīng)過若干次后，黑板上的四個數(shù)是否可能都是999，為什么？ 、莉圖可知回每人吃理可知乙多出來出來的