專題一三角函數(shù)與平面向量建知識網絡明內在聯(lián)系高考點撥三角函數(shù)與平面向量是高考的高頻考點，常以“兩小一大”的形式呈現(xiàn)，兩小題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質與平面向量內容，一大題常考查解三角形內容，有時平面向量還與圓錐曲線、線性規(guī)劃等知識相交匯本專題按照“三角函數(shù)問題”“解三角形”“平面向量”三條主線分門別類進行備考突破點1三角函數(shù)問題提煉1三角函數(shù)的圖象問題(1)函數(shù)yAsin(x)解析式的確定：利用函數(shù)圖象的最高點和最低點確定A，利用周期確定，利用圖象的某一已知點坐標確定.(2)三角函數(shù)圖象的兩種常見變換提煉2三角函數(shù)奇偶性與對稱性(1)yAsin(x)，當k(kZ)時為奇函數(shù)；當k(kZ)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由xk(kZ)求得，對稱中心的橫坐標可由xk，(kZ)解得(2)yAcos(x)，當k(kZ)時為奇函數(shù)；當k(kZ)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由xk(kZ)求得，對稱中心的橫坐標可由xk(kZ)解得yAtan(x)，當k(kZ)時為奇函數(shù)；對稱中心的橫坐標可由x(kZ)解得，無對稱軸.提煉3三角變換常用技巧(1)常值代換：特別是“1”的代換，1sin2cos2tan 45等(2)項的分拆與角的配湊：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦.提煉4三角函數(shù)最值問題(1)yasin xbcos xc型函數(shù)的最值：可將y轉化為ysin(x)c其中tan 的形式，這樣通過引入輔助角可將此類函數(shù)的最值問題轉化為ysin(x)c的最值問題，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質求解(2)yasin2xbsin xcos xccos2x型函數(shù)的最值：可利用降冪公式sin2x，sin xcos x，cos2x，將yasin2xbsin xcos xccos2x轉化整理為yAsin 2xBcos 2xC，這樣就可將其轉化為(1)的類型來求最值回訪1三角函數(shù)的圖象問題1(2016全國甲卷)若將函數(shù)y2sin 2x的圖象向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為()Ax(kZ)Bx(kZ)Cx(kZ) Dx(kZ)B將函數(shù)y2sin 2x的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)y2sin 22sin的圖象由2xkx(kZ)，得x(kZ)，即平移后圖象的對稱軸為x(kZ)2(2014全國卷)圖11如圖11，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M.將點M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x)，則yf(x)在0，的圖象大致為()B如圖所示，當x時，則P(cos x，sin x)，M(cos x,0)，作MMOP，M為垂足，則sin x，sin x，f(x)sin xcos xsin 2x，則當x時，f(x)max；當x時，有sin(x)，f(x)sin xcos xsin 2x，當x時，f(x)max.只有B選項的圖象符合回訪2三角函數(shù)的性質問題3(2015全國卷)函數(shù)f(x)cos(x)的部分圖象如圖12所示，則f(x)的單調遞減區(qū)間為()圖12A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZD由圖象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2k<x<2k，kZ，得2k<x<2k，kZ，f(x)的單調遞減區(qū)間為，kZ.故選D.4(2016全國乙卷)已知函數(shù)f(x)sin(x)，x為f(x)的零點，x為yf(x)圖象的對稱軸，且f(x)在上單調，則的最大值為()A11B9 C7D5B因為f(x)sin(x)的一個零點為x，x為yf(x)圖象的對稱軸，所以k(k為奇數(shù))又T，所以k(k為奇數(shù))又函數(shù)f(x)在上單調，所以，即12.若11，又|，則，此時，f(x)sin，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，不滿足條件若9，又|，則，此時，f(x)sin，滿足f(x)在上單調的條件故選B.5(2013全國卷)設當x時，函數(shù)f(x)sin x2cos x取得最大值，則cos _.f(x)sin x2cos x，設cos ，sin ，則y(sin xcos cos xsin )sin(x)xR，xR，ymax.又x時，f(x)取得最大值，f()sin 2cos .又sin2cos21，即cos .回訪3三角恒等變換6(2015全國卷)sin 20cos 10cos 160sin 10()AB. CD.Dsin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30，故選D.7(2016全國甲卷)若cos，則sin 2()A. B.C DD因為cos，所以sin 2coscos 22cos2121.熱點題型1三角函數(shù)的圖象問題題型分析：高考對該熱點的考查方式主要體現(xiàn)在以下兩方面：一是考查三角函數(shù)解析式的求法；二是考查三角函數(shù)圖象的平移變換，常以選擇、填空題的形式考查，難度較低.(1)(2016山西四校聯(lián)考)將函數(shù)ycos xsin x(xR)的圖象向左平移m(m0)個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是()A.B.C.D.(2)(2016衡水中學四調)已知A，B，C，D是函數(shù)ysin(x)一個周期內的圖象上的四個點，如圖13所示，A，B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該圖象的一個對稱中心，B與D關于點E對稱，在x軸上的投影為，則()圖13A2， B2，C， D，(1)A(2)A(1)設f(x)cos xsin x22sin，向左平移m個單位長度得g(x)2sin.g(x)的圖象關于y軸對稱，g(x)為偶函數(shù)，mk(kZ)，mk(kZ)，又m0，m的最小值為.(2)由題意可知，T，2.又sin0,0，故選A.1函數(shù)yAsin(x)的解析式的確定(1)A由最值確定，A；(2)由周期確定；(3)由圖象上的特殊點確定提醒：根據(jù)“五點法”中的零點求時，一般先依據(jù)圖象的升降分清零點的類型2在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向變式訓練1(1)為了得到函數(shù)ysin的圖象，可以將函數(shù)ycos 2x的圖象() 【導學號：85952009】A向右平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向左平移個單位長度(2)(2016江西八校聯(lián)考)函數(shù)f(x)Asin x(A0，0)的部分圖象如圖14所示，則f(1)f(2)f(3)f(2 016)的值為()圖14A0B3C6D(1)B(2)A(1)ycos 2xsin，ycos 2x的圖象向右平移個單位長度，得ysinsin的圖象故選B.(2)由題圖可得，A2，T8，8，f(x)2sinx.f(1)，f(2)2，f(3)，f(4)0，f(5)，f(6)2，f(7)，f(8)0，而2 0168252，f(1)f(2)f(2 016)0.熱點題型2三角函數(shù)的性質問題題型分析：三角函數(shù)的性質涉及周期性、單調性以及最值、對稱性等，是高考的重要命題點之一，常與三角恒等變換交匯命題，難度中等.(2016天津高考)已知函數(shù)f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調性解(1)f(x)的定義域為xxk，kZ.1分f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.4分所以f(x)的最小正周期T.6分(2)令z2x，則函數(shù)y2sin z的單調遞增區(qū)間是，kZ.由2k2x2k，得kxk，kZ.8分設A，Bxkxk，kZ，易知AB.10分所以當x時，f(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.12分研究函數(shù)yAsin(x)的性質的“兩種”意識1轉化意識：利用三角恒等變換把待求函數(shù)化成yAsin(x)B的形式2整體意識：類比于研究ysin x的性質，只需將yAsin(x)中的“x”看成ysin x中的“x”代入求解便可變式訓練2(1)(名師押題)已知函數(shù)f(x)2sin，把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象關于函數(shù)g(x)，下列說法正確的是()A在上是增函數(shù)B其圖象關于直線x對稱C函數(shù)g(x)是奇函數(shù)D當x時，函數(shù)g(x)的值域是2,1(2)已知函數(shù)f(x)2sin(2x)(|)，若是f(x)的一個單調遞增區(qū)間，則的取值范圍為() 【導學號：85952010】A.B.C.D.(1)D(2)C(1)因為f(x)2sin，把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移個單位，得g(x)f2sin2sin2cos 2x.對于A，由x可知2x，故g(x)在上是減函數(shù)，故A錯；又g2cos0，故x不是g(x)的對稱軸，故B錯；又g(x)2cos 2xg(x)，故C錯；又當x時，2x，故g(x)的值域為2,1，D正確(2)令2k2x2k，kZ，所以kxk，kZ，所以函數(shù)f(x)在上單調遞增因為是f(x)的一個單調遞增區(qū)間，所以k，且k，kZ，解得2k2k，kZ，又|，所以.故選C.熱點題型3三角恒等變換題型分析：高考對該熱點的考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個方面：一是直接利用和、差、倍、半角公式對三角函數(shù)式化簡求值；二是以三角恒等變換為載體，考查yAsin(x)的有關性質.(1)(2016江西八校聯(lián)考)如圖15，圓O與x軸的正半軸的交點為A，點C，B在圓O上，且點C位于第一象限，點B的坐標為，AOC，若|BC|1，則cos2sincos 的值為_圖15(2)已知函數(shù)f(x)sin2cos22sincos的圖象經過點，則函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為_(1)(2)(1)由題意可知|OB|BC|1，OBC為正三角形由三角函數(shù)的定義可知，sinAOBsin，cos2sincoscos sin sin.(2)f(x)sin2cos22sincos cossin2sin.由f(x)的圖象過點，得2sin2sin，故f(x)2sin.因為0x，所以.因為ysin x在上單調遞增，所以f(x)的最大值為f2sin.1解決三角函數(shù)式的化簡求值要堅持“三看”原則：一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分；二是“函數(shù)名稱”，是需進行“切化弦”還是“弦化切”等，從而確定使用的公式；三看“結構特征”，了解變式或化簡的方向2在研究形如f(x)asin xbcos x的函數(shù)的性質時，通常利用輔助角公式asin xbcos xsin(x)把函數(shù)f(x)化為Asin(x)的形式，通過對函數(shù)yAsin(x)性質的研究得到f(x)asin xbcos x的性質變式訓練3(1)(2014全國卷)設，且tan ，則()A3 B2C3 D2(2)已知sinsin ，0，則cos等于()A B C. D.(1)B(2)C(1)法一：由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin.，由sin()sin，得，2.法二：tan cottantan，k，kZ，22k，kZ.當k0時，滿足2，故選B.(2)sinsin ，0，sin cos ，sin cos ，coscos cos sin sin cos sin .13